Tuyển tập đề thi cao học toán đại học khoa học tự nhiên đại học quốc gia hà nội

Khảo sát sự hội tụ của dãy số {an}n≥1 được xác định như sau: b Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.. Khảo sát sự hội tụ của dãy số {an}n≥1 được xác định

Địa chỉ: Kim Sơn, Sơn Tây, Hà Nội.

Năm 2018 - Đợt 1 8

Năm 2017 - Đợt 2 9

Năm 2017 - Đợt 1 10

Năm 2016 11

Năm 2015 12

Năm 2014 13

Năm 2013 14

Năm 2012 - Đề số 2 15

Năm 2012 - Đề số 1 16

Năm 2011 17

II ĐỀ THI MÔN CƠ BẢN ĐẠI SỐ 18 Năm 2019 - Đợt 1 19

Năm 2018 - Đợt 1 21

Năm 2017 - Đợt 2 23

Năm 2017 - Đợt 1 25

Năm 2016 27

Năm 2015 - Đợt 2 29

Năm 2015 - Đợt 1 31

Năm 2014 33

Năm 2012 - Đề số 1 35

Năm 2012 - Đề số 2 37

Năm 2011 39

học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN trong các năm từ 2011 đến 2018 Cuốn sách được biên soạnlại bằng chương trình soạn thảo LATEX dựa trên các đề thi được cung cấp bởi một đồng nghiệpcủa tôi, thầy Phạm Hồng Quân Xuất phát từ thực trạng việc tìm các đề thi trên mạng rất khó,tài liệu này ra đời nhằm mục đích cung cấp một nguồn ôn thi hiệu quả cho các bạn đồng nghiệp,các bạn sinh viên mới tốt nghiệp có nhu cầu học cao học Toán tại Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội Xin kính chúc các thầy, các bạn đồng nghiệp ôn thi đạt hiệu quả caonhất Trong quá trình sử dụng nếu phát hiện có sai sót hoặc có đề thi của những năm tiếp theo,vui lòng gửi cho chúng tôi để cuốn tài liệu được cập nhật hơn và giúp ích được nhiều người khácnữa! Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4, năm 2019

Trần Tuấn Việt.1

1 Bộ môn Toán, Khoa Khoa học cơ bản, Học viện PK - KQ

MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 1)Thời gian làm bài: 180 phútCâu 1.

1 Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại giới hạn hữu hạn của một dãy số đơn điệu

2 Khảo sát sự hội tụ của dãy số {an}n≥1 được xác định như sau:

b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó

Câu 4 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

2 Khảo sát sự hội tụ của dãy số {an}n≥1 được xác định như sau:

b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó

Câu 4 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

+∞

Z eβx− 1

dx,

MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 1)Thời gian làm bài: 180 phútCâu 5.

1 Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại giới hạn hữu hạn của một dãy số đơn điệu

2 Xét tính liên tục đều của hàm số g(x) = ln(cos x) trên khoảng [0; 1]

b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó

Câu 8 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

1 Phát biểu và chứng minh nguyên lý Bolzano-Weierstrass về dãy số bị chặn.

2 Xét tính liên tục đều của hàm số g(x) = ln



1 + 1x

trên khoảng (0; 1)

Câu 2

1 Cho A ⊂ Rm và f : A → Rm, f (x) = (f1(x), f2(x), , fm(x)) với x ∈ A Chứng minh rằnghàm f liên tục tại điểm a ∈ A khi và chỉ khi các hàm thành phần f1(x), f2(x), , fm(x) liêntục tại điểm a

b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó

Câu 4 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCH (Đợt 1)

Thời gian làm bài: 180 phútCâu 1

1 Phát biểu và chứng minh nguyên lý Bolzano-Weierstrass về dãy số bị chặn

2 Xét sự hội tụ của dãy số {an} được cho bởi

1 Nêu định nghĩa tập Compact trong Rn Chứng minh rằng nếu A là một tập hợp Compact trong

Rn và hàm f : A → Rm liên tục trên A thì f liên tục đều trên A

b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó

Câu 4 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

1 Phát biểu và chứng minh định lý về tính bị chặn và đạt được giá trị lớn nhất và giá trị bé nhấtcủa hàm số một biến liên tục trên một đoạn.

2 Xét tính liên tục đều của hàm số y = sin1

b) Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó

2 Cho hàm số f liên tục trên [0; +∞) và



x + 1n



− f (x)

dx = 0

MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCHThời gian làm bài: 180 phútCâu 1.

1 Phát biểu và chứng minh nguyên lý Bolzano-Weierstrass về dãy số bị chặn

2 Xét tính liên tục đều của hàm số y = cos(x2) trên miền xác định của nó

b) Xét tính khả vi của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó

Câu 4 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

+∞

Z

0

x dx(e3x− 1)λ,trong đó λ là tham số thực

1 Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại giới hạn hữu hạn của một dãy số đơn điệu.

2 Tìm hai số thực a, b để hàm số f khả vi trên R, trong đó

b) Hàm số f có đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm a

2 Cho A là một tập Compact trong không gian Rn và hai hàm f, g : A → R liên tục trên A thỏamãn điều kiện f (x) > g(x) với mọi x ∈ A Chứng minh rằng tồn tại λ > 1 sao cho f (x) > λg(x)với mọi x ∈ A

Câu 3

1 Phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của một dãy hàm

2 Xét sự hội tụ của dãy hàm fn(x) = n(√n

MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCHThời gian làm bài: 180 phútCâu 1.

1 Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại giới hạn hữu hạn của một dãy số đơn điệu

2 Cho hàm số f : [0; +∞) → R liên tục và bị chặn trong [0; +∞) Chứng minh rằng có tồn tạimột dãy số {xn}n≥1⊂ [0; +∞) sao cho:

2 Cho D là một tập mở trong R2 và hàm số f (x; y) xác định trên D Chứng minh rằng nếu fliên tục theo từng biến x, y trong miền D, đơn điệu theo một trong hai biến đó thì f liên tụctheo cả hai biến (x; y) trong D

b) Xét tính liên tục, tính khả vi của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó.Câu 4 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

1 Phát biểu và chứng minh định lý Bolzano - Cauchy về giá trị trung gian của hàm số liên tụctrên một đoạn thẳng.

2 Cho hàm số f xác định và liên tục trên khoảng mở hữu hạn (a; b) Chứng minh rằng f liên tụcđều trên (a; b) khi và chỉ khi hai giới hạn lim

1 Phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều của dãy hàm trên một tập

MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCHThời gian làm bài: 180 phútCâu 1.

1 Phát biểu và chứng minh định lý Lagrange về hàm số một biến số khả vi (được phép sử dụngđịnh lý Fermat)

2 Cho hàm số f xác định và liên tục trên khoảng đóng [a; b], khả vi trong khoảng mở (a; b).Chứng minh rằng nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim

x→a +f0(x) = λ thì f có đạo hàm phải tại a và

f+0 (a) = λ

Câu 2

1 Nêu định nghĩa tập compact trong Rn Chứng minh rằng nếu A là tập compact trong Rn vàhàm số f : A → R liên tục trên A thì f liên tục đều trên A

2 Cho D = [a; b] × [c; d] là hình chữ nhật trong R2 và F : D → R là các hàm số liên tục trên

D Giả sử rằng ϕn: [a; b] × [c; d] (n = 1, 2, ) là dãy các hàm số liên tục và hội tụ đều trên[a; b] Với mỗi n ∈ N đặt

fn(x) = F (x, ϕn(x)), x ∈ [a; b] Chứng minh rằng dãy hàm {fn(x)} hội tụ đến một hàm liên tục trên [a; b]

Câu 4 Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau

1 Phát biểu và chứng minh định lý Cantor về tính liên tục đều của các hàm số trên một đoạnthẳng.

2 Giả sử A là một tập hợp bị chặn trong Rn và f : A → R là hàm số liên tục đều trên A Chứngminh rằng f (A) là một tập bị chặn trong R

X

n=1

(−1)n−1

nx

1 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

2 Xét tính liên tục của hàm tổng của chuỗi hàm trong miền hội tụ của nó

Câu 3 Giả sử A là một tập mở lồi tròn Rn, f : A → R là một hàm số khả vi trong A, a và b làmột trong hai điểm bất kỳ trong A Chứng minh rằng tồn tại điểm c ∈ A sao cho

Câu 5 Cho a và b là hai số thực dương, {an}∞

ĐỀ THI MÔN CƠ BẢN ĐẠI SỐ

Câu 2 Phân tích đa thức X4 + 1 thành tích các đa thức bất khả quy lần lượt trên các trường

số hữu tỉ Q, trường số thực R, trường số phức C

Câu 3 Tự đồng cấu f của một không gian véc-tơ thực V có ma trận đối với cơ sở (e1, e2, e3, e4)là

a) Tìm số chiều và một cơ sở của hạt nhân của f

b) Tìm số chiều của ảnh của f

Câu 4 Tính định thức cấp n + 1 sau đây

... điệu.

2 Tìm hai số thực a, b để hàm số f khả vi R,

b) Hàm số f có đạo hàm riêng cấp điểm a

2 Cho A tập Compact không gian Rn hai hàm f, g : A → R liên tục A thỏamãn...

nx

1 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm

2 Xét tính liên tục hàm tổng chuỗi hàm miền hội tụ

Câu Giả sử A tập mở lồi tròn Rn, f : A → R hàm số khả vi A, a b làmột hai điểm... tiêu chuẩn Cauchy hội tụ dãy hàm tập

MÔN THI CƠ SỞ: GIẢI TÍCHThời gian làm bài: 180 phútCâu