TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 (PHẦN ĐẠI SỐ)

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 thptPhần i đại số... d Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của x để B cú giỏ trị nguyờnChuyên đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b - Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 thpt

Phần i

đại số

Chuyên đề 1:

Căn thức, rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức

1.Khỏi niệm

x là căn bậc hai của số khụng õm a ⇔ x2 = a Kớ hiệu: x= a

2.Điều kiện xỏc định của biểu thức A

I Một số bài tập rèn luyện kỹ năng cơ bản

Bài 1: Khai triển cỏc hằng đẳng thức

1) ( 2 1) + 2 2) ( 2 1) − 2 3)( )2

2

5) ( 3 + 2) 2 6) ( 3 − 2) 27) (2 2 2) + 2 8) (2 2 2) − 2

2 4

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 + 8

c) Tìm giá trị của x khi A = 5

Bµi 3: Cho biểu thức: A a a 1 a a 1 :a 2

c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên?

b) Tính giá trị của B khi x 3 = + 8

c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?

Bµi 5 Cho biÓu thøc: C = aba b abb a−a+abb

−

+ +a) Rót gän C

b) TÝnh gi¸ trÞ cña Ckhi a = 4 + 2 3 , b = 4 − 2 3

c) Chøng minh r»ng nÕu = ++51

b

a b

c) Tính giá trị của biểu thức C khi x= 6+ 20

d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên

b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3

c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

d) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn dương của x để B cú giỏ trị nguyờn

Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b

- Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0

- Nếu toạ độ (x 0 ;y 0 ) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này.

- Ngợc lại, nếu điểm A(x 0 ;y 0 ) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x 0 ;y 0 ) của A thoả mãn hàm số y=f(x).

- Cho hai đờng thẳng (d 1 ): y=ax+b & (d 2 ): y= a 1 x+b 1 (a ≠ 0 ; a 1≠ 0)

Bài 4: Viết phương trỡnh đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5

và cắt trục hoành tại điểm cú hoành độ bằng 2

Bài 5: Xỏc định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng cú hệ số gúc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)

b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)

c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x −2

Bài 6: Cho đờng thẳng (d): y=(m-2)x-m+4.

CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m

Bài 7: Cho các đờng thẳng (d1): y=mx-2(m+2) (m ≠ 0) và

Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đờng trên có thể trùng nhau đợc không ?

Bài 9.Cho 3 đờng thẳng : y=2x+1(d1) ; y=-x-2 (d2); y=-2x-m (d3)

a Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d1) & (d2)

b Xác định m để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy

*Dạng 1: Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0

Phơng pháp: ax+b>0 ⇔ ax>-b ⇔ x>-a b nếu a>0

A B A B

+

c'

y b'

x a'

c

by

ax

Phơng pháp giải :

Sử dụng một trong các cách sau :

+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn

5 , 1 5 4

7 , 0

9x− + x− = x−

f)

16

73 15

74 78

11 77

1 6 3

1 5

−

x x

x x

−

= +

y x

3 2 2

1 1

1 2 1

y x

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x< 0 và nghịch biến khi x > 0

Cho Parabol (P): y=ax 2 và đờng thẳng (d): y=mx+b

- ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt ⇔ phơng trình ax 2 =mx+b có 2 nghiệm phân biệt ⇔∆ >0 (nghiệm của phơng trình chính là hoành độ cỉa hai giao điểm)

Bài 2: Cho hàm số y=ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đồ thị (T) của hàm số y= (m-1)x- (m-1)

a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm

b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm đợc trên cùng mặt phẳng toạ độ

Bài 3:Cho đờng thẳng (d): y=k(x-1) và Parabol (P): y= x2-3x+2

a) CMR: (d) & (P) luôn có một điểm chung

b) Trong trờng hợp (d) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm

Bài 5: Cho Parabol (P): y=3x2 Lập phơng trình đờng thẳng

(∆) song song với đờng thẳng (d): y=-2x và tiếp xúc với (P)

Bài 6: Cho (P): y=1 2

2x và hai đờng thẳng (d1): y=2x-2 và (d2): y= ax-1

a) Vẽ (P) & (d1) trên cùng mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ giao

3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai.

Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:

x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 ) ⇔ p = x1x2 < 0

S p

S p

S p

S p

4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét

a)Tính nhẩm nghiệm.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

• Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = a c

• Nếu a – b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - a c

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả

mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến

đổi):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p

*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

*) x1 + x2 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22

*)

2 1

2 1 2 1

1 1

x x

x x x x

2 2

2 1 1

2 2

1

x x

x x x

x x

2 1 2

1

2 )

)(

(

2 1

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

• Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện∆ ≥ 0 (hoặc ∆ / ≥ 0) mà ta thay luôn

x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng

trình bậc hai này có ∆ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc

+ Nếu ∆ / > 0 ⇔ m2 – 9 > 0 ⇔ m < - 3 hoặc m > 3 Phơng trình đã cho

* Nếu m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số ∆ / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- Nếu ∆ / < 0 ⇔ m < 2 Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -

2 1

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 và m ≠ 3 phơng trình có nghiệm x1,2 =

3

2 3

Với m < 2 phơng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất

a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta

6

- x x

7

2

-

3 x x

2 1

2 1

2 1

m

m x

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7

S p

S x

x

x x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2

−

= +

1 Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:

∆ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - 56 k + 95) = 5(k2 – 2

⇔ -(k - 12 )2 - 47 < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai

nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k

> 0 với mọi m

Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

1

4

19 2

Vậy x1 −x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2 1

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phơng trình khi m = - 29

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

−

−

m

m m

m m

m

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m ≠ - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

Trờng hợp 1 : 3x1 = x2 ⇔ 3 = m m+−32 giải ra ta đợc m = - 92 (đã giải ở câu 1)

Trờng hợp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= 3 m m+−23 ⇔m + 2 = 3m – 9 ⇔ m = 112(thoả mãn điều kiện m ≠ - 2)

Kiểm tra lại: Thay m = 112 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm

(thoả mãn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham

số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

2 4 2

0 ≠ m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

2 (1) có nghiệm trái dấu ⇔

0 3

m m m

m m m m

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện ∆ / ≥ 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm

đợc m = -49 Sau đó thay m = -94 vào phơng trình (1) :

2

1

x x

Vậy với m = -49 thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3

Cách 2: Thay m = -49 vào công thức tính tổng 2 nghiệm:

x1 + x2 = 349

4 9

) 2 4

9 ( 2 ) 2 ( 2

3 4

9 3

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

2 7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào ∆ / = k2 + 5k – 2 + k1 = 1 => ∆ / = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn

8 70 49 2 2

35 4

Cách 2 : Không cần lập điều kiện ∆ / ≥ 0 Cách giải là:

Từ điều kiện x1 + x2 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = -

2

7

(cách tìm nh trên)Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

Tính x x1 2 + x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)

Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính B = x13 + x23.

Baứi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại.b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 ≥ 0

Baứi 8 : Cho phơng trình:

(m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*)

1) Giải phơng trình khi m = 1

2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Chuyên đề 6: Tìm GTLN &GTNN của một biểu thức

a.phơng pháp

Ph ơng pháp 1 :

Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵn

( là một biểu thức không âm) rồi tùy theo dấu trớc biểu thức đó là dơng (hay âm) mà biểu thức đã cho là nhỏ nhất (hay lớn nhất).

Chẳng hạn:

A=(ax+b) 2 +m ≥m thì minA=m khi và chỉ khi x=−a b

A=-(ax+b) 2 +M ≤M thì maxA =M khi và chỉ khi x=−a b

Ví dụ1: Tìm GTNN của biểu thức A= m2-6m+11

Ta có: A= m2-6m+11=(m-3)2+2 Do =(m-3)2 ≥0 nên A= (m-3)2+2≥2 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m-3=0 ⇔ m=3

Vậy GTNN của A là 2 khi m=3

Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B= -4x2-8x+5

Ta có: B= -4x2-8x+5=-(4x2+8x-5)=-[(2x+1)2-6] = - (2x+1)2+6≤6

Vậy GTLN của B là 6 khi 2x+1=0 ⇔ x=-21

Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp tìm miền giá trị của một hàm số

Ví dụ: Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:

+

x x

+) y-1=0 ⇔ y=1: (1) có dạng:x=0 (không có GTLN hay GTNN)

+) y -1 ≠0 ⇔ y≠1: Để tồn tại GTNN & GTLN thì (1) phải có nghiệm ⇔∆≥

0

∆ = y2-4(y-1)2=(-y+2)(3y-2)≥0 ⇒ 2 2

3 ≤ ≤y ⇒ GTNN là 2

3 GTLN là 2.Khi đó x=−2(y y−1)=2(1y−y) với y=2/3 thì x=1

với y=2 thì x=-1Vậy: GTNN là 2

3 Khi x=1 ; GTLN là 2 Khi x=-1

S ab S

4

2

+ Nếu ab =P thì a+b ≥ 2 P Vậy a+b đạt GTNN là 2 P ⇔a =b

Ví dụ: Cho biểu thức P= (x+ 3)(5 −x)

8

với -3<x<5 Tìm x để P đạt GTNN.Tìm GTNN đó

5

− + x

Bài 2: Tìm x,y,z để các biểu thức sau đạt GTNN Tìm GTNN đó

a) M=x2+4y2+z2-2x+8y-6z+15 b) N = 2x2+2xy +y2-2x+2y+2

Bài 3: Cho biểu thức :

x

x Q

a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x1và x2 là hai nghiệm cuả phơng trình

Tìm GTNN của tổng S= x12+x22

Bài 7: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình 2x2-3mx-2 =0

Tìm giá trị của m để x1 +x2 đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 8: Tìm GTLN&GTNN nếu có của các biểu thức sau:

A= x2 +3x+4 B=-3x2+4x+1 C=

2 3

5

2 −

Bµi 9: T×m GTNN cña biÓu thøc: M=3y2+x2+2xy+2x+6y-5

Bµi 10:T×m GTLN & GTNN cña biÓu thøc:

=

x x

x x