Các hàm số học và sự phân bố các số nguyên tố (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ TỐ PHƯỢNG CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ SỰ PHÂN BỐ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN TH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ TỐ PHƯỢNG

CÁC HÀM SỐ HỌC

VÀ SỰ PHÂN BỐ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ

Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH

Huế, năm 2014

Demo Version - Select.Pdf SDK

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác

Trần Thị Tố Phượng

Demo Version - Select.Pdf SDK

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, cố PGS.TS Nguyễn Gia Định Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và mong Thầy yên lòng an nghỉ

Luận văn được tiếp tục triển khai và hoàn thành nhờ sự hướng dẫn của Thầy giáo,

TS Cao Huy Linh Tôi xin gửi đến Thầy sự kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc Cảm ơn Thầy đã nhiệt tình giúp đỡ với những chỉ dẫn khoa học quý giá trong quá trình triển khai và hoàn thành đề tài

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng đào tạo Sau Đại học trường Đại Học Sư phạm Huế và quý thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán Khóa 21 đã quan tâm giúp đỡ và tận tình truyền đạt kiến thức cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập

Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Tổ Bộ môn Toán trường Dự bị Đại học Dân tộc Trung Ương Nha Trang đã quan tâm giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình

Xin cảm ơn các bạn lớp Cao học Toán K21, đặc biệt là nhóm Đại số Hình học, những người đã chia sẻ và giúp đỡ tôi rất nhiều trong học tập

Cuối cùng xin đặc biệt cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và là chỗ dựa tinh thần giúp tôi yên tâm hoàn thành khóa học này

Trần Thị Tố Phượng

Demo Version - Select.Pdf SDK

Mục lục

1.1 Các định nghĩa cơ bản 5

1.2 Hàm M¨obius 6

1.3 Hàm Euler φ(n) 10

1.4 Hàm τ 13

1.5 Hàm σ suy rộng 15

2 HÀM π, ĐỊNH LÍ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HÀM ζ-RIEMANN 19 2.1 Hàm π(x) 19

2.2 Định lí số nguyên tố 20

2.3 Hàm zeta của Riemann 22

2.4 Một số tính chất cơ bản của zeta hàm 23

3 BÀI TOÁN PHÂN BỐ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ 31 3.1 Các hàm Chebyshev và định lí Chebyshev 31

3.1.1 Các hàm Chebyshev 31

3.1.2 Định lí Chebyshev 33

3.2 Mối quan hệ giữa hàm Chebyshev ϑ(x) và π(x) 36

3.3 Một số dạng tương đương của định lí số nguyên tố 38

Demo Version - Select.Pdf SDK

3.6 Đẳng thức Euler và công thức tổng Abel 48

3.6.1 Đẳng thức Euler 48

3.6.2 Công thức tổng Abel 49

3.7 Một đánh giá cho mật độ số nguyên tố 50

Demo Version - Select.Pdf SDK

MỞ ĐẦU

Số nguyên tố và các hàm số học đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết

số, được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các hàm trong số học như hàm M¨obius µ(n), hàm Euler φ(n), hàm τ (n) về số các ước của số nguyên dương n, hàm σ(n) về tổng các ước đã được các nhà toán học như Phạm Huy Điển, Hà Huy Khoái ([1], 2002), Andreescu T., Andrica D ([6], 2009), Michael Th Rassias ([9], 2010) nghiên cứu và tổng hợp Đây là một trong những kiến thức nâng cao mà học sinh, sinh viên cần biết để áp dụng giải những bài toán về số học

Ngoài ra, các hàm số thực như hàm π, hàm zeta của Riemann lại có một vai trò hết sức quan trọng trong các bài toán liên quan đến số nguyên tố và sự phân bố của chúng Việc tính giá trị của π(x) (khi x rất lớn) gặp nhiều khó khăn vì người ta không biết chính xác các số nguyên tố phân bố như thế nào giữa các số nguyên Tuy nhiên, vào năm 1793, Gauss đã đưa ra dự đoán

lim

x→+∞

π(x) x

ln x

= 1,

mà ngày nay có tên gọi là Định lý số nguyên tố (Prime Number Theorem) Trong gần

100 năm, dự đoán này đã thu hút nhiều nhà toán học lỗi lạc tìm cách chứng minh như Gauss, Legendre, Chebyshev, Riemann nhưng không ai thành công Hàm zeta ra đời trong khi Riemann cố gắng chứng minh Định lí số nguyên tố Mặc dù gặp thất bại trong việc chứng minh định lí này nhưng hàm zeta vẫn có một vai trò khá lớn trong

số học và đã đạt được một số tính chất quan trọng

Năm 1851, nhà toán học người Nga Chebyshev đã thực hiện một bước tiến mới bằng cách chứng minh rằng nếu tỉ số π(x)x

ln x

có giới hạn thì giới hạn phải bằng 1 ([8], tr.79-81), nhưng ông không thể chứng minh được nó có giới hạn Mãi đến hơn 100 năm sau Định lí số nguyên tố mới được chứng minh bởi Hadamard và Vallée-Poussin Tuy vậy, đối với quá trình đi tìm phép chứng minh cho Định lí số nguyên tố thì Chebyshev vẫn là người có công lao rất lớn

Demo Version - Select.Pdf SDK

phân bố các số nguyên tố.

Mục tiêu của đề tài là tổng quan các nghiên cứu về các hàm quan trọng trong

lý thuyết số, cụ thể là các hàm số học đã đề cập ở trên; hàm số thực π(x) và Định lí

số nguyên tố; các hàm Chebyshev, định lí Chebyshev và một số kết quả về sự phân bố các số nguyên tố

Nội dung của đề tài được chia thành 3 chương:

– Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu các hàm số học thường được sử dụng trong

lý thuyết số, như là hàm M¨obius, hàm Euler, hàm τ , hàm σ suy rộng cùng các tính chất liên quan

– Trong Chương 2, chúng tôi khảo sát các hàm số thực có vai trò quan trọng liên quan đến bài toán phân bố các số nguyên tố là hàm π, hàm zeta của Riemann và các tính chất, Định lý số nguyên tố

– Trong chương 3, chúng tôi trình bày định lý Chebyshev và một số kết quả khác về

sự phân bố các số nguyên tố Cụ thể là, các hàm Chebyshev, định lý Chebyshev, quan

hệ giữa hàm Chebyshev ψ(x) và ϑ(x), một số dạng tương đương của định lý số nguyên

tố, các bất đẳng thức cho π(n) và pn (kí hiệu số nguyên tố thứ n), định đề Bertrand, đẳng thức Euler, công thức tổng Abel và một đánh giá cho mật độ số nguyên tố.Demo Version - Select.Pdf SDK