Vì vậy, hệ I có tất cả hai nghiệm.. Nhận xét: - Bài toán trên là trường hợp riêng của bài toán sau: Bài 1*.
Trang 1LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2008
Bài 1 Hãy xác định tất cả các nghiệm của hệ phương trình (ẩn x, y) sau:
29 (1)
log log 1 (2)
x y
Lời giải:
Dễ thấy, nếu (x, y) là các nghiệm của hệ (I) thì x > 1, y > 1 (3)
Đặt log3 x t t= , >0 (do (3)) Ki đó, x=3t và từ phương trình (PT) (2) có y=21t Vì thế từ PT (1)
ta có PT (ẩn t) sau:
1
9t+ =8t 29 (4)
Dễ thấy số nghiệm của hệ (I) bằng số nghiệm dương của PT (4)
Xét hàm số 1 29
( ) 9t 8t
f t = + − trên (0; +∞)
Ta có
1
2
8 ln 8 '( ) 9 ln 9t t
f t
t
= − Trên (0; +∞),
1
8 ln 8t
1
y t
= là các hàm nghịch biến và chỉ nhận giá trị dương Vì thế, trên khoảng đó,
1
2
8 ln 8t
y t
= là hàm đồng biến Suy ra, f’(t) là hàm số
đồng biến trên khoảng (0; +∞) Hơn nữa, do
256 1
' '(1) 18(ln 9 ln 2 )(ln 27 ln16) 0
2
÷
nên ∃t 0∈ (0; 1) sao cho f’(t 0 ) = 0 Do đó, ta có bảng biến thiên của hàm số f(t) trên (0: +∞):
t 0 t 0 1 +∞
f’(t) - 0 +
f(t) +∞ +∞
-12
f(t 0 )
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (4) có đúng hai nghiệm dương Vì vậy, hệ (I) có tất cả hai nghiệm
Nhận xét: - Bài toán trên là trường hợp riêng của bài toán sau:
Bài 1* Cho số thực a ≥ 17 Hãy xác định tất cả các nghiệm của hệ phương trình (ẩn x, y) sau:
(1) log log 1 (2)
Cách giải bài toán này tương tự như trên
Trường hợp a = 17 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 2) và (x; y) = (2 2; 9 )3
(Trích từ báo Toán học và tuổi trẻ số 12/2008)
