SLIDE CHƯƠNG 5 LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG : PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Định lý: Nếu hệ thống ổn đinh tiệm cận (i.e., tất cả các cực của G(s) có phần thực âm) và với tín hiệu vào r(t) = Rsinωt, thì đáp ứng đầu ra y(t) ở trạng thái xác lập có dạng Chứng minh: Vì   2 2 ( ) sin ( ) ( )         s R r t R t R s L r t Do đó 2 2 R Y(s) G(s)R(s) G(s)

CHƯƠNG 5:

PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

TỰ ĐỘNG

j G j

G j

G j

G j

G

(Re

(Imtan

,(

Im(



Trong đó

Định lý: Nếu hệ thống ổn đinh tiệm cận (i.e., tất cả các cực của G(s) có phần thực âm)

và với tín hiệu vào r(t) = Rsinωt , thì đáp ứng đầu ra y(t) ở trạng thái xác lập có dạng

)(t G j R t   G j

r L s

R t

R t

R j

s s

s RG a

j G j

R j

s s

s RG a

j s

2

) (

, 2

) (

2 2

2

2 2

1

2 1

1

t y t

y e

b e

a e

a s

Y L t

n

i

t s i t

j t

t s i

t s k

j

j j t

i j

e b e

t b t

y

1 1

1

) (

0 ) (

 y t t

R j

G a

e j

R j

G a

2

)

( ,

2

) (

j

G j

e e

R j

G t

y

t j t

j

2

)()

(

5.1 Đáp ứng tần số

Ex 5.1 Tìm hàm đáp ứng tần số ở trạng thái xác lập của hệ thống sau

1 0 1

10

s

 Phương trình đáp ứng tần số

5.2 Đồ thị trong miền tần số

5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist)

Đồ thị cực của hàm G(jω) là đồ thị của biên độ của G(jω)

theo góc pha của G(jω) trong hệ tọa độ cực với  ,0  

H Nyquist (1889-1976)

Phát họa (bằng tay) đồ thị cực

• Điểm xuất phát của đồ thị tại điểm ω = 0

• Đồ thị kết thúc tại điểm ω = ∞

• Đồ thị cắt trục thực tại điểm ứng với Im{G(jω)} = 0

• Đồ thị cắt trục ảo tại điểm ứng với Re{G(jω)} = 0

• Tính toán |G(jω)| và ϕ tại các giá trị đặc biệt của ω nếu cần thiết

1 )

2 2

1

1 1

1

1 1

1 1

1 )

(

T T

T j

T T

jT jT

j G

Trong đó

G j   T

j G

) ( Im



1 )

 ( ) 0   0 and  

Im G j

90 tan

,

0 1

1 )

tan

, 2

1 1

1

1 )

2 / 1

Note: Hàm nyquist cung cấp một đồ thị cực đầy

đủ, ứng với ω thay đổi từ - ∞ to +∞

5.2 Đồ thị miền tần số

5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist)

Đồ thị cực cũng có thể được xây dựng bằng cách xác định phần thực của G(jω) (i.e., Re{G(jω)}) và phần ảo của G(jω) (i.e., Im{G(jω)}) theo ω trong mặt phẳng phức của G(jω).





s s

s G

101

101

10)

()

s G j

G

j s

5.2 Đồ thị trong miền tần số

5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist)

15

4

5)

s G

117

16

251

1716

205

15

4

5)

()

G

j s

1.4)

(Re

j G

Ex 5.4 Xây dựng đồ thị cực của hàm truyền đạt

)(

44 0 )

( Re

5.2 Đồ thị miền tần số

5.2.2 Đồ thị Bode

Đồ thị Bode của G(jω) bao gồm 2 đồ thị:

• Đồ thị biên độ: Đồ thị của L(ω) = 20log|G(jω)| (dB) theo

logω ( logarithm cơ số 10 trong Matlab ) hoặc ω

• Đồ thị góc pha: Đồ thị của (degree) theo

logω hoặc ω

) ( )

5.2 Đồ thị miền tần số

5.2.2 Đồ thị Bode

Ex 5.5 Xây dựng đồ thị Bode của G(s) = K.









































0 180

0 0

0 tan )

(

log 20 )

( log 20 )

( )

( )

(

1

-K

K K

K j

G L

K s

G j

G

j s









5.2 Đồ thị trong miền tần số

5.2.2 Đồ thị Bode

Ex 5.6 Xây dựng đồ thị Bode của G(s)  sn

90 )

(

log 20

) ( log 20 )

( )

( )

(





























n j

n j

G L

j s

G j

G

n

n j

s















  0

90

dB/decade

20 log

) ( slope

log 20 )

(























d

L d L

Ex 5.7 Xây dựng đồ thị Bode của G(s) = 1 + sT

2

1 log 20 )

( log 20 )

( 1

jT j

tan )

(

; 0 1 log 20 )

slope log

20 log

20 )

c c

0 1

90 )

( tan )

(    



Ex 5.8 Xây dựng đồ thị Bode của G(s) = 1/(1 + sT)

2

2

) ( 1 )

( 1

1 1

1 )

T

T j

T jT

j G

(

; 0 1 log 20 )

L

dB/dec 20

log slope

log 20 log

20 )

c c

(   

0 1

90 )

( tan )

Ex 5.9 Xây dựng đồ thị Bode của khâu dao động bậc 2: 2 2

2

2 )

(

n n

n

s s

s G

j

j G

1 2

2 2

2 2

1

2 tan )

( )

(

4 1

log 20 )

( log 20 )

(

n n

n n

j G

j G L

(

; 0 1 log 20 )

L

dB/dec 40

log slope

log 40 log

20 )

n n

• ω = ω n:

0 1

2

90 )

( tan )

(

; 2 log 20 4

log 20 )

180 )

0 ( tan )

(       



Note Tần số góc: ω = ω

Ex 5.9 (cond’t)

slo

pe = -4 0dB/d ec

Matlab: Đồ thị Bode cho Ex 5.9 khi ζ = 0.5 and ω n = 1 có được bằng cách sử dụng hàm

“bode” trong Matlab

Ex 5.10 Xây dựng đồ thị Bode của hệ thống có hàm truyền đạt sau

) 5 )(

1 (

) 10 (

5 )

s

s s

G

Ta biểu diễn G(s) như sau:

5 1 1

10 1 10 )

2

s G s G s G s G s

s s

s s

1 )

( ,

1

1 )

( ,

10 )

s s

G s

s s G s

  ( ) ( ) ( ) ( )

5 1 1

10 1 10 )

2

s G s G s G s G s

s s

s s

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

( )

( )

(

4 3

2 1

4 3

2 1

( )

( )

(

) ( log 20 )

( log 20 )

( log 20 )

( log 20

) ( ) ( ) ( ) ( log 20 )

( log 20 )

(

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

L L

j G j

G j

G j

G

j G j

G j

G j

G j

G L

Sử dụng kết quả từ ví dụ Ex.5.5, Ex.5.7-Ex.5.9 để xây dựng từng thành phần

các đường cong của L i và ϕ i

Đồ thị Bode đầy đủ có được bằng cách cộng các đường cong thành phần lại vớinhau từng điểm

5.3 Đặc tính tần số

Đỉnh cộng hưởng Mr : là giá trị lớn nhất của biên độ |M(jω)|.

Tần số cộng hưởng r: tần số tại vị trí đỉnh cộng hưởng.

5.3 Đặc tính tần số

Mr tương ứng độ quá điều chỉnh trong miền thời gian, thể hiện tính

ổn định tương đối của hệ thống.

Thực nghiệm: giá trị Mr mong muốn: 1.1 < Mr < 1.5

5.3 Đặc tính tần số

5.3.2 Độ rộng băng thông BW (Band Width )

Độ rộng băng thông BW là tần số mà tại đó biên độ |M(jω)| giảm

xuống 70,7% hoặc 3dB so với giá trị tần số không.

5.3 Đặc tính tần số

5.3.2 Độ rộng băng thông BW (Band Width )

Độ rộng băng thông lớn tương ứng với thời gian tăng (tr) nhanh

Độ rộng băng thông thể hiện tính lọc nhiễu của hệ thống.

5.3 Đặc tính tần số

5.3.2 Đặc tính tần số của khâu dao động bậc 2

Trong miền giá trị ζ > 0.707

Mr = 1

r = 0

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

5.4.1 Giới thiệu

Tiêu chuẩn Nyquist là một phương pháp nửa đồ thị để xác định tính ổn định của hệ thống kín bằng cách phân tích các tính chất của đồ thị Nyquist của hàm truyền đạt hệ hở

Các đặc tính của tiêu chuẩn Nyquist:

• Tiêu chuẩn Nyquist có thể đưa ra thông tin về tính ổn định tương đối (độ dự trữ biên độ và pha) của một hệ thống ổn định và độ không ổn định của một hệ thống không ổn định

với sự hỗ trợ của máy tính

• Tiêu chuẩn Nyquist là rất hữu ích với các hệ thống có thời gian trễ mà không thể khảo sát bằng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz và khó phân tích với phương pháp quỹ đạo nghiệm số

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

5.4.2 Hàm phức và phép ánh xạ đường biên

Khái niệm hàm phức :

1

;where

),,()

,()

(:

)

• Δ(s) là hàm đơn trị, i.e mỗi điểm trên mặt phẳng s, có một và chỉ một điểm

tương ứng, bao gồm cả điểm ∞, trong mặt phẳng Δ(s)

• Nếu một đường biên tùy ý Γs trong mặt phẳng s không đi qua bất kì điểm cực

nào của Δ(s), thì một đường biên khác ΓΔ được ánh xạ bởi Δ(s) vào mặt

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Khái niệm về bao quanh và bao kín

Một điểm hay một vùng gọi là bị bao kín (enclosed) bởi một đường khép kínnếu nó bị bao quanh theo ngược chiều kim đồng hồ, hay điểm hoặc vùng đónằm bên trái của đương bao khi đường bao chạy theo chiều của nó

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Số vòng bao kín N

Giá trị của N có thể được xác định bằng cách vẽ một đường mũi tên từ một điểmđến một điểm giả định s1 trên đường cong kín Γ và sau đó cho s1 tiến theođường cong theo chiều đã xác định cho đến khi nó quay lại điểm xuất phát

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Số vòng bao kín N

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

5.4.3 Nguyên lý Argument (Định lý Cauchy)

Nếu đường biên Γs trong mặt phẳng s bao quanh Z điểm không and P điểm cực của Δ(s)

và xoay theo chiều kim đồng hồ (CW), thì đường biên ánh xạ ΓΔ trong mặt phẳng ΓΔ bao quanh gốc tọa độ N = Z – P lần theo chiều kim đồng hồ.

Xét ví dụ sau:

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

5.4.4 Đường cong Nyquist (Nyquist path)

• Đường cong Nyquist là một đường biên Γs bao

toàn bộ nửa mặt phẳng bên phải của mặt phẳng s

• Nếu có các điểm không hoặc điểm cực của Δ(s)

trên trục ảo jω, thì các điểm này phải được bao

bởi các nửa đường tròn bán kính vô cùng nhỏ

• Chiều của đường bao Γs được chọn theo chiều

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Cho hệ thống như sơ đồ khối

Hàm truyền đạt vòng (loop transfer function):

L(s) = G(s)H(s)

Hàm truyền đạt vòng kín:

)()(1

)()

(

s H s G

s G s

• Điểm không của Δ(s) (i.e., nghiệm của a(s)+b(s) = 0) là điểm cực của of M(s)

• Điểm cực của Δ(s) (i.e., nghiệm của a(s) = 0) là điểm cực của L(s)

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

0)

(

)()

()

(

)(1

)(1

)()(1

)



s a

s b s

a s

a

s b s

L s

H s G s

Các điều kiện ổn định

Ổn định vòng hở : Một hệ thống là ổn định vòng hở nếu các cực của L(s) nằm

nửa trái của mặt phẳng s

Ổn định vòng kín : Một hệ thống là ổn định vòng kín nếu các điểm cực của

M(s) hoặc các điểm zeros của Δ(s) nằm nửa trái của mặt phẳng s.

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

σ

s-plane

Γs

jω j∞

Trước khi đưa ra tiêu chuẩn Nyquist, nhớ rằng:

• Đối với ổn định vòng hở, tất cả các điểm cực của

Δ(s) (i.e., điểm cực của L(s)) nằm bên trái mp

phức Nó có nghĩa là đường cong Nyquist bao

quanh P = 0 điểm cực của Δ(s)

• Đối với ổn định vòng kín, tất cả các điểm không

của Δ(s) (i.e., điểm cực của M(s)) nằm bên trái mp

s Nó có nghĩa là đường cong Nyquist bao quanh Z

= 0 điểm không của Δ(s)

• The origin of the Δ(s)-plane corresponds to the (-1,

j0) point in the L(s)-plane

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

1 Vòng hở không ổn định (i.e., P ≠ 0)

Vòng kín của hệ thống ổn định nếu đồ thị Nyquist của L(s) tương ứng với

đường cong Nyquist bao quanh điểm (-1, j0) trong mặt phẳng L(s) N = 0 – P

= - P lần (hay P theo chiều kim đồng hồ)

2 Vòng hở ổn định hoặc ở biên giới ổn định (i.e., P = 0)

Vòng kín của hệ thống ổn định nếu đồ thị Nyquist của L(s) tương ứng với

đường cong Nyquist không bao điểm (-1, j0) trong mặt phẳng L(s).

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Các bước xác định tính ổn định của hệ thống sử dụng tiêu chuẩn Nyquist

• Vẽ đường cong Nyquist Γs trong mặt phẳng s tương ứng vơi các điểm không,

điểm cực của L(s).

• Phát họa đồ thị Nyquist ΓL của L(s) trong mặt phẳng L(s) tương ứng với

đường cong Nyquist

• Xác định số vòng bao N quanh điểm (-1,j0) tạo bởi đồ thị Nyquist ΓL vàhướng của nó

5.4 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

5.4.5 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Ex 5.11 Phân tích tính ổn định của hệ thống phản hồi đơn vị có hàm truyền đạt

vòng hở như sau

 sT

s

k s

L



1

)(

• Dễ dàng thấy rằng L(s) có 2 điểm cực tại s1 = 0 and s2 = -1/T Do đó, vòng

hở hệ thống ổn định Đường cong Nyquist được vẽ bên dưới

• Để vẽ đồ thị Nyquist của L(s), chúng ta chia đường

cong Nyquist thành 4 vùng như sau

Vùng 1: s = jω, -∞ < ω ≤ 0

)()

T

kT T

j j

k s

L j

;)

(Re:0

0)

(Im

;0)

(Re:

j L

j L j

L

j j

j re

r

k e

Tr re

k T

re re

k s

;)

(Re:0

0)

(Im

;0)

(Re:

j L

j L j

L

Vùng 4: s  re j, r  ;  :900  900

Ta có thể thấy rằng trong vùng này, |L(s)| → 0,

i.e., điểm gốc của mp L(s)

-1

• Đồ thị Nyquist không bao điểm (-1,j0) Bởi vì vòng hở là ổn định, nên hệ thống vòng

kín là ổn định theo tiêu chuẩn Nyquist

Ex 5.12 Phân tích tính ổn định của hệ thống vòng phản hồi đơn có hàm truyền

đạt vòng hở như sau

• L(s) có 3 điểm cực tại s1 = 0, s2 = -1/T1, and s3 = 1/T2 Vòng hở, hệ thống ổn

định Đường cong Nyquist được vẽ như sau

)

2 1

s

k s

2 1 3

2 1 2 2

2 1 2 2

2 1 2

2 1

2 1

) 1

( )

(

) 1

( )

1 ( ) (

) (

1 1

) (

T T T

T

T T k

j T

T T

T

T T k

T j T

j j

k j

( )

( Re : 0

0 )

( Im

; 0 )

( Re :

T k j

L

j L j

L

2 1 2

1

)(Re

;0)

(Im,

1

at

T T

T kT j

L j

L T

Nyquist của L(s) tương ứng với vùng này

là đối xứng với đường cong (1) qua trục

thực, và được đánh dấu là (3)

Vùng 2, 4: Xem Ex 5.11

2 1

2 1

T T

T kT





Hệ thống kín là ổn đinh nếu - kT1T2/(T1+T2) > -1, i.e., ΓL không bao điểm (-1,j0).

5.5 Độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha

5.5.1 Độ dự trữ biên độ (Gain margin)

- Giả sử L(s) là ổn định vòng hở

- Gọi ω p tần số cắt pha sao cho

- Độ dự trữ pha của nghịch đảo |L(jω p)|, tính theo dB

• Độ dự trữ biên độ (GM) là một trong những tiêu chuẩn thường xuyên sử dụng để đo tính ổn định tương đối của hệ thống với sự thay đổi của độ lợi vòng.

• GM được dùng để chỉ ra đường giao nhau của phần trục thực âm tạo bởi đồ thị

Nyquist của L(jω) và điểm (-1, j0).

p

L( j )

dB j

L j

L

p

)(

log

20)

(

1log

Hệ thống kín luôn ổn định Về lý thuyết, giá trị

độ lợi vòng có thể tăng vô cùng trước khi

chuyển sang mất ổn định

5.5 Độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha

5.5.1 Gain margin

2 L(jω) cắt trục thực Re{L} trong khoảng giữa điểm gốc và điểm (-1, j0)

0 < |L(jω p)| < 1, GM > 0 dB

Hệ thống kín ổn định Khi giá trị độ lợi vòng tăng lên, điểm giao tiến đến gần

điểm (-1, j0), độ ổn định của hệ thống kín giảm

3 L(jω) đi qua điểm (-1, j0) : |L(jω p)| = 1 , GM = 0 dB

Hệ thống kín ở biên giới ổn định Nếu độ lợi vòng tăng lên, hệ thống sẽ mất tính

5.5.2 Độ dự trữ pha (Phase margin)

• Độ dự trữ biên độ (GM) là không đủ để xác định tính ổn đinh tương đối khicác tham số khác của hệ thống ngoài độ lợi vòng bị thay đổi

• Độ dự trữ pha (PM) được dùng để xác định ảnh hưởng của pha lên độ ổnđịnh

- Giả sử L(s) là ổn định vòng hở

- Gọi ω g be the tần số cắt biên độ sao cho |L(jω g)| = 1

- Độ dự trữ pha là một góc tính bằng độ, được xác định bởi

0

180)

5.5 Độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha

5.5 Độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha

Ex 5.13 Xác định GM và PM của hệ thống có hàm truyền đạt vòng hở như sau

)50)(

5(

2500)

s

s L

Đồ thị Nyquist của L(jω), 0 ≤ ω < ∞, được vẽ trên hình sau.

Bằng cách giải:  

rad/sec22

.61

)(

rad/sec82

.150

)(Im

j L

( log 20

182 0 ) 88 15 ( )

j L j

L





0 0

0

72 31 180

) (

72 211 )

22 6 ( )

j L j

L





Matlab: GM và PM được tính bằng Matlab như sau