Luận văn phương pháp lai ghép cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ VÂN TRANG PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC S

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ VÂN TRANG

PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ VÂN TRANG

PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Quang Thủy

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc của

TS Lê Quang Thủy Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành

và sâu sắc đến thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả thựchiện luận văn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm

Hà Nội II đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tạitrường

Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn khoa Toán, Phòng Sau đại học trườngtrường Đại học Sư phạm Hà Nội II đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn tới gia đình, cơ quan đã luôn bên cạnh ủng

hộ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong quá trình học tập và hoànthành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do điều kiện về thời gian và khả năng bản thân cóhạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tác giả rất mong nhậnđược sự đóng góp ý kiến của các thầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Nguyễn Thị Vân Trang

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Số liệu và các kếtquả nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn trung thực, được tham khảo từ các tàiliệu chuyên khảo cùng các công trình khoa học đã được công bố tại các nhà xuất bảnhoặc các tạp chí chuyên ngành có uy tín trong và ngoài nước

Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Nguyễn Thị Vân Trang

Mục lục

1.1 Một số kiến thức về giải tích lồi trong Rn 1

1.1.1 Tập lồi và nón lồi 1

1.1.2 Phép chiếu lên tập lồi đóng 2

1.1.3 Hàm lồi 3

1.1.4 Dưới vi phân của hàm lồi 6

1.1.5 Cực trị của hàm lồi 6

1.2 Bài toán cân bằng trong không gian Hilbert 10

1.3 Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 11

2 Phương pháp đạo hàm tăng cường cho bài toán cân bằng 16 2.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trong không gian Rn 16

2.2 Phương pháp bài toán cân bằng phụ 21

2.2.1 Bài toán cân bằng phụ 23

2.2.2 Phương pháp bài toán cân bằng phụ 24

2.3 Phương pháp đạo hàm tăng cường cho bài toán cân bằng 29

2.3.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường 29

3 Phương pháp lai ghép cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 37 3.1 Phương pháp lai ghép cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động 37 3.2 Ứng dụng 46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng như: chứng minh sự tồn tại nghiệmcủa phương trình vi phân và phương trình tích phân (định lý Picard và định lýPeano), chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland, chứng minh sự tồn tại điểmcân bằng trong mô hình kinh tế, sự tồn tại nghiệm tối ưu của nhiều bài toán trong

lý thuyết tối ưu Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) là kết quả khởi đầu cho lýthuyết điểm bất động dạng co Một trong những mở rộng tự nhiên và quan trọngcủa ánh xạ co là ánh xạ không giãn Lý thuyết điểm bất động cho phép ta xâydựng thuật toán tìm nghiệm của nhiều bài toán khác nhau Một trong những bàitoán nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoàinước là bài toán tìm điểm chung của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn

và tập nghiệm bài toán cân bằng

Bài toán cân bằng lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H Nikaido, K Isodanhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác Đếnnăm 1972 bài toán này được xét đến dưới dạng một bất đẳng thức minimax bởitác giả Ky Fan, người đã có nhiều đóng góp quan trọng cho bài toán, nên bài toánnày còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan inequality) Bài toán này cònđược sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong lý thuyết trò chơi (Game theory),bởi thế nó còn có tên gọi khác là Bài toán cân bằng (Equilibrium problem) theocách gọi của tác giả L D Muu, W Oettli [8] năm 1992 và E Blum, W Oettli [4]năm 1994

Cho tới nay một vấn đề nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toánhọc trong và ngoài nước cho bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toáncân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn là đề xuất các phươngpháp, thuật toán giải, tính hội tụ của các thuật toán, Mục đích của luận văn là

giới thiệu về bài toán cân bằng, ánh xạ không giãn; một số kết quả về sự tồn tạinghiệm cùng một số phương pháp cơ bản giải bài toán cân bằng đơn điệu, giả đơnđiệu và một phương pháp lai ghép cho bài toán tìm điểm chung của tập nghiệmbài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, cấu trúc củaluận văn gồm ba chương như sau:

Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản củagiải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, cực trị hàm lồi, làm cơ sở cho các phần trìnhbày trong các chương sau; bài toán cân bằng và ánh xạ không giãn cũng được đềcập trong nội dung của chương này

Chương 2 “Phương pháp đạo hàm cường cho bài toán cân bằng” trình bày một sốkết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng cùng phương pháp đạo hàmtăng cường cho việc giải bài toán cân bằng

Chương 3 “Phương pháp lai ghép cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bấtđộng” trình bày một phương pháp lai ghép cho bài toán tìm điểm chung của tậpnghiệm bài toán cân bằng với song hàm cân bằng giả đơn điệu và tập điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Bài toán cân bằng, các trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng;

• Ánh xạ không giãn, điểm bất động của ánh xạ không giãn;

• Thuật toán cho bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng

và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn trongkhông gian Hilbert

• Thuật toán lai ghép cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động củaánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

5 Phương pháp nghiên cứu

• Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu

• Tổng hợp, phân tích, sử dụng kiến thức của giải tích hàm, giải tích lồi và lýthuyết tối ưu nghiên cứu bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động củaánh xạ không giãn

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn là một bài tổng quan về phương pháp lai ghép cho bài toán cân bằng

và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

Một số kí hiệu và chữ viết tắt

domf = {x ∈ C : f (x) < +∞}

[a, b] = {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, 0 ≤ λ ≤ 1}

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích lồi như tập lồi, hàmlồi, bài toán qui hoạch lồi, Điểm bất động của ánh xạ không giãn cũng như bài toáncân bằng và một số trường đặc biệt của bài toán cân bằng cũng được đề cập trong nộidung của chương này Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [5],[7]

1.1 Một số kiến thức về giải tích lồi trong Rn

qua hai điểm bất kỳ của C, nghĩa là

∀x, y ∈ C, λ ∈ R : z = λx + (1 − λ)y ∈ C

là af f C Đó là tập afin nhỏ nhất chứ C Ví dụ bao afin của hình cầu

là cả không gian R3

Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ Rn được gọi là tập lồi (convex set) nếu C chứa trọn đoạnthẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó, tức là

hiệu là convC Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa C

λx ∈ C Tập C là nón lồi nếu C vừa là nón vừa là tập lồi Nón C không chứa đườngthẳng nào gọi là nón nhọn

được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x

phần tử ¯x ∈ C sao cho ¯x gần x nhất theo chuẩn k.k trong không gian Rn

Phần tử ¯x gọi là hình chiếu của x lên C, kí hiệu PC(x)

Khi đó ta gọi ánh xạ

PC : Rn→ C

x 7→x = Pb C(x)

là phép chiếu của x lên tập C.

Với mỗi x ∈ Rn, ta gọi dC(x) = 1

2kx − PC(x)k là khoảng cách từ x đến C Dễ thấy nếu

x ∈ C thì dC(x) = 0 và PC(x) = {x}

của bài toán tối ưu:

2ky − xk2 : y ∈ C }

trên tập lồi

Mệnh đề dưới đây chỉ ra một số tính chất cơ bản của phép chiếu

các khẳng định sau là đúng

(i) Với mọi x ∈ Rn, ¯x = PC(x) tồn tại và duy nhất;

(ii) Với mọi x ∈ Rn, ¯x = PC(x) khi và chỉ khi

(ii) Hàm lồi chặt (Strictly convex function) trên C nếu với mọi x1, x2 ∈ C,x1 6= x2 vàvới mọi t ∈ (0, 1) ta có

(v) Hàm lõm chặt (Strictly concave function) nếu −f là hàm lồi chặt trên C

Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa, ta có f lồi mạnh ⇒ f lồi chặt ⇒ f lồi

domain) của hàm f là tập

domf = {x ∈ C : f (x) < +∞} Trên đồ thị (Epigaraph) của hàm f là tập

Epif = {(x, λ) ∈ C × R : f (x) ≤ λ} Hàm f gọi là chính thường trên C nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ domf

i) Nửa liên tục dưới (Lower semi continuos) tại x ∈ C nếu

C nếu nó nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại mọi x ∈ C

Một hàm lồi có thể không liên tục trên biên miền xác định của nó, tuy nhiên nóliên tục tại mọi điểm trong của tập đó theo định lý sau

Cho hàm số f xác định trên tập lồi mở C ⊆ Rn.

mọi d ∈ Rn, kdk đủ nhỏ sao cho x∗+ d ∈ C, ta có

dương trên C, nghĩa là với mỗi x ∈ C, ta có

yT∇2f (x)y ≥ 0 ∀y ∈ Rn

C, nghĩa là với mỗi x ∈ C, ta có

yT∇2f (x)y > 0 ∀y ∈ Rn\ {0}

f : C → R ∪ {+∞} Ta nói hàm f là

(i) Tựa lồi (Quasiconvex) trên C nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1], ta có

f [λx + (1 − λ)y] ≤ max {f (x), f (y)} ;(ii) Tựa lồi nửa chặt(Semistrictly quasiconvex) trên C và với mọi x, y ∈ C, ta có

f (x) < f (y) ⇒ f (z) < f (y) ∀z ∈ (x, y);

(iii) Tựa lồi chặt (Strictly quasiconvex) trên C nếu với mọi x, y ∈ C, x 6= y và với mọi

λ ∈ (0, 1) ta có

f [λx + (1 − λ)y] ≤ max {f (x), f (y)}

1.1.4 Dưới vi phân của hàm lồi

điểm x0 nếu

hp, x − x0i + f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ Rn

tại điểm x0, kí hiệu ∂f (x0) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0) 6= ∅.Tập ∂f (x0) thường chứa nhiều phần tử Trong trường hợp hàm lồi f khả vi thì ∂f (x0)chứa duy nhất một phần tử

điểm x0 ∈ int(domf)

i) p ∈ ∂f (x0) ⇔ (p, −1) ∈ Nepif(x0, f (x0));

ii) ∂f (x0 là tập đóng;

iii) Nếu f (x) khả vi tại x0 thì ∂f (x0) = {∇ϕf (x0)}

f (x∗) ≤ f (x) ∀x ∈ C.

f (x∗) < f (x) ∀x ∈ C, x 6= x∗

của x∗ sao cho

f (x∗) < f (x) ∀x ∈ U ∩ C

U của x∗ sao cho

f (x∗) < f (x) ∀x ∈ U ∩ C, x 6= x∗

.Nếu C = Rn, ta nói bài toán (1.1) là bài toán tối ưu không ràng buộc

Chú ý 1.1 Nghiệm tối ưu toàn cục cũng là nghiệm tối ưu địa phương, nhưng điềungược lại không đúng và

max {f (x) : x ∈ C} = − min {−f (x) : x ∈ C} Nếu C là tập lồi khác rỗng và f : C → R là hàm lồi thì bài toán (1.1) là bài toán quyhoạch lồi và được kí hiệu

Mệnh đề sau cho ta kết quả đặc trưng của bào toán quy hoạch lồi (CP )

Mệnh đề 1.3 Xét bài toán qui hoạch lồi (CP ) Khi đó các phát biểu sau là đúng:i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của bài toán (CP ) đều là cực tiểu toàn cục

ii) Tập nghiệm của bài toán (CP ) là tập lồi trong Rn

iii) Nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu của bài toán (CP ), nếu tồn tại là duy nhất.Định lý sau đây cho ta điều kiện cần và đủ về sự tồn tại nghiệm tối ưu của bài toánqui hoạch lồi (CP )

toán qui hoạch lồi (CP ) khi và chỉ khi tồn tại p ∈ ∂f (x∗) sao cho

hp, x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C

Chứng minh

Giả sử tồn tại p ∈ ∂f (x∗) sao cho hp, x − x∗i ≥ 0, với mọi x ∈ C Vì f là hàm lồi,nên theo Định lý 1.2, ta có

Theo Định lý 1.4 ([10]), tồn tại (v0, µ) ∈ Rn+1\ {0} sao cho

Đặt p = −vµ, ta có

hp, y − x∗i + f (x∗) ≤ f (y) ∀y ∈ C

Suy ra p ∈ ∂f (x∗) Thay v0 = −µp vào (1.4) ta được

C ⊂ int (domf) Khi đó

x∗ ∈ Arg min {f (x) : x ∈ C} ⇔ 0 ∈ ∂f (x∗) + NC(x∗),

trong đó Arg min {f (x) : x ∈ C} là tập nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch lồi (CP )

x∗ ∈ Arg min {f (x) : x ∈ C} ⇔ 0 ∈ ∂f (x∗)

chứng minh

quả như sau

x∗ ∈ intC và x∗ ∈ Arg min {f (x) : x ∈ C} ⇔ ∇f (x∗) = 0

Đặc biệt

x∗ ∈ Arg min {f (x) : x ∈ Rn} ⇔ ∇f (x∗) = 0

là điểm cực tiểu toàn cục của bài toán quy hoạch lồi (CP ) khi và chỉ khi

h∇f (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C

ra điều phải chứng minh

1.2 Bài toán cân bằng trong không gian Hilbert

Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và f : C × C → R làánh xạ thỏa mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C Bài toán cân bằng được phát biểu nhưsau:

Hàm f còn được gọi là song hàm cân bằng trên C

Như ta thấy, bài toán cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức, tuy nhiên nó baohàm được nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc các lĩnh vực khác nhau như bài tối ưu,bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán điểm yên ngựa,bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác, Các nhà nghiên cứu cũngchỉ ra rằng, nhiều bài toán thực tế trong kinh tế và kỹ thuật có thể mô tả được dướidạng bài toán cân bằng Bằng các phép biến đổi thích hợp ta có thể đưa các bài toánnày về bài toán cân bằng

Chẳng hạn, xét bài toán điểm bất động Kakutani

Đặt f (x, y) = hx − T (x), y − xi với mọi x, y ∈ C Khi đó bài toán điểm bất động (FP)

là bài toán cân bằng

T (x∗) = x∗

Mặt khác

f (x, y) = hx − T (x), y − xi ,

f (x∗, y) = hx∗− T (x∗), y − x∗i = 0 ∀y ∈ C

Định lý 1.8 (Nguyên lý điểm bất động của ánh xạ co) Cho không gian Hilbert H vàánh xạ f : H → H Nếu f là ánh xạ co thì f có duy nhất điểm bất động, tức tồn tạiduy nhất y ∈ H để f (y) = y

Định nghĩa 1.9 Cho C là tập con của không gian Hilbert H Ánh xạ T : C → Hthỏa mãn

được gọi là ánh xạ không giãn

Trong năm 1965 xuất hiện ba định lý điểm bất động, trong đó hai định lý củaBrowder và của Gohde được chứng minh độc lập nhưng kết quả trùng nhau, còn định

lý của Kirk là mở rộng một phần cơ bản của hai định lý trên Phần này trình bày định

lý của Kirk

Định lý 1.9 (Kirk) Cho C là một tập lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trongkhông gian định chuẩn X và T : C → C là một ánh xạ không giãn Khi đó T có điểmbất động trong C

Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng Giả sử d = diamH > 0 Do C

có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z ∈ H sao cho

r = sup {kz − xk : x ∈ H} < d

Vậy tập hợp D = {z ∈ H : H ⊂ B(z, r)} 6= ∅, trong đó B(z, r) là hình cầu đóng tâm

z bán kính r Lấy z bất kỳ trong D, do T là không giãn, ta có T (H) ⊂ B(T z, r), vì vậycoT (H) ⊂ B(T z, r), trong đó co ký hiệu là bao lồi, đóng của một tập hợp Vì coT (H)

là một tập hợp lồi, đóng trong C và C compact yếu nên coT (H) cũng compact yếu

T (coT (H)) ⊂ T (H) ⊂ coT (H)

Vậy coT (H) ∈ F Vì coT (H) ⊂ H và H là cực tiểu nên coT (H) = H Do đó ta có

H ⊂ B(T z, r) Suy ra T z ∈ D Mà z là bất kỳ trong D nên T (D) ⊂ D

Ta sẽ chứng tỏ D lồi, đóng Thật vậy, giả sửz1, z2 ∈ D và z = αz1+ (1 − α)z2 với

α ∈ [0, 1] Khi đó, với mọi x ∈ H ta có kx − zik ≤ r, i = 1, 2 Suy ra kx − zk ≤ r vớimọi x ∈ H Do đó z ∈ D, hay D là tập lồi

mọi x ∈ H Suy ra z ∈ D, tức D là tập đóng

Như vậy D ⊂ C là tập hợp lồi, đóng và bất biến đối với T , nên D ∈ F Vì D ⊂ H

và H là cực tiểu nên D = H Khi đó với mọi u, v ∈ D = H, ta có ku − vk ≤ r Do đó

d = diamH = diamD ≤ r < d Mâu thuẫn này chứng tỏ H chỉ có một điểm, tức là

H = {x∗}

Định lý sau cho ta đặc trưng về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong khônggian Hilbert

Định lý 1.10 Cho C là tập con lồi, đóng, không rỗng trong không gian Hilbert H vàánh xạ không giãn T : C → C Khi đó các mệnh đề sau tương đương

(i) Tập F ix(T ) các điểm bất động của ánh xạ T là khác rỗng

Hơn nữa, trong trường hợp này F ix(T ) là tập lồi, đóng

{Snx} là tập con compact yếu Do đó, dãy {Snx} chứa dãy con {Snkx} hội tụ yếu vềphần tử p ∈ C Vì vậy, ta có

0 ≤ 2hp − T y; T y − yi + kT y − yk2

Chọn y = p ta nhận được

0 ≤ 2hp − T p; T p − pi + kT p − pk2

F ix(T ) 6= ∅ Tiếp theo, ta chứng minh F ix(T ) là tập lồi, đóng

Do T là ánh xa không giãn nên

Điều này vô lý, do vậy T (z) = z hay z ∈ F ix(T ) Suy ra F ix(T ) là tập lồi

Hệ quả 1.4 Cho C là tập con lồi, đóng khác rỗng, bị chặn trong không gian Hilbert

H và ánh xạ T : C → C không giãn Khi đó T có một điểm bất động trong C

Kết quả sau cho ta một phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động của ánh xạ khônggiãn trong không gian Hilbert

Định lý 1.11 [5] Cho C là tập con lồi đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực

Kết luận chương

Sau khi nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi như tập lồi,hàm lồi, bài toán qui hoạch lồi, Phần còn lại của chương này trình bày:

- Mô hình toán học của bài toán cân bằng;

- Ánh xạ không giãn cùng một số kết quả cơ bản về sự tồn tại điểm bất động củaánh xạ không giãn

2.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng trong không gian

Rn

Mục này trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cânbằng (EP ) Để thuận tiện cho việc theo dõi, ta nhắc lại các định nghĩa về tính đơnđiệu và giả đơn điệu của song hàm cân bằng

cân bằng f : C × C → R ∩ {+∞} được gọi là

(i) Đơn điệu (Monotone) trên C nếu

(iv) Giả đơn điệu (Pseudomonotone) trên C nếu

hàm f : C × D → R Giả sử hàm f (·, y) tựa lồi, nửa liên tục dưới trên trên C với mọi

y ∈ D và hàm f (x, ·) tựa lõm, nửa liên tục trên trên D với mọi x ∈ C Khi đó, nếumột trong hai điều kiện sau thoả mãn:

Mệnh đề sau cho ta kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Mệnh đề 2.1 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Rn Giả sử hàm

f (·, y) là hàm tựa lồi, nửa liên tục trên trên C với mọi y ∈ C và hàm f (x, ·) là hàmtựa lõm, nửa liên tục trên trên C với mọi x ∈ C Khi đó, nếu một trong hai giả thiếtsau thoả mãn:

thì bài toán cân bằng (EP ) có nghiệm

Chứng minh Với D ≡ C, ta thấy song hàm f thoả mãn mọi điều kiện của Định lý2.1, nên theo Định lý 2.1 ta có

Đặt s(x) := inf

liên tục dưới C Theo giả thiết C(N∗) là tập compact, nên tồn tại x∗ ∈ C(N∗) sao cho

x∈C(N ∗ )s(x) = 0, tức

s(x∗) = inf

y∈Cf (x∗, y) = 0Suy ra f (x∗, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C, tức x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (EP )

Nhận xét 2.1 Mệnh đề trên đòi hỏi tính tựa lõm theo biến thứ nhất của song hàmcân bằng f Trên thực tế ta có thể loại bỏ điều này Để chứng minh sự tồn tại nghiệmcủa bài toán cân bằng khi song hàm cân bằng không cần tựa lõm theo biến thứ nhất,

ta cần đến các Định lý điểm bất động quen thuộc trong giải tích hàm như Định lýKakutani và một trường hợp riêng quan trọng của nó là Định lý Brouwer

Để tiện theo dõi, ta sẽ nhắc lại các định lý này trong không gian Euclidean hữu hạnchiều

Định lý 2.2 (Điểm bất động Kakutani) Cho C là một tập lồi, compact khác rỗng

trên C và với mọi x ∈ C F (x) là một tập lồi, compact khác rỗng Khi đó F có điểmbất động, tức là tồn tại x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ F (x∗)

có ít nhất một điểm bất động, tức là tồn tại x∗ ∈ C thoả mãn x∗ = F (x∗)

ánh xạ nửa liên tục trên trên X sao cho F (x) compact Giả sử F : X × X → R là hàm

số nửa liên tục trên trên X Khi đó hàm giá trị tối ưu

g(x) := max {f (x, y) : y ∈ F (x)}

và ánh xạ tập nghiệm tối ưu

S(x) := {y ∈ F (x) : f (x, y) = g(x)}

nửa liên tục trên X

Dựa vào Định lý điểm bất động Kakutani và Định lý cực đại Berge ta chứng minhđược mệnh đề sau

Mệnh đề 2.2 Cho C là một tập lồi, compact khác rỗng trong không gian Rn Giả sửsong hàm cân bằng f : C × C → R ∪ {+∞} thoả mãn các điều kiện:

i) f (·, y) nửa liên tục với mọi y ∈ C;

ii) f (x, ·) lồi, nửa liên tục dưới và khả vi dưới vi phân trên C với mọi x ∈ C

Khi đó bài toán cân bằng (EP ) có nghiệm

compact) Giả sử song hàm cân bằng f thoả mãn các điệu kiện trong Mệnh đề 2.2 vàđiều kiện bức sau đây thoả mãn:

Tồn tại compact D sao cho C ∩ D 6= ∅, ∀x ∈ C\D, ∃y ∈ D : f (x, y) < 0

Khi đó bài toán cân bằng (EP ) có nghiệm

Chứng minh Theo mệnh đề 2.2, bài toán cân bằng trên tập compact C ∩ D với songhàm cân bằng f có nghiệm, tức tồn tại x∗ ∈ C ∩ D, sao cho f (x∗, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C,

Kết quả sau chỉ ra tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng cho trường hợp song hàmcân bằng f tựa đơn điệu

song hàm f : C × C → R thoả mãn các điều kiện

i) f (·, y) là nửa liên tục với mọi y ∈ C;

ii) f (x, ·) là tựa lồi nửa chặt và nửa liên tục dưới với mọi x ∈ C;

iii) f là tựa đơn điệu trên C;

2.2 Phương pháp bài toán cân bằng phụ

Phương pháp bài toán cân bằng phụ là một kỹ thuật được sử dụng phổ biến trongviệc giải bài toán cân bằng Thông qua việc sử dụng phương pháp tiếp cận điểm bấtđộng ta tìm được nghiệm của một bài toán cân bằng phụ mà nghiệm này cũng lànghiệm của bài toán cân bằng ban đầu

Kết quả sau đây cho thấy sự tương đương giữa bài toán cân bằng với bài toán điểmbất động Đây là cơ sở tổng quát để đưa ra các thuật toán giải bài toán cân bằng

Bổ đề 2.1 Giả sử f : C × C → R là song hàm thỏa mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C.Khi đó các phát biểu sau là tương đương