TIỂU LUẬN RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA QUÁ TRÌNH DẠY HỌC MÔN TOÁN

MỞ ĐẦUChủ tịch Hồ Chí Minh người thầy vĩ đại của Đảng, của Cách mạng Việt Nam đã nói: “Muốn có đạo đức Cách Mạng thì phải có tri thức”. Muốn có tri thức thì phải học và phải học thật tốt. Để có được tri thức ấy thì phải học tất cả các lĩnh vực và các môn học. Và một trong những môn học đóng vai trò rất quan trọng đó chính là môn Toán. Bên cạnh đó, tục ngữ có câu “Sai một li, đi một dặm” hoặc “Sai một con tính, bán một con trâu”. Tính toán là một vấn đề quan trọng bậc nhất đối với con người. Vì vậy, môn Toán là một môn học cần thiết cho người lao động, cần thiết để các em học tập các môn học khác. Dạy học Toán ở trường phổ thông có ý nghĩa rất to lớn đối với sự hình thành và phát triển tư duy cho học sinh. Hay nói một cách cụ thể hơn học tập môn toán đòi hỏi học sinh phải có lập luận chặt chẽ, ngôn ngữ khoa học chính xác và có sự trình bày hợp lí. Các em không chỉ học lí thuyết không thôi mà còn phải phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, phải phù hợp logic... Có thể nói, rèn luyện và phát triển tư duy cho người học là một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học. Toán học là môn khoa học có tính trừu tượng cao và tính logic chặt chẽ. Tri thức trước là cơ sở cho tri thức sau và tri thức sau dựa vào tri thức trước. Vì vậy đòi hỏi người học phải có một phương pháp tư duy khoa học và mang tính sáng tạo. Bên cạnh đó với những đặc điểm ấy, môn toán có nhiều tiềm năng và cũng là một môi trường tốt để rèn luyện và phát triển tư duy của người học. Trong dạy học toán, người học không chỉ được tiếp thu kiến thức, kỹ năng mà còn được rèn luyện cách nghĩ, cách tư duy, cách học. Do đó, trong quá trình dạy học toán người thầy cần phải dạy cho học sinh biết cách tìm tòi lời giải đồng thời cần giúp các em biết tư duy để giải bài toán bằng các cách khác nhau, khai thác bài toán theo nhiều hướng, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ. Chính những hoạt động này sẽ thúc đẩy việc rèn luyện và phát triển tư duy ở học sinh.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TIỂU LUẬN

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA QUÁ TRÌNH DẠY HỌC MÔN TOÁN

Giảng viên: TS Bùi Thị Hạnh Lâm Học viên: Vũ Viết Tiệp

Lớp: Cao học Toán K23 Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán

THÁI NGUYÊN, 2016

MỞ ĐẦU

Chủ tịch Hồ Chí Minh người thầy vĩ đại của Đảng, của Cách mạng Việt Nam

đã nói: “Muốn có đạo đức Cách Mạng thì phải có tri thức” Muốn có tri thức thì phải học và phải học thật tốt Để có được tri thức ấy thì phải học tất cả các lĩnh vực và các môn học Và một trong những môn học đóng vai trò rất quan trọng đó chính là môn Toán Bên cạnh đó, tục ngữ có câu “Sai một li, đi một dặm” hoặc “Sai một con tính, bán một con trâu” Tính toán là một vấn đề quan trọng bậc nhất đối với con người Vì vậy, môn Toán là một môn học cần thiết cho người lao động, cần thiết để các em học tập các môn học khác

Dạy học Toán ở trường phổ thông có ý nghĩa rất to lớn đối với sự hình thành và phát triển tư duy cho học sinh Hay nói một cách cụ thể hơn học tập môn toán đòi hỏi học sinh phải có lập luận chặt chẽ, ngôn ngữ khoa học chính xác và có sự trình bày hợp lí Các em không chỉ học lí thuyết không thôi mà còn phải phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, phải phù hợp logic

Có thể nói, rèn luyện và phát triển tư duy cho người học là một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học Toán học là môn khoa học có tính trừu tượng cao và tính logic chặt chẽ Tri thức trước là cơ sở cho tri thức sau và tri thức sau dựa vào tri thức trước

Vì vậy đòi hỏi người học phải có một phương pháp tư duy khoa học và mang tính sáng tạo Bên cạnh đó với những đặc điểm ấy, môn toán có nhiều tiềm năng và cũng là một môi trường tốt để rèn luyện và phát triển tư duy của người học Trong dạy học toán, người học không chỉ được tiếp thu kiến thức, kỹ năng mà còn được rèn luyện cách nghĩ, cách tư duy, cách học Do đó, trong quá trình dạy học toán người thầy cần phải dạy cho học sinh biết cách tìm tòi lời giải đồng thời cần giúp các em biết tư duy để giải bài toán bằng các cách khác nhau, khai thác bài toán theo nhiều hướng, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ Chính những hoạt động này sẽ thúc đẩy việc rèn luyện và phát triển

tư duy ở học sinh

NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận

1.1 Khái niệm chung về tư duy

“Tư duy là một quá trình phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên quan và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” Như vậy, tư duy về bản chất là một quá trình cá nhân thực hiện nhờ các thao tác tư duy nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ được đặt ra

Các thao tác tư duy được nói đến ở đây là thao tác: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa Đó là những thao tác cơ bản

1.2 Đặc điểm tư duy

1.2.1 Tính có vấn đề:

Tư duy ở con người cụ thể chỉ nảy sinh khi cá nhân gặp tình huống có vấn đề.Tình huống có vấn đề là tình huống chưa có đáp số nhưng đáp số đã tiềm ẩn bên trong tình huống chứa những điều kiện giúp ta tìm ra những đáp số đó Tình huống có hai mặt là khách quan và chủ quan Muốn tình huống có vấn đề kích thích được ta tư duy thì tình huống có vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và chuyển thành nhiệm vụ tư duy của cá nhân, (nghĩa là cá nhân phải xác định được cái gì đã biết, đã cho, cái gì chưa biết, cần phải tìm)

1.2.2 Tính gián tiếp:

Trong quá trình tư duy con người sử dụng các phương tiện, công cụ khác nhau

để nhận thức về sự vật, hiện tượng Mặt khác tư duy được phản ánh bằng ngôn ngữ

1.2.3 Tính trừu tượng hóa và tính khái quát hóa:

a Tính trừu tượng hóa:

Là khả năng con người dùng trí óc để gạt bỏ những liên hệ, những mặt, những thuộc tính không cần thiết mà chỉ giữ lại yếu tố nào cần thiết để tư duy

b Tính khái quát hóa:

Khả năng con người hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau nhưng có chung những thuộc tính, những mối liên hệ thành một nhóm

1.2.4 Tư duy gắn liền với ngôn ngữ:

Tư duy của động vật bao giờ cũng chỉ dừng lại ở tư duy hành động trực giác mà không vượt quá giới hạn đó Còn ở con người tư duy mang tính gián tiếp trừu tượng hóa và khái quát hóa, mối liên hệ giữa tư duy và ngôn ngữ là mối liên hệ biện chứng,

nó là mối liên hệ giữa nội dung và hình thức Tư duy bao giờ cũng liên hệ gắn bó mật thiết với nhận thức cảm tính Nhận thức cảm tính là cửa ngõ của tư duy liên hệ với thế giới bên ngoài, nhận thức cảm tính cung cấp chất liệu cho tư duy và cuối cùng toàn bộ sản phẩm của tư duy được kiểm nghiệm trong hoạt động thực tiễn

1.3 Các giai đoạn của tư duy:

Các giai đoạn của tư duy được thể hiện bằng sơ đồ sau:

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành

giả thiết

Kiểm tra giả thiết

1.4 Các hoạt động tư duy:

Các hoạt động của tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự, so sánh,

a Phân tích và tổng hợp

Phân tích: là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ

Tổng hợp: là liên kết ( trong tư tưỏng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống

Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất, la hai hoạt động cơ bản của quá trình tư duy

Phân tích và tổng hợp còn bao hàm ý nghĩa khác Phân tích là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết và cái phải tìm, đi từ cái phải tìm đến cái đã biết (vai trò tìm đoán), tổng hợp là đi từ cái đã biết đến cái phải tìm (phép chứng minh)

b Trừu tượng hoá: là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm

không bản chất Đặc điểm bản chất hay không bản chất mang nghĩa tương đối phụ thuộc vào mục đích hành động

Trừu tượng hóa thoát ra khỏi nội dung có tính chất chất liệu Trừu tượng hóa gắn liền với cụ thể hóa, liên hệ mật thiết với khái quát hóa Nhờ trừu tượng hóa ta có thể khái quát hóa rộng và sâu hơn Trừu tượng hóa và khái quát hóa

c Khái quát hoá và đặc biệt hóa:

Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần

tử trong tập hợp xuất phát

Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của khái quát hóa, là việc chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong

nó Đặc biệt hóa cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất tổng quát

về khái niệm hay tính chất xuất phát (mang tính cụ thể)

Khái quát hóa và đặc biệt hóa thường được vận dụng trong tìm tòi và giải toán.

Từ một tính chất nào đó, muốn khái quát hóa thành một dự đoán nào đó, trước hết ta thử đặc biệt hóa, nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hóa, nếu sai ta dừng lại

d So sánh: là xem xét cái này với cái kia để thấy sự giống nhau, khác nhau hoặc

sự hơn kém nhau

So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm riêng khác nhau ở một số đối tượng, sự kiện Mục đích thứ nhất thường đi đôi với tương tự và khái quát hóa

e Tương tự: là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ

của những đối tượng toán học khác nhau

Thường xét sự tương tự toán học trên các khía cạnh sau:

- Hai vấn đề (bài toán) là tương tự nếu đường lối, phương pháp giải quyết giống nhau

- Hai hình là tương tự nếu có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hay nếu giữa các phần tử tương ứng của chúng

có quan hệ giống nhau

- Nhiều khi trong quá trình mở rộng, những tập hợp đối tượng có những thuộc tính tương tự, từ đó ta suy đoán những tính chất từ tập hợp này sang tập hợp khác

Sự tương tự, do trực quan và dễ hiểu của nó, thường được áp dụng trong việc giảng dạy toán Song, cũng giống như phương pháp quy nạp không hoàn chỉnh, tương

tự có thể dẫn đến kết luận sai

2 Một số biện pháp góp phần phát triển các thao tác tư duy cho học sinh

Từ những nguyên tắc của tư duy để góp phần phát triển tư duy cho người học cần thực hiện trên cơ sở của một số biện pháp sau :

2.1 Giáo viên luôn tìm tòi những phương pháp dạy học tốt và luôn đổi mới phương pháp dạy – học

Giáo viên có phương pháp dạy học tốt và luôn đổi mới phương pháp dạy học sẽ giúp học sinh nắm vững và hiểu thấu kiến thức Cần lựa chọn một hệ thống câu hỏi

cho từng bài học, cho từng khâu trong quá trình diễn ra của giờ học một cách khéo léo, có tính kích thích tư duy, phát huy sáng tạo và gây hứng thú học tập cho học sinh Bên cạnh việc trau dồi những tri thức toán học quy định trong chương trình, cần quan tâm đến việc trau dồi cho học sinh về phương pháp học tập, phương pháp suy luận

2.2 Lựa chọn hệ thống bài tập tốt và thường xuyên củng cố kiến thức cho HS

Một hệ thống bài tập được coi là tốt nếu nó đảm bảo việc soi sáng, củng cố, đào sâu được những kiến thức mà học sinh đã học, gây được hứng thú học tập, làm cho học sinh ham mê học tập, nâng dần trình độ hiểu biết, kĩ năng giải toán, do đó phát triển được tư duy toán học cho học sinh Cần tranh thủ mọi cơ hội để củng cố mọi kiến thức cho học sinh: củng cố khi dạy một kiến thức mới có liên quan, củng cố khi giải một bài tập cần vận dụng một kiến thức nào đó, củng cố trước và sau khi thi hết học kì hoặc hết năm học

2.3 Thường xuyên tập luyện cho học sinh suy đoán và tưởng tượng, hướng dẫn học sinh biết phê phán và tích luỹ kinh nghiệm

Cần tạo nhiều cơ hội, nhiều tình huống buộc học sinh phải suy đoán: Suy đoán

về kết luận của một định lý, về kết quả của một bài toán, về khả năng giải bài toán… Sau mỗi bài toán khó hoặc một bài toán hay, học sinh biết dành thời gian để nhìn lại cách giải, nhận biết cách giải tốt, phê phán những chỗ rườm rà, tìm cách cải tiến phương pháp giải, đề xuất những cách giải hay, đồng thời phân tích, khai thác bài toán tương tự, bài toán tổng quát (nếu có) Điều này giúp rèn luyện cho học sinh độc lập suy nghĩ, tự đặt các câu hỏi và tự tìm cách giải đáp chúng, đồng thời khuyến khích những hoạt động trí óc như đặt câu hỏi hoài nghi khoa học; tại sao? Như thế nào?

3 Một số ví dụ trong việc rèn luyện các thao tác tư duy trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông

3.1 Ví dụ 1: Cho tập hợp A0;1;2;3;4;5;6 Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó chia hết cho 5 và số 3 luôn có mặt một lần

Ta tiến hành phân tích:

- Vì số cần tìm có 4 chữ số nên số đó có dạng abcd với a, b, c, d được chọn từ

tập A và a� 0

- Vì số đó chia hết cho 5 nên d phải là 0 hoặc 5.

- Vì số 3 luôn xuất hiện nên ví trí của a hoặc b hoặc c phải là 3.

- Vì d là 0 hoặc 5, mà a phải khác 0 nên bài toán phải chia 2 trường hợp:

+ TH1: d = 0 + TH2: d = 5

- Vì số 3 luôn xuất hiện nên trong mỗi trường hợp ta đều phải ưu tiên chọn chỗ cho số 3

+ Ở TH1: Số 3 chọn 3 vị trí là như nhau

+ Ở TH2: Phải xem xét để a� 0 Dựa trên quá trình phân tích ở trên, ta phải tư duy và tổng hợp lại để tìm được lời giải

- TH1: d = 0

+ Có 3 cách chọn vị trí số 3

+ Hai vị trí còn lại có 5.4 cách chọn

Vậy có 3.5.4 = 60 (số)

- TH2: d = 5

+ Nếu a = 3 thì hai vị trí còn lại có 5.4 = 20 cách chọn

+ Nếu a� thì a có 4 cách chọn (vì 3 a� )0

Có 2 cách chọn một vị trí cho chữ số 3 Vị trí cuối cùng có 4 cách chọn các số còn lại

Vậy có 20 + 4.2.4 = 52 (số)

Vậy có tất cả 60 + 52 = 112 số cần tìm

Trong quá trình làm bài toán trên, ta nảy ra sự so sánh – tương tự như sau:

- Thứ nhất, nếu tập A thêm hoặc bớt một phần tử khác chữ số 0 thì bài toán có cách giải hoàn toàn tương tự

- Thứ hai, với cùng câu hỏi như trên nhưng thay chữ số 0 bằng chữ số khác thì bài toán đơn giản hơn rất nhiều

Hay nói cách khác, ta có sự so sánh giữa hai bài toán: một bài vai trò của các số

là như sau và bài khác vai trò của các số khác nhau

Từ đó, ta tìm ra được cách giải mới:

B1: Lập số có 4 chữ số khác nhau sao cho chữ số cuối cùng là 0 hoặc 5 và chữ

số 3 xuất hiện 1 lần (chữ số đầu có thể là chữ số 0) (tức là ta coi vai trò của chữ số 0 giống vai trò của các chữ số khác)

Dạng số cần tìm abcd

Dễ thấy:

d có 2 cách chọn;

có 3 cách chọn vị trí cho chữ số 3 Hai vị trí còn lại có 5.4 = 20 cách chọn Vậy có 2.3.20 = 120 số

B2: Lập số có 4 chữ số khác nhau sao cho chữ số đầu là 0, chữ số cuối là 5, chữ

số 3 xuất hiện 1 lần

Dễ thấy a và d cố định

Có 2 cách chọn vị trí cho chữ số 3

Vị trí còn lại có 4 cách chọn

Vậy có 2.4 = 8 số

Vậy có tất cả 120 – 8 = 112 số cần tìm (vì số có 4 chữ số khác nhau thì chữ số đầu tiên phải khác 0)

- Ta lại có sự so sánh giữa hai cách giải (ưu điểm, nhược điểm)

Sau quá trình giải bài toán trên, ta hiểu được số phần tử trong tập hợp A nhiều hay ít không quan trọng, vai trò của chữ số 3 cũng chỉ là thứ yếu, ta hoàn toàn có thể thay đổi chữ số 3 thành chữ số khác (khác 0) mà bài toán vẫn giữ nguyên kết quả; Số

có 4 hay 3 hay 5 chữ số cũng chỉ là quan hệ thứ yếu

Điều cốt lõi của bài toán là yếu tố chia hết cho 5 và một chữ số luôn xuất hiện

và tập ban đầu chứa chữ số 0 nên phải phân chia các trường hợp để chữ số đầu khác 0

- Sau khi làm xong bài toán trên, ta cần khái quát được cách làm với dạng toán: Lập số có n 2� � chữ số khác nhau từ tập n 9 A0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 sao cho một chữ số bất kỳ luôn xuất hiện và số đó chia hết cho 5

Ta có thể khái quát với cả dạng toán chia hết cho 2, chia hết cho 3, chia hết cho

9, chia hết cho 4, … Song, mỗi bài toán đương nhiên có đặc trưng riêng

Hoặc bài toán, một chữ số luôn xuất hiện hoặc hai chữ số luôn xuất hiện … Khi đó, người học sẽ nhanh chóng tìm được lời giải với các bài toán có mức độ hẹp hơn Ví dụ, cũng câu hỏi đó nhưng tập A không chứa số 0

3.2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

9

5

x y

�    

�

�

�

�    

� Phân tích: Quan sát hệ phương trình, ta nhận thấy đây là hệ phương trình đối xứng loại 1, theo cách giải truyền thống của hệ phương trình đối xứng loại 1, học sinh

sẽ cố gắng biến đổi hệ trên về một hệ phương trình mới, mà trong đó có xuất hiện hai đại lượng là x + y và x.y Từ đó dẫn đến việc đặt ẩn phụ quen thuộc S =x + y và P=x.y

Cụ thể, hệ phương trình được biến đổi như sau:

Điều kiện: x�0;y�0

 

 

 

 

2

2

2 2

9

x y

Đặt S  x y P xy,  Điều kiện: S2 � , ta có hệ phương trình4P

 2 

2

1

1

P S

P

�  �� ��

�

�

�� �

�

Nhìn vào hệ phương trình thu được ta thấy, hệ này có thể giải được bằng phương pháp thế, nhờ rút S theo P hoặc rút P theo S từ phương trình dưới rồi thế lên phương trình trên, đến đây ta thu được một phương trình bậc cao theo ẩn P hoặc một phương trình bậc cao theo ẩn S Giải phương trình bậc cao này ta tìm được P, từ đó tìm S, hoặc tìm được S rồi tìm được P và cuối cùng tìm được nghiệm x và y của hệ phương trình ban đầu

Qua sự phân tích trên, ta thấy về nguyên tắc hệ phương trình đã cho có thể giải theo phương pháp truyền thống của hệ phương trình đối xứng loại một, nhưng rõ ràng

ở đây ta thấy có một sự máy móc trong cách biến đổi và đặt ẩn phụ S = x + y, P = x.y, dẫn đến một lời giải dài dòng, cứng nhắc, thiếu sáng tạo như đã phân tích ở trên Trong trường hợp này, đối với những học sinh giỏi, có khả năng sáng tạo với sự mềm dẻo về kiến thức, kết hợp với khả năng tư duy, nhìn nhận vấn đề tốt, nhìn ra được đặc điểm riêng của bài toán, là trong hệ phương trình có các đại lượng có thể biểu diễn được qua nhau, các em có thể giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp đặt ẩn phụ ngay từ đầu như sau:

Điều kiện: x�0;y �0

Đặt

1 1

x

y

�

� = +

�

�

�

� = +

�

�

Điều kiện 2

2

a b

�

�

�

� Suy ra

2

2

1 2

1 2

x

y

�   

�

�

� Khi đó, hệ đã cho trở thành:

 2

6

a b

ab

Khi đó, a và b là hai nghiệm của phương trình: 2 5 6 0 2

3

X

X



�

   � � �