Chứng minh rằng a, b là 2 nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số nguyên.. Chứng minh rằng c2, d2 là 2 nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số nguyên.. a Chứng minh rằng đườn
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007 – 2008 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN AB (Chung cho các lớp Toán, Tin, Lý, Hoá , Sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút
1
3 ) 1 ( 2 2
2
x
m m m
x
a) Tìm m để x = –1 là một nghiệm của phương trình (1) b) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
Câu 2 a) Giải bất phương trình: (x3)(x 1) 2x 1x2 7
b) Giải hệ phương trình:
1 2 3 2
1 2 3 2
y y y x x y
x x x y y x
Câu 3 a) Cho a, b là hai số thoả mãn điều kiện: a2 3ab2b2 a ba2 2abb2 5a7b0
Chứng tỏ rằng: ab 12a15b0
b) Cho:
) 1 (
) 1 2 )(
2 4 )(
1 )(
2 4
x x x
x x x
x x x
Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và BAC 600 Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC
a) Chứng minh rằng tam giác INP là tam giác đều
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC Chứng minh các điểm I, M, E, K cùng thuộc một đường tròn
c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP Hãy tính số đo của BCP
Câu 5 Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng lúc
Nếu sau 6 ngày, tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B Nếu tổ A được hỗ trợ thêm
10 công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày Hãy xác định số công nhân ban đầu của mỗi tổ Biết rằng, mỗi công nhân may mỗi ngày được 20 sản phẩm
-ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007 – 2008
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN NĂNG KHIẾU (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu 1 a) Giải hệ phương trình:
xy y
x y x
2 9 6 6
2 2
b) Cho a 11 6 2 , b 11 6 2 Chứng minh rằng a, b là 2 nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số nguyên c) Cho c 3 6 3 10 , d 3 6 3 10 Chứng minh rằng c2, d2 là 2 nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số nguyên
Câu 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) P là một điểm di động trên cung BC không chứa A Hạ AM, AN lần lượt vuông
góc với PB và PC
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định;
b) Xác định vị trí của điểm P sao cho biểu thức AM.PB AN.PC đạt giá trị lớn nhất
Câu 3.a) Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn điều kiện abcd 1
Chứng minh bất đẳng thức (ab)(cd)42(abcd)
b) Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn điều kiện abcd 1
Chứng minh bất đẳng thức (acbd)(adbc)(ab)(cd)
Câu 4 Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD Biết rằng đường tròn đường kính CD đi qua trung điểm các cạnh bên AD, BC và
tiếp xúc với AB Hãy tìm số đo các góc của hình thang
Câu 5.a) Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3 Chứng minh rằng trong 3 phương trình
0 2
0 2
, 0
2
x và có ít nhất một phương trình có 2 nghiệm phân biệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm
b) Cho S là một tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: tổng hai phần tử tuỳ ý của S là một số chính phương
(Ví dụ S 5,20,44 hoặc S 10,54,90 là các tập hợp thoả mãn điều kiện trên) Chứng minh rằng trong tập S có không quá 1 số lẻ
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2008 - 2009
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN AB (Chung cho các lớp Toán, Tin, Lý, Hoá, Sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 Cho phương trình:
(2 1) 6 2
Trang 2a) Giải phương trình (1) khi m 1 b) Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình (1) có nghiệm.
Câu 2 a) Giải phương trình: 2 x 1 2 x 1 1 b) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 4
2 4
Câu 3 a) Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến x (với x > 1) ( 4 3 )( 1)
( 1)( )( 3)
A
b) Cho a b c , , là các số thực khác 0 và thoả mãn điều kiện: 2 3 0
bc ca ab
Chứng minh rằng: a b c
Câu 4 Cho tứ giác nội tiếp ABCD có góc A nhọn và hai đường chéo AC, BD vuông góc nhau Gọi M là giao điểm của AC và BD, P
là trung điểm của CD và H là trực tâm của tam giác ABD
a) Hãy xác định tỷ số PM
DH .
b) Gọi N và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và D của tam giác ABD; Q là giao điểm của hai đường thẳng KM và BC Chứng minh rằng MN MQ
c) Chứng minh rằng tứ giác BQNK nội tiếp được.
Câu 5 Một nhóm học sinh cần chia đều một lượng kẹo thành các phần quà để tặng cho các em nhỏ ở một đơn vị nuôi trẻ mồ côi.
Nếu mỗi phần quà giảm 6 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 5 phần quà nữa, còn nếu mỗi phần quà giảm 10 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 10 phần quà nữa Hỏi nhóm học sinh trên có bao nhiêu viên kẹo?
-ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2008-2009
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN CHUYÊN (Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu I 1) Cho phương trình x2 mx 2 m 2 0
a) Chứng minh rằng (1) không thể có hai nghiệm đều âm
b) Giả sử x x1, 2 là hai nghiệm phân biệt của (1) Chứng minh rằng biểu thức
( x 2 x 2)( x 2 x 2)
x x
thuộc vào giá trị của m
2) Giải hệ phương trình:
x y z
y z x
z x y
Câu II Cho tam giác ABC không cân Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Đường
thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K
1) Chứng minh các tam giác IDA và IJD đồng dạng
2) Chứng minh rằng KI vuông góc với AD
Câu III Cho góc xAy vuông và hai điểm B và C lần lượt trên các tia Ax, Ay Hình vuông MNPQ có các đỉnh M thuộc cạnh AB,
đỉnh N thuộc cạnh AC và các đỉnh P, Q thuộc cạnh BC
1) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và đường cao AH = h của tam giác ABC
2) Cho B và C thay đổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB.AC = k2
(k không đổi) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ
Câu IV Một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phuơng các chữ số của nó.
1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số
2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim
Câu V Trong một giải vô địch bóng đá có 6 đội tham gia Theo điều lệ của giải, hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một
trận, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua 0 điểm Kết thúc giải, số điểm của các đội lần lượt làD1, D2, D3, D4,
D5, D6
(D1 D2 D3 D4 D5 D6) Biết rằng đội bóng với số điểm D1 thua đúng một trận
và D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6 Hãy tìm D1 và D6
Bộ Giáo dục và Đào tạo
Trường ĐHSP Tp HCM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN Năm học 2007 - 2008
Môn thi: TOÁN (Đề chung cho các lớp chuyên Toán, Văn, Pháp)
Thời gian làm bài: 150 phút
Trang 3Câu 1: 1 Rút gọn biểu thức: vớix0;x4.
2
3 2 2
2 3 4
) 16 (
x
x x
x x
x x
A
2 Không giải phương trình 2 2 17 13 0
x , hãy tính giá trị của biểu thức:
2 1 2
2 1
2 2 2 1
2 1
3 3
4 7
4
x x x x
x x x x S
trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho
Câu 2: 1 Vẽ đồ thị (P) của hàm số
2
2
x
y
2 Tìm giá trị của m để đường thẳng (D) là đồ thị hàm số y m (x1) (m 0)tiếp xúc với đồ thị (P) Tìm toạ độ tiếp điểm
Câu 3: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
1
13
2 2
x x x x
2
4 3 3 1 2
27 3 1
5
y y x
x y y x
x
Câu 4: Tìm số tự nhiên bé nhất biết rằng khi chia số đó cho 2005 thì được dư là 23 còn khi chia cho 2007 thì được dư 32.
Câu 5:Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Điểm M di động trên cung nhỏ BC, M khác B và C Dây AM
cắt dây BC tại D
1.Chứng minh AM =BM + CM
2.Chứng minh tích AD.AM là một hằng số
3.Xác định vị trí điểm M sao cho độ dài đoạn DM lớn nhất Tính giá trị lớn nhất này theo R
4.Tia CM cắt tia AB tại K Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DBKM
Bộ Giáo dục và Đào tạo
Trường ĐHSP Tp HCM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN - Năm học 2007 - 2008
Môn thi: TOÁN CHUYÊN (Thời gian làm bài: 150 phút.)
Bài 1: a) Giải phương trình ( 3) 2 5 2 2 7 3
x
b) Cho phương trình ( 1) 2 ( 1) 3 0
m (1) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình (1) có hai
nghiệm x1, x2 và 2
2 1 2
2
x là một số nguyên
Bài 2: Cho a > b > c > 0 Chứng minh rằng: a3b2b3c2c3a2 a2b3b2c3c2a3
Bài 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thoả mãn:
y zx
x yz
z xy
) 1 (
) 1 (
) 1 (
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi (O’) là đường tròn bất kỳ tiếp xúc ngoài với (O) tại D trên cung BC không
chứa A Các đường thẳng AD, BD, CD kéo dài cắt đường tròn (O’) lần lượt tại A’, B’, C’
a) Chứng minh rằng:
CD
CC BD
BB AD
b) Chứng minh rằng: AD.BC AC.BDAB.CD
c) Gọi AA1, BB1, CC1 là các tiếp tuyến của (O’) lần lượt vẽ từ A, B, C.Chứng minh rằng:
AB CC AC BB
BC
AA1 1 1
Bài 5: Chứng minh rằng nếu tứ giác lồi ABCD không là tứ giác nội tiếp thì: AB.CDAD.BC AC.BD
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH-TRƯỜNG THPT THỰC HÀNH SƯ PHẠM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2008 - 2009
MÔN TOÁN (Chung cho các lớp chuyên Toán, Văn và tiếng Pháp)
Câu 1 a) Chứng minh đẳng thức sau: 53 12 10 47 6 10 3 2
b) Cho 45 2009 và 45 2009 Chứng minh rằng: A B 98
2( 1) 2 0 (1)
x m x m m
a) Tìm k sao cho (D) và (P) tiếp xúc với nhau.
Trang 4Tìm mđể phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn 2 2
x x
Câu 2 Cho (P): 1 2
2
y x và điểm M(0 ; 2) Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc là k.
b) Tìm k sao cho (D) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt thoả mãn AB = 12 và hoành độ của A và B là các số dương.
Câu 3
a) Giải phương trình: ( x 1)( x 3)( x2 2 ) x 2
b) Giải hệ phương trình sau:
0 2( ) 0
Câu 4 Tìm các bộ 3 số nguyên dương thoả mãn hệ phương trình sau: x y z3 3 2
Câu 5 Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và CD (AB < CD) nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi PQ là một dây cung
vuông góc với AB và CD, P thuộc cung AB, Q thuộc cung CD (P không trùng với A và B, Q không trùng với C và D) Gọi I và K lần lượt là giao điểm của PQ với AB và CD Gọi P1 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống đường thẳng AD, P2 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống đường thẳng AC, Q1 là chân đường vuông góc hạ từ Q xuống đường thẳng AD, Q2 là chân đường vuông góc hạ từ
Q xuống đường thẳng AC
a) Chứng minh rằng QKQ2C, QKDQ1, PP2KC, AIQ2Q là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng Q1, K,Q2 thẳng hàng và P1, K, P2 thẳng hàng
c) Chứng minh rằng PC // IQ2, KP2 //AQ và tứ giác IQ2KP2 nội tiếp
d) Khi PQ là đường kính, hãy chứng minh P1Q1 = BD và P1P2 vuông góc với Q1Q2
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH-TRƯỜNG THPT THỰC HÀNH SƯ PHẠM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2008 - 2009
MÔN TOÁN CHUYÊN-Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I Giải phương trình: 2 x2 5 x 12 2 x2 3 x 2 x 5
Câu II Xét một số tự nhiên A gồm ít nhất 5 chữ số Đổi chỗ các chữ số của A theo một cách nào đó ta được số B Giả sử rằng:
11 1
A B (số tự nhiên gồm n chữ số 1, 0 n )
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của n và chỉ rõ một cặp số tự nhiên A, B để n nhận giá trị nhỏ nhất đó
Câu III Cho số thực a thoả mãn điều kiện 0 a 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
1
2 1
T
Câu IV
1 Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho bán kính của các đường tròn nội tiếp hai tam giác ABD và ACD bằng nhau Chứng minh rằng các đường tròn bàng tiếp góc A của hai tam giác ABD và ACD cũng bằng nhau
2 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là trung điểm cung AB Trên cung BC lấy điểm D di động Các đoạn thẳng AD và OC cắt nhau tại E Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2007-2008 -KHĨA NGÀY 20-6-2007 MƠN THI: TỐN -Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm)
a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luơn cĩ bất đẳng thức sau:
x2 y2 z2 t2 x y z t ( ) Đẳng thức xảy ra khi nào?
b)Chứng minh với mọi số thực a, b khác khơng ta luơn cĩ bất đẳng thức sau:
b a b a
Trang 5Câu 2 (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình sau: x2 xy 6 x 5 y 8
Câu 3 (4 điểm) Cho hệ phương trình
( 2)( 2)
a)Giải hệ phương trình khi m = 24 b)Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Câu 4 (2 điểm) Cho x x2 2007 y y2 2007 2007 Tính S = x y
Câu 5 (2 điểm)
Cho a, b là các số nguyên dương sau cho a 1 b 1
cũng là số nguyên Gọi d là ước số chung của a và b.Chứng minh d a b
Câu 6 (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) (AB < AC) Các tiếp tuyến với (O) tạI B và C các nhau tại N.Vẽ dây
AM song song vớI BC Đường thẳng MN cắt (O) tại M và P
a)Cho biết 12 12 1
16
OB NC , tính độ dài đoạn BC b) Chứng minh
AC AB o)Chứng minh BC, ON và AP đồng qui.
-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHÓA NGÀY 18-06-2008
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm):
a) Tìm m để phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả |x1 – x2| = 17
b) Tìm m để hệ bất phương trình 2x m 1
mx 1
có một nghiệm duy nhất
Câu 2 (4 điểm): Thu gọn các biểu thức sau:
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) (a, b, c khác nhau đôi một)
x 2x 1 x 2x 1
(x ≥ 2)
Câu 3 (2 điểm): Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c
Chứng minh rằng:
a) a2 + b2 + c2 + d2 là tổng của ba số chính phương
b) bc ≥ ad
Câu 4 (2 điểm):
a) Cho a, b là hai số thực thoả 5a + b = 22 Biết phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm là hai số nguyên dương Hãy tìm hai nghiệm đó
b) Cho hai số thực sao cho x + y, x2 + y2, x4 + y4 là các số nguyên Chứng minh x3 + y3 cũng là các số nguyên
Câu 5 (3 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ một điểm C thuộc đường tròn (O) kẻ CH vuông góc với AB (C khác A và B; H
thuộc AB) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường tròn (O) tại D và E Chứng minh DE đi qua trung điểm của CH
Câu 6 (3 điểm): Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1 Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho Ð ABD = Ð CBE = 200 Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN
Câu 7 (2 điểm): Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2 Chứng minh 0 < a + b ≤ 2