Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm C0; 1 và có hệ số góc k.. Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A và B với mọi k... Trên tia đối của tia AB lấy
Trang 1sở giáo dục và đào tạo
thanh hóa kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2009 – 2010 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2009
Thời gian làm bài: 120 phút.
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho phơng trình: x2 - 4x + p = 0 (1) với p là tham số
1 Giải phơng trình (1) khi p = 3
2 Tìm p để phơng trình (1) có nghiệm
Bài 2 (1,5 điểm)
Giải hệ phơng trình: x + 2y = 5
2x + y = 4
Bài 3 (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và điểm C(0; 1)
1 Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C(0; 1) và có hệ số góc k
2 Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
A và B với mọi k
3 Gọi hoành độ của hai điểm A và B lần lợt là x1 và x2 Chứng minh rằng: x1.x2
= - 1, từ đó suy ra tam giác AOB là tam giác vuông
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Trên tia đối của tia AB lấy điểm
H (khác với điểm A) Từ các điểm H, A và B kẻ các tiếp tuyến với nửa đờng tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ điểm H cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B lần lợt tại
C và D
1 Gọi P là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm H tới nửa đờng tròn (O) Chứng minh tứ giác ACPO nội tiếp đợc trong một đờng tròn
2 Chứng minh tam giác AHC đồng dạng với tam giác BHD, từ đó suy ra
DP= CP
DH CH.
3 Đặt AOC = Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: b2 + bc + c2 = 1 -
2
3a 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = a + b + c
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:
Đề xuất lời giải
Bài 1 (1,5 điểm)
Từ phơng trình: x2 - 4x + p = 0 (1) với p là tham số
Tính : ∆’ = 22 – p = 4 - p (*)
1 Khi p = 3, ta có phơng trình : x2 - 4x + 3 = 0 (2)
Giải phơng trình (2) :
(2) có dạng : a + b + c = 1 + (- 4) + 3 = 0
Đề chính thức
đề c
Trang 2Do đó phơng trình (2) có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3 = 3
1
2 Phơng trình (1) có nghiệm, khi và chỉ khi: ∆’ 0 4 – p 0 p 4 Bài 2 (1,5 điểm) Từ hệ phơng trình: x + 2y = 5
2x + y = 4
, ta có:
x + 2(4 - 2x) = 5
y = 4 - 2x
x - 4x = 5 - 8
y = 4 - 2x
- 3x = - 3
y = 4 - 2x
x = 1
y = 4 - 2.1 = 2
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x = 1; y = 2)
Bài 3 (2,5 điểm)
1 Phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C(0; 1) và có hệ số góc k, có dạng:
y = kx + b thay x = 0, y = 1 vào, ta đợc: b = 1
khi đó ta đợc hàm số cần viết là: y = kx + 1
2 Phơng trình hoành độ điểm chung của đờng thẳng (d): y = kx + 1 và parabol
(P): y = x2 là :
x2 = kx + 1
x2 - kx - 1 = 0 (**) Tính : ∆ = k2 + 4 4 > 0, k
Suy ra : (**) luôn có hai nghiệm phân biệt
Gọi hai giao điểm của đờng thẳng (d): y = kx + 1 và parabol (P): y = x2 là A và
B, ta luôn đợc : đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi k
3 Gọi hoành độ của hai điểm A và B lần lợt là x1 và x2, áp dụng hệ thức Vi-et cho phơng trình (**), ta có đợc:
x1.x2 = c = - 1 = - 1
Gọi tung độ của 2 giao điểm A, B là y1, y2
Ta có : y1 = x1 , y2 = x2
Gọi hình chiếu vuông góc của điểm A lên
các trục Ox, Oy lần lợt là M, P
Gọi hình chiếu vuông góc của điểm B lên
các trục Ox, Oy và đoạn AM lần lợt là N, Q
và H
Xét tam giác vuông OAM, ta đợc:
OA2 = OM2 + AM2 (định lý Pitago)
OA2 = x + y = 12 12 2 4
x + x Xét tam giác vuông OBN, ta đợc: OB2 = ON2 + BN2 (định lý Pitago)
OB2 = x + y = 22 22 2 4
x + x
OA2 + OB2 = x + x + 12 14 2 4
x + x (a) Xét tam giác vuông ABH, ta đợc: AB2 = AH2 + BH2 (định lý Pitago)
AB2 = y - y1 22 + x + x 1 2 2= 2 22 2 2
x - x + x + 2 x x + x AB2 = x - 2 x x14 1 22 + x + x + 2 x x + x42 12 1 2 22
Vì : x1.x2 = - 1, nên suy ra:
AB2 = x - 2 1 + x + x + 2 1 + x14 2 42 12 22 = x + x + x + x (b)14 42 12 22
Kết hợp (a) và (b), ta suy ra: AB2 = OA2 + OB2
Suy ra tam giác AOB là tam giác vuông tại O (định lý Pitago đảo)
Bài 4 (3,5 điểm)
y
2
x2
Q B 1
A y
1
H
y P
x2
y = x2
y = kx + 1
Trang 3 c
d
p x
b
GT
Nửa (O; R); AB = 2R
H tia đối tia AB
Ax AB = A
By AB = B
HP OP = P
HP Ax = C
HP Ay = D
AOC =
KL
1 ACPO nội tiếp
2 AHC BHD
DP =CP
DH CH
3 AC? BD?(theoR,) AC.BD phụ thuộcR
1 Do CA là tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) nên: CAO = 900
Do HD là tiếp tuyến của nửa đờng tròn (O) nên: CPO = 90 0
CPO + CAO = 180
Suy ra : tứ giác ACPO nội tiếp (có tổng sđ hai góc đối bằng 1800)
2 Xét tam giác AHC và tam giác BHD có :
A = B = 90 ; 0 AHC chung AHC BHD (g.g)
DB = CA
Mà : DB = DP; CA = CP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
DP = CP
3 * Tính AC theo R và :
Xét tam giác OAC vuông tại A có: AC = tgα AC = R.tgα
* Tính BD theo R và :
Xét tam giác OBD vuông tại B có: BD = tgBOD BD = R.tgBOD
Mà, ta có : OC và OD là hai tia phân giác của hai góc kề bù AOP và BOP
(theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OC OD, hay : COD = 90 0
BOD = 180 - (COD + α) = 180 - (90 + α) = 90 - α 0 0 0 0
tgBOD = tg(900 - ) = cotg = 1
tgα R
BD =
tgα
* Xét tích AC.BD : AC.BD = R.tg R
tgα = R2 Điều đó chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào
Bài 5 (1,0 điểm)
Trang 4* Cách 1:
Ta có: b2 + bc + c2 = 1 -
2
3a 2
2(b + 2bc + c ) + 3a = 2
a + b + c + (a + b ) + (a + c ) + 2bc = 2
Mặt khác, ta có: a + b 2ab,2 2 a, bR ; a + c 2ac,2 2 a, cR ; dấu “=”
xảy ra khi : a = b = c
Do đó:
a + b + c + (a + b ) + (a + c ) + 2bc a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc
Hay : a + b + c 2 2 C2 2 - 2 2 C
Vậy biểu thức: C = a + b + c, đạt giá trị lớn nhất:
C max = 2 a = b = c =
3
max
C
= 2 3
và đạt giá trị nhỏ nhất: C min = - 2 a = b = c =
3
min
C
= 2 3
* Cách 2: Ta có: b2 + bc + c2 = 1 -
2
3a 2
(a + b + c)2 + (a - c)2 + (b - c)2 = 2
2 - (a + b + c)2 = (a - c)2 + (b - c)2 0, a, b, c R
a + b + c 2 2 - 2 2
Dấu “=” xảy ra khi : a = b = c
Vậy biểu thức: C = a + b + c, đạt giá trị lớn nhất:
C max = 2 a = b = c =
3
max
C
= 2 3
và đạt giá trị nhỏ nhất: C min = - 2 a = b = c =
3
min
C
= 2 3
