Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông

Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông Tóm lược nội dung kiến thức môn toán thi đầu vào hệ liên thông

TÓM LƯỢC NỘI DUNG

ÔN THI ĐẦU VÀO

(HỆ LIÊN THÔNG)

ThS Đinh Quang Đức

01-10-2015

A CÁC CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG

I.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Cho tam giác ABC với a = BC, b = CA, c = AB

A

BC R A

BC A R

C

AB R C

AB C R

B

AC R B

AC B R

A

a A R

C

c R C

c C R

B

b R B

b B R

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Công thức tính độ dài trung tuyến:

Diện tích tam giác ABC:

1/

.2

.2

.2

AC S

với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

II PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

+1 điểm thuộc  d và 1 vecto pháp tuyến của  d

+1 điểm thuộc  d và 1 vecto chỉ phương của  d

Các dạng phương trình đường thẳng thường gặp:

 PTTQ đường thẳng  d : qua M x y 0; 0 và có vecto pháp tuyến n a b;

Suy ra đường thẳng (d) có dạng a(x – x0) + b(y – y0) = 0 Suy ra PTTQ (d): ax + by + c = 0

3 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng (∆):ax + by + c = 0 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (∆) được ký hiệu là d M ;và được tính theo công thức   0 0

4 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng (∆ 1): a1x + b1y + c1 = 0 có vecto pháp tuyến n1 a b1 ; 1

Cho đường thẳng (∆ 2): a2x + b2y + c2 = 0 có vecto pháp tuyến n2 a b2 ; 2

Cosin của góc giữa (∆ 2 ) và (∆ 2 ) được tính theo công thức:

Đường tròn (C) có phương trình dạng dài x 2

+ y 2 - 2ax - 2by + c = 0 với tâm I(a;b) và bán kinh

R được tính theo công thức 2 2

R a  b c

Các dạng bài toán viết phương trình đường tròn thường gặp

 Đường tròn (C) có tâm I(a,b) và bán kính R→viết phương trình (C) dạng ngắn

 (C) có đường kính AB→(C) có tâm là trung điểm của đoạn AB và bán kính R = AB/2

 (C) có tâm I(x 0 ;y 0 ) và (C) tiếp xúc với đường thẳng (∆):ax + by + c = 0→ (C) có bán

 (C) đi qua 3 điểm ↔ (C) ngoại tiếp tam giác → dùng phương trình đường tròn (C) dạng dài

6 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn tại điểm M(x0;y0) (C)

Đường thẳng (∆) qua M 0; 0  

PTTQ vtpt n

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn dùng điều kiện tiếp xúc

+ (∆) // ax + by + c = 0 → (∆): ax + by + k = 0 Tìm k dùng điều kiện tiếp xúc

+ (∆)ax + by + c = 0 → (∆): bx - ay + k = 0 Tìm k dùng điều kiện tiếp xúc

+ (∆) có hệ số góc k →(∆):y = kx + c ↔ kx – y + c = 0 Tìm c dùng điều kiện tiếp xúc

7 PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP

2 2

2 2 1

a b  ; (a>b>0);

+Các yếu của elip : a2 = b2 + c2 →c2 = a2 – b2

+Tọa độ đỉnh A1(- a;0); A2(a;0); B1(0;- b);B2(0;b)

+Độ dài trục lớn A 1 A 2 = 2a; độ dài trục bé B 1 B 2 = 2b

+Hai tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0)

+Tiêu cự F 1 F 2 = 2c

+Tâm sai e = c/a

+Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở x a;y b

+Bán kính qua tiêu điểm của điểm M (E):

1 2

.

Các bài toán viết phương trình chính tắc của elip thường gặp:

+ Cho độ dài trục lớn 2a→ tìm được a

+ Cho độ dài trục nhỏ 2b→tìm được b

+ Cho đỉnh nằm trên Ox→ tìm được a

+ Cho đỉnh nằm trên Oy→ tìm được b

+ Cho phương trình 2 cạnh của hình chữ nhật cơ sở x a→ tìm được a

+ Cho tiêu điểm F1(-c;0) hay F2(c;0) →tìm được c→dùng công thức c2 = a2 – b2

+ Cho tiêu cự 2c →tìm được c→dùng công thức c 2 = a 2 – b 2

Tìm điểm M thuộc (E) thỏa yêu cầu bài toán

+ Tìm điểm M thuộc (E) sao cho MF1 = kMF2 (1)

Thế

1 2

.

Thế xM vào phương trình elip tìm được yM

+Tìm điểm M thuộc (E) sao cho M nhìn 2 tiêu điểm dưới góc α:

7 /

0

B B

8 /

0

B B

9.CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC 2

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c trong đó ∆ = b2 – 4ac, S = - b/a; P = c/a

Phương trình f(x) = 0 :

1/ có nghiệm 

000

a a

a a

S P

S P

cos cot sin cos

cot

4 / tan cot 1

1 cot

cos

1 tan

a

a a

sin

1 cot

a

a a

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

1/ cos cos 2cos cos

 y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)

 Tính y’’ tìm 1 điểm uốn

 Bảng biến thiên

 Điểm đặc biệt (5 điểm)

 Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

2 Hàm nhất biến

d cx

b ax y

bc ad y

x - TCN

c a

y

 Bảng biến thiên

 Điểm đặc biệt (4điểm)

 Đồ thị

- Đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng

3.CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:

Phương trình tiếp tuyến: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

 Gọi (x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm

 Tìm hệ số góc của tiếp tuyến : ktt

 Nếu tiếp tuyến // thì k tt k

 Nếu tiếp tuyến thì k k tt 1

4 MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN

Bài 1 Cho hàm số 2 3

1

x y x







1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2/ Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C), biết rằng d vuông góc đường thẳng y x 2

1

y x





 ; y'   0; x 1

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ; 1 và   1; 

- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2

    tiệm cận ngang y2

2/ Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C), biết rằng d vuông góc với y x 2

d vuông góc với đường thẳng y x 2 d có hệ số góc bằng – 1

Hoành độ tiếp điểm x : 0  

0

0 0

01

21

x

y x

x x

x có đồ thị (C)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b/ Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với (d): 1 1

x có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): 1 2000

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): 3x + y – 1 = 0

y x x có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với (d): y = 9x + 1

C GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương trình lượng giác

Dạng 1 Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác (sin, cos)

4sin x  4sin x 3   0 d/ cos 2x 9cos x 5  0

Dạng 2: Phương trình dạng sina X b.cosX c  1

Bài tập: Giải các phương trình sau

a/ 3 cosxsinx 2 0 b/ 3sin3x4cos3x 5 0

c/ 2sin3x 3 sinxcosx0 d/ 3 3 sin3x cos3x 0

e/ 3 os - 3 cos 3 2

2

2cos x 2 3 sin cosx x 1

Dạng 3: phương trình chứa tổng, tích của sinx và cosx dạng:

Ví dụ: Giải phương trình sau: sin cosx x 1 sinxcosx0 (1)

Đặt t = sinx + cosx;  2 t 2

Khi đó phương trình (1) trở thành :

2

21

Vậy phương trình (1) có nghiệm 2  

2 2

Bài tập: Giải các phương trình sau:

1/ sinxcosx2 2 sin cos x x 2/sinx cosx 4sin 2x 13/3 sin xcosx2sin 2x 3 4/sinx cosx 3sin cosx x 1

2 Phương trình mũ - Logarit

a Phương trình mũ

Đặt t2x điều kiện t0 Phương trình trở thành

b Phương trình logarit (Đưa về cùng cơ số)

log ( )a f x log ( )a g x f x( ) g x( )( điều kiện 0 a 1 và f x( ) 0 hoặc g x( ) 0)

Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 1

Bài tập: Giải các phương trình sau:

1/log 32 x log 12 x 3 2/log x 1 log 1 x log 2x 3

3/log4 x 2 log4 x 2 2 log 64 4/log3 x 2 log3 x 2 log 53

b Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2( 1) 3 0

1 2 3 2

x x

a/ Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K

Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F x' f x ; x K

c/ Tính chất :

i/ f x dx'( ) f x( ) C ii/ kf x dx( ) k f x dx( ) C (k: hằng số khác 0)

iii/ f x( ) f x dx( ) f x dx( ) g x dx( )

d/ Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp thường dùng

1

2 2

0

11

1

cotsin

x x

1

1

.ln1

.1.ln1

cotsin

Dạng 1 Tìm nguyên hàm F(x) biết F x 0  y0

Phương pháp giải:

B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho

B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm nguyên hàm cần tìm

Phương pháp giải:

B1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) dx = u (t) dt

+ Đổi biến thì phải đổi cận

+ Chỉ áp dụng khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :

10 5

2 1

x dx

21

Chú ý:

+ Dạng có lnx và đa thức: đặt u = lnx và dv = nhân tử còn lại.dx

+ Dạng có mũ/ lượng giác và đa thức: đặt u = đa thức và dv = nhân tử còn lại.dx

+ Dạng có mũ và lượng giác: đặt tùy ý

Ví dụ : Tính tích phân sau :

2

2 0

Trong đó

2 0 cos 2

(1 e xdx x) 3)

0 (1 cos )

x x dx 4)

2 0

(2x 1)e dx x 6)

2 0

1.s inx

3

x

0 sin

1 Phương pháp tọa độ trong hệ trục Oxy:

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x1 : 2y 3 0 và đường thẳng

Vậy điểm N 1;2 hay N 0;1 thỏa ycbt

Vậy điểm N 2; 4 ;N 3;1 thỏa ycbt

6/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 3;2 và đường thẳng :x 3y 0 Tìm tọa độ điểm N

thuộc đường thẳng sao cho 130 ,

9/ Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 1; 2 và đường thẳng : 4x y 0 Tìm tọa độ

điểm N thuộc đường thẳng sao cho 85 ,

2

2 Phương pháp tọa độ trong hệ trục Oxyz:

a) Phương trình mặt phẳng

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: vectơ 

n  0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu giá của n vuông góc với mặt phẳng ( )

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax By Cz D 0 (A2 B2 C2 0)

- Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và có vectơ pháp tuyến n = (A; B;C)

 ( ):A x x0 B y y0 C z z0 0

- Phương pháp chung để viết phương trình mặt phẳng

+ Tìm 1 điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 mà mặt phẳng đi qua và 1 véctơ pháp tuyến n = (A; B;C) của mặt phẳng

+ Phương trình mặt phẳng có dạng: A x x0 B y y0 C z z0 0

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong (Oxyz) cho (d) đi qua M0(x0,y0,z0) và có vectơ chỉ phương: u= (a;b;c) Khi đó

- Phương trình tham số của đường thẳng

0

a x b y c z d d

a x b y c z d

- Phương pháp chung để viết phương trình đường thẳng

+ Tìm 1 điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 mà đường thẳng đi qua và 1 VTCP u= (a;b;c) của đường thẳng

+ Phương trình đường thẳng :

0

o o

a Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng

b Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mp

c Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến mp bằng 6

Bài giải:

a Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng

Gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng

Tọa độ điểm I thỏa hệ

t x y

z

Vậy 2; ;1 7

Đường thẳng d qua điểm A 1;0; 2 có VTCP là u d 2;1; 3

Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng :x 2y z 1 0 và đường thẳng d có

phương trình 1 1

a Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng

b Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mp

c Tìm tọa độ điểm A thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến mp bằng 2 6

Bài 2 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng :x 2y 2z 3 0 và đường thẳng d có

a Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng

b Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mp

c Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ H đến mp bằng 3

F HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

 Một vài công thức liên quan đến việc tính toán khoảng cách – thể tích khối chóp

1/Diện tích tam giác 1 .

2

S day cao 2/Diện tích tam giác đều

2 34

canh S

3/Diện tích tam giác vuông 1 .

7/Đường chéo của hình vuông = canh 2

8/Đường trung tuyến trong vuông (xuất phát từ đỉnh góc vuông) =

11/Tâm của hình vuông là giao điểm của hai đường chéo Tâm của đều là giao điểm của ba

đường cao (hoặc ba đường trung tuyến…)

12/Cách xác định góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng:

Bước 2: Trong mp : tìm đường a giao tuyến

Trong mp : tìm đường b giao tuyến

Bước 3: góc giữa 2 mặt phẳng bằng góc tạo bởi 2 đường thẳng a, b ; a b;

 Tìm giao tuyến của và

 Trong mặt phẳng kẻ AK giao tuyến tại điểm K

Từ 3 ý trên AK tại K d A; AK

thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng : d a d

 CÁC MÔ HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP TRONG BÀI TẬP:

1/Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA = SB = SC = SD

Từ giả thiết đề bài ta có: SA SB SC SD

SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (hay chóp SABCD là chóp đều đáy tứ giác)

Các mặt bên SAB; SBC; SCD; SDA là các tam giác cân tại đỉnh S và bằng nhau

Các cạnh bên SA; SB; SC; SD bằng nhau

2/Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều tâm O, SA = SB = SC

Từ giả thiết đề bài ta có: SA SB SC

OA OB OC

SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (hay chóp SABC là chóp đều đáy tam giác)

Các mặt bên SAB; SBC; SCA là các tam giác cân tại đỉnh S và bằng nhau

Các cạnh bên SA; SB; SC bằng nhau

3/Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy (ABCD)

Các mặt bên SAB; SBC; SCD; SDA là các vuông

 SAB; SAD vuông tại A

 SBC vuông tại B ( chứng minh BC (SAB))

 SCD vuông tại D ( chứng minh CD (SAD))

4/Cho hình chóp SABC đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy (ABC)

Các mặt bên SAB; SBC; SAC là các vuông

 SAB; SAC vuông tại A

 SBC vuông tại B ( chứng minh BC (SAB))

5/Cho hình chóp SABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc (ABC)

Các mặt bên SAB; SAC là các tam giác vuông tại A Mặt bên SBC là tam giác cân tại đỉnh S

6/Cho hình chóp SABC có hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy

7/Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) I là trung điểm AB

Một vài ví dụ minh họa

DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH KHI CHỈ BIẾT CÁC YẾU TỐ VỀ CẠNH

Giải

 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng

 Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông

Bổ sung: Dùng công thức thể tích hãy tính d[A,(SBC)], d[B,(SAC)]

Bài toán 1.2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng

 Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý

pitago trong tam giác vuông

AC

BABC a

2 ABC

B S

Bài toán 1.3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông

Giải

 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng

 Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600

Giải

 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và

S

*  SAB vuông tại A có 2 2

SA SB AB a

Bài toán 1.5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông

Giải

 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và

.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải

 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng

 Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó

45 60

S

C A

ThS ĐINH QUANG ĐỨC Trang 31

* Thể tích khối chóp S.ABC

Bài toán 2.2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải

 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng

 Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC

của SC lên (ABCD)

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng

Giải

 Sai lầm của học sinh:

 Gọi M là trung điểm BC

60 M S

B

C A

S