sử dụng hàm số chặn miền giá trị giải hệ chứa căn

TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP CHỦ ĐẠO: KẾT HỢP SỬ DỤNG PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ TIẾP THEO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC  PHỐI HỢP PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ V

TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP

CHỦ ĐẠO: KẾT HỢP SỬ DỤNG PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ (TIẾP THEO)

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

 PHỐI HỢP PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ.

 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ.

 SỬ DỤNG KẾT HỢP ĐÁNH GIÁ – BẤT ĐẲNG THỨC.

 TỔNG HỢP CÁC PHÉP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.

 BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI.

CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK) GACMA1 3 9 8@GMAIL.COM (GMAIL)

THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA XUÂN 2 1

-

“Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với các cường quốc năm châu được hay không, chính là nhờ một phần lớn ở công học tập của các em”

Tại Việt Nam, hệ phương trình, nội dung hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp là một bộ phận hữu cơ, quan trọng, được phổ biến giảng dạy chính thức trong chương trình sách giáo khoa Toán các lớp 9, 10, 11,

12 song song với các khối lượng kiến thức liên quan Đây cũng là kiến thức phổ biến xuất hiện trong các kỳ thi kiểm tra kiến thức thường niên, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán các cấp trên toàn quốc, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT và trong kỳ thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm, một kỳ thi đầy cam go, kịch tính và bất ngờ, nó lại

là một câu rất được quan tâm của các bạn học sinh, phụ huynh, các thầy cô, giới chuyên môn và đông đảo bạn đọc yêu Toán

Yêu cầu của dạng toán khá đa dạng, đa chiều, mục tiêu tìm các ẩn thỏa mãn một tính chất nào đó nên để thao tác dạng toán này, các bạn học sinh cần liên kết, phối hợp, tổng hợp các kiến thức được học về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, như vậy nó đòi hỏi năng lực tư duy của thí sinh rất cao Tuy nhiên "Trăm hay không hay bằng tay quen", các phương pháp cơ bản đã được được các thế hệ đi trước đúc kết và tận tụy cho thế hệ tương lai, các bạn hoàn toàn đủ khả năng kế thừa, phát huy và sáng tạo không ngừng, chuẩn bị đủ hành trang nắm bắt khoa học kỹ thuật, đưa đất nước ngày càng vững bền, phồn vinh, và hiển nhiên những bài toán trong các kỳ thi nhất định không thể là rào cản, mà là cơ hội thử sức, cơ hội khẳng định kiến thức, minh chứng sáng ngời cho tinh thần học tập, tinh thần ái quốc !

Các phương pháp giải và biện luận hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp được luyện tập một cách đều đặn, bài bản và hệ thống sẽ rất hữu ích, không chỉ trong bộ môn Toán mà còn phục vụ đắc lực cho các môn khoa học tự nhiên khác như hóa học, vật lý, sinh học, Tiếp theo các Lý thuyết giải hệ phương trình chứa căn (Phần 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), tài liệu chủ yếu giới thiệu đến quý bạn đọc Lý thuyết giải hệ phương trình chứa căn ở cấp

độ cao, trình bày chi tiết các thí dụ điển hình về hệ giải được nhờ sử dụng tổng hợp các phép thế, phép cộng đại số, đại lựợng liên hợp, sử dụng đồng bộ tính chất đơn điệu hàm số có chặn miền giá trị, các phép ước lượng – đánh giá – bất đẳng thức phần tiếp theo Đây là nội dung có mức độ khó tương đối, đòi hỏi các bạn độc giả cần có kiến thứcvững chắc về các phép giải phương trình chứa căn, kỹ năng biến đổi đại số và tư duy chiều sâu bất đẳng thức

Các thao tác tính toán và kỹ năng trình bày cơ bản đối với phương trình, hệ phương trình xin không nhắc lại

I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, hằng đẳng thức

2 Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

3 Nắm vững các phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao

4 Sử dụng thành thạo các ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương)

5 Kỹ năng giải hệ phương trình cơ bản và hệ phương trình đối xứng, hệ phương trình đồng bậc, hệ phươngtrình chứa căn thông thường

6 Kỹ thuật đặt ẩn phụ, sử dụng đại lượng liên hợp, biến đổi tương đương

7 Kiến thức nền tảng về uớc lượng – đánh giá, hàm số - đồ thị, bất đẳng thức – cực trị

-

I MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC

Bài to n 1.Giảihệ p ươn rìn

Tuy n iên các d u đ n hức kh n xảy ra, nên hệ đề b i vô n hiệm.

Bài to n 2.Giảihệ p ươn rìn  

2 2

Bài to n 3.Giảihệ p ươn rìn

Cặp giá trị này không thỏa mãn hệ ban đầu Kết luận vô nghiệm

Bài to n 4.Giảihệ p ươn rìn    

đề cậ đến các ước ượng h ầ úy, đ n giá đơn giả , chưa sử d n các n ch t h m số, b t đ n hức, cực rị

Bài to n 5.Giảihệ p ươn rìn

Bài to n 6.Giảihệ p ươn rìn

2 2

4 2

Điều kiện có n hiệm x à   0 4y y 204y y 20  2 y0.

 Tìm miền giá rị củ biến x h n q a p ươn rìn b c h i ẩ y : 2 2  

4y 8yx 2x 1 0 2 Biệt thức  2  2   

16 4 x 2x 1 4x 8x 12 4 x 1 x 3



Điều kiện có n hiệm y à   0 4x1x304x1x30  1 x3.

Bài to n 7.Giảihệ p ươn rìn    

Bài to n 8.Giảihệ p ươn rìn

x y

y y x

Phương trình thứ hai của hệ có nghiệm khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra, hay x1;y0

Cặp giá trị này thỏa mãn hệ ban đầu nên là nghiệm duy nhất của hệ

Bài to n 9.Giảihệ p ươn rìn  

x y

y y y

Bài to n 1 Trích ư c c u 3,Đề hitu ển sin Đạih c;Mô Toán;Kh iA và k ốiA1;Đề chín hức;Kỳ hi

.2

x x x x x

y y y y

Để giải q y t b i to n rên, các b n h c sin cầ n ậ ra sự đ n điệu giữa h i ẩ x và y ro g phươn rìn hứ

n ất cố g n hêm bớt tạ ra sự ươn đ n h m số kiểu f u  f v uv Tuy n iên để có được điều n y hì các h m số cầ đơn điệu (cù g đ n biến h ặc n hịch biến rên một miền xác địn ) Kết q ả củ ch n a h được

h m số kh n ch p ép điều đ   3

12

f t t  t ! Tuy n iên nếu để ý một ch t từ p ươn rìn hứ h i củ hệ có hể suy ra miền giá rị củ x và y, n o i cách p â

t ch bìn p ươn n ư ời giải trên đ y, các b n h à o n có hể sử d n điều kiện có n hiệm củ p ươn rìn

x y

y y

y x

x x

11

33

y y

Bài toá số 1 , d n hức h m số củ p ươn rìn cò ại đ ă g cấ so với mot p p ươn rìn đ hức b c b

h i ẩ củ hệ p ươn rìn câ 3, Đề hi tuy n sin đ i h c Kh i A và kh i A1 ; Kỳ hi tuy n sin n m 2 1 Các

că hức đ được h y độ g và b n ch t đ đư c ẩ giấ đi h n q a các p ép biến đ i đ i ư n ên hợp, và h m

số cầ x t đơn điệu n hịch biến rên một miền h n hẹp, kh n n ữn điều kiện ừ p ươn rìn hứ h i mà cò

lồ g g ép cả điều kiện kh n âm củ ẩ h m că hức, b t b ộc cầ x t điều kiện các biến dựa và p ươn rìn thứ h i củ hệ (có hể dựa và p â ích h n đ n hức h ặc điều kiện có n hiệm củ p ươn rìn b c h i n ư

đ đề cậ ), ác giả mo g mu n các b n đ c giả hết sức ưu ý.

Nhận xét

Bài to n số 1 , vẫ xo y q a h mot p ìm điều kiện n hiệm củ các biến x và y ươn ự các b i to n mở đ u ài

l ệu Kh n q á kh các b n đều biến đ i q y v d n ươn đ n h m số

Để đ n giá ẩ h m u yx có hể diễn đ t đ i kh i hiểu n m n kiểu n ư một n ười đứn m, một n ười cứ di

ch y n ra xa (h ặc h i n ười đi v h i co đườn đ i lập n a ) hì kh ả g cách h i n ư i n ày cà g ớn, cứ cảm

là rườn hợp đơn giả khi h i biến đ n b đi cù g hướn

Một câ h i đ t ra à ro g rườn hợp đ hì miền giá rị củ các ẩ h m đ d g sẽ n ư hế n , hí d

xy x y yx x y x  y y  x

Khi mà h i biến x và y ro g că hức chia rẽ h i bên chiến uy n ? Kh đơn giả , ch ý hực hiện n â h i v b t

p ươn rìn với một số âm hì b t p ươn rìn đ i chiều

Và n iều hơn nữa, ch n a có hể hực hiện ă g cư n p ức ạ h a ẩ h m, b n cách sử d n các p ép biến

đ i l ên hợp, h n đ n hức, n n b c đ hức p ía ro g că , h m chí có hể ồ g g ép kh o sát h m số b t b ộc với biểu hức dưới d u că ro g một số rườn hợp kh hi sẽ h được n ữn b i to n h vị

Bài to n 1 Giảihệ p ươn rìn

Đối với b i to n 1 , kh n q á kh để kh i h c n â ử p ư n rìn hứ n ất củ hệ, các b n ưu ý p ươn rìn

h i ẩ nếu có một n hiệm h n số cố địn với một ẩ , giả d x 2;x1;y1;y2; với mọi giá rị củ ẩ cò lại ch n a có hể n rực ếp đư c n b n cách g n giá rị n uy n b t k và h o ác giải p ươn rìn

Trườn hợp x  1kh n h a mã điều kiện xác địn nên bị lo i n ay ậ ức Thực ra n à một tấm n iễu điều

p ủ ên p ươn rìn hứ n ất mục đích ẩ giấ và g y ạc hướn và ạ ra sự hưn p ấ n ất thời ch các b n

h c sin có âm ý n n vội Điểm mấ ch t n m ở p ươn rìn (1) hệ q ả Một số b n đ c có xu hướn sử d n

p ươn p á h y hế với p ươn rìn (1) nhưn rất t ế điều n y q á p ức ạ , ch n ẽ hế heo cô g hức

n hiệm củ p ươn rìn b c h i ẩ x (tươn ứn y), chướn n ại vật đ được hiết lậ n ằm ch n đứn bước đi

củ các đ i q â vô ổ chức, hiếu in h n.

Vẫ heo mot p cũ, hực hiện ch n miền giá rị củ các ẩ x và y heo điều kiện n hiệm p ươn rìn b c h i h ặc

h n đ n hức p ươn rìn (1), trườn hợp n y có một cấ đ kh c vì hiện diện ẩ h m h i biến kh chịu

Th o ác q y v h m số ác giả xin kh n n ắc ại Vì h m số n hịch biến rên đ ạ 1; 2, dễ h y đ p ầ các ẩ

h m a hườn àm ch n bị ch n rên, ch n dưới h ặc bị ch n (í khi ch y rên h i kh ả g rời n a ).

Trườn hợp đơn giả à các biến h a mã 1 2 ; 1; 2

u

u v v

S u khi đ iến bước v d n h m số, nếu h m số đ kh n đơn điệu rên ậ số hực h y miền xác địn cơ b n

(miền xác địn b n đ u) hì b t b ộc p ải l ên ưởn ới th o ác ch n miền giá rị ch t ch các ẩ h m, sử d n triệt để các dữ kiện củ h i p ươn rìn , k t hợp ổ g h a các kiến hức đ n giá, b t đ n hức để vư t q a ca điểm q y t địn đ

Lớp b i o n hệ p ư n rìn chứa 2 ẩ h m că hức, ro g đ t n ất một ẩ h m chứa đ n hời h i biến x và y,

th o ác ch n miền giá rị ch n kh kh n hơn với ẩn h m một biến Áp d n n ậ x t tại b i o n số 1 , b i to n

1 và 1 ch n a vẫ hực hiện ươn ự, hiết lậ ổ g bìn p ươn và đ n giá ch n, n â hêm hằ g số và cô g từn v các b t đ n hức

Thiết n hĩ thiết ậ ổ g các bìn p ư n kh n p ải là p ươn cách d y n ất d n à ối ưu Ch n a kh n hể

cứ b b ộc mãi tro g kh ô kh kh kh n đ được, bởi đ i khi g m bìn p ươn cũ g kh n dễ d n gì Nếu sử

d n điều kiện n hiệm củ p ươn rìn b c h i 2x24xy4y278y hì sẽ n ư hế n o, ch n a cù g hử

n hiệm với b i o n 1 heo p ươn á h cô g n y

Rõ rà g sử d n điều kiện n hiệm p ươn rìn b c h i ch chín xác miền giá rị củ ừn biến, uy n iên khi mà

h i biến ch n rà g b ộc với n a hì điều n y ại d n đến ch n miền kh n ch t chẽ, p ạm vi rộ g, h m chí p ả tác d n , àm ch h m số p ía sa đơn điệu một cách “lu g ay, mờ ả ”, chưa k có một số b n h a g ưởn heo kiểu 10, 69, d n đến đ n b i cù , àm iều ă n iều nữa cơ Th n q a đ y, có hể h y một b i to n n ỏ rút ra

n iều b i h c ớn, iên hệ một ch t tro g cu c số g, ro g ìn y u, ch n a kh n nên q á để ý, soi mói ch t chẽ, chi ly, cứn n ắc, giá điều, n ược ại cầ n ẹ n à g, ìn cảm, bìn ĩn , kh a d n mới tạ ra sự câ b n , h a

th ậ , g n b â d i có hể ấy d n chứn câ ục n ữ “Lạt mềm b ộc ch t” ro g kh à g vă h c Việt Nam.

Phương trình ẩn y ở trên vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm

Lúc này x2y2xy12  1 1 3 y2  3 (Vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Bài to n 2 Giảihệ p ươn rìn

x   x  x   x , phương trình (1) vô nghiệm.

Kết luận hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Nhận xét

Ng ài p ươn p á xây dựn miền giá rị các ẩ h n q a p ươn rìn b c h i các b n có hể sử d n một

d n ươn ự đơn giả hơn, mà kh n h n q a biến đ i đ à p ươn rìn chứa ẩ ro g d u giá rị tuy t đ i

x x

Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất x1;y0

3 3 2

Từ đây đi đến hệ có hai nghiệm

-

Áp dụng bất đẳng thức a b  a b  x2 2x  x  2 2 x 4 , phương trình ẩn x vô nghiệm.2

Kết luận bài toán đã cho vô nghiệm

Bài to n 2 Giảihệ p ươn rìn

Bài to n 2 Giảihệ p ươn rìn

x x

Kết luận hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Bài to n 2 Trích ược c u 3,Đề hi tu ển sin Đại h c; Mô Toán; Kh i A và k ối A1; Đề hi chín hức,Bộ Giáo d c và Đào ạo ViệtNam;Kỳ hi u ển sin năm 2 1

Giảihệ p ương rìn

4 4

g y  y  y     y g y đồng biến, liên tục với y 0 Hơn nữa g 1  0 y 1

Từ đây ta thu được hai nghiệm x y ;  1; 0 , 2;1  

        và điều kiện có n hiệm   04y0 y0.

Bài to n 2 Trích ược c u 8,Thử sức rước k hiĐạih c 2 1 ,Đề số 2,Tạp chíToán h c và u itrẻ,Nhà x ấtbản Giáo d c ViệtNam;Số 4 9,Thán 1 năm 2 1

Tá giả Phạm Trọ g Thư – Giáo viên rườn THPT Ch yên Ng yễn Quan Diêu,Tỉn Đồ g Tháp

Giảihệ p ương rìn

4 4

3 4

Hàm số g y liên tục và đồng biến với   y 0 g y g 1  y 1

Kết luận hệ phương trình có các nghiệm x y ;  2; 0 , 3;1  

Thu được f 2x2 f  2y12x  2 2y Thay vào phương trình thứ hai ta được 1

y y

f t t  t  f t t t   t Hàm số nghịch biến, liên tục trên 0; 2 

Do đó    f x 1 f y x 1 y Thay thế vào phương trình thứ hai của hệ

Các b n ưu ý ài l ệu n y kh n đề cậ đến ớp hệ p ươn rìn có địn hướn

-

1 Ph n ích p ươn rìn hứ n ất m q a hệ h i ẩ

2 Th y hế và p ư n rìn cò ại và sử d n cô g cụ h m số (p ươn rìn một ẩ ).

Trọ g âm ài l ệu à sử d n ín ch t đơn điệu đơn h ầ h ặc kh o sát h m số, t m giá rị lớn n ất – giá rị lớn

n ất có sử d n ch n miền giá rị biến, ổ g h a các kiến hức đ i số, ượn giác, b t đ n hức,…Điều n y đ i h i các b n đ c giả cầ n á , n ạy bén, ìm điều kiện chín xác ch b i o n để có n ữn đ n giá n ắ n ọ n ất tối ưu n ất

Bài to n 3 Giảihệ p ươn rìn 3 12 2 3 1,  ; 

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ y 1 x 1 2 x  1 1 y 1  x 1 12 0y 1

Từ đây dẫn đến y1; 2x 1 1 Phương trình thứ hai của hệ tương đương

Bài to n 3 Giảihệ p ươn rìn

y y

Để xây dựn các b i o n hệ p ươn rìn d n ươn ự cũ g kh n q á kh

 Bài to n số 3 các b n có hể để ý p ép đ n giá miền giá rị y 2 x3 x 2 0 y2 y 1 1,

là h à o n ự n iên, tư n ứn bước n o t đ u iên, cơ b n khi ch n a hực hiện bìn p ươn h i v

Đồ g hời p ươn rìn hứ h i củ hệ có d n ươn đ n h m số f u  f v dễ d n hiết lậ Ch ý

rằ g các că hức ẩ h m u 3x2;v y1đ c ậ với riên ẻ ừn biến nên h o ác đ n giá ẩ

h m à hết sức h ậ ợi n sẽ rất p ức ạ nếu chứa h i biến.

 Bài to n số 3 kh n n m n o i p ạm vi ch n miền giá rị n ưn có một số y u ố g y kh kh n Cụ hể à dựa rên nền ả g điều kiện xác địn , ta ạm y n âm với x 1, khi ma h n a ấ cô g p ươn rìn hứ

n ất ý ư n đơn giả n ất là suy ra xy 1 0 n ư b i to n 3 , tuy n iên d có h i biến h m gia nên

kh n iếp cậ đư c ẩ y, kh n o n diện.

 Ý ưởn ạ b o hơn đ i với b i to n 3 à sử d n biến đ i tươn đươn (bìn p ươn h i v ), mức đ xấ

Đây à n ụ ý b n đ u của ác giả, cũ g chín à cơ sở ch ời giải phía rên Tuy n iên để đ m b o y u ố

tự n iên, ch c ch n các b n đ c giả nên hực hiện ậ k t h i biến v h i biến chiến uy n

xy  x  y  x x Thực hiện đ t ẩ p ụ x 1 t t;  0 xt21, d n đến biểu diễn

 

yt    t t  t  f t Hàm số ẩ n y có n iều cách đ n giá, d n h n đ n hức h ặc kh o sát h m số b c h i – p ra ol đều

là n ữn k n n cơ b n Tro g rườn hợp h m số có d n ổ g q át b c h i h ặc b c b , p ươn á ối

ưu à nên sử d n cô g cụ đ o h m – h m số

Bài to n 3 Trích ược c u 3,Thử sức rước k hiĐại h c 2 1 , Đề số 2; Năm h c 2 1 – 2 1 ;Tạp chí Toán

h c và u itrẻ,Nhà Xuấtbản Giáo d c ViệtNam;Số 4 6,Thán 1 năm 2 1

Tá giả:Hu n Ng yễn Luân Lưu – Ng yễn ThịDuy An

Giáo viên Tru g âm Bồidư n văn h a Thăn Lo g,Tp.Hồ ChíMin

Kết luận hệ đã cho có hai nghiệm kể trên

Bài to n 3 Trích ược c u I 2; Đề hi ch n h c sin giỏi lớp 1 THPT;Mô Toán;Đề hi chín hức; Sở Giáo

d c và Đào ạo Tỉn HảiDươn ;Năm h c 2 1 – 2 1

3 3

Điều kiện y1;x1 Phương trình thứ hai của hệ dẫn đến y  1 1 x  1 1

Như vậy hàm số trên liên tục và đồng biến trên miền đang xét, thu được    f x  f  y1x y 1

Phương trình thứ hai lại trở thành

Bài to n 3 Giảihệ p ươn rìn

Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x1;y0

Bài to n 3 Giảihệ p ươn rìn

2

3 3

Bài to n số 3 có h i ẩ h m kh n ậ biết n ôi giấ ro g p ươn rìn hứ h i củ hệ Vấ đề p át hiện ẩ h m

n y đ được rìn b y ro g ài iệu Hệ p ươn rìn chứa că hức p ầ hứ 5 Ẩn h m hứ n ất tạm hời chưa hể

kh i p á, kh n q á kh để n ậ ra ẩ h m hứ h i v y2x1, vấ đề iếp heo à xây dựn d n ươn đ n

h m số f u  f v n ư hế n o, và điều n y có kh hi h y kh n , đ i với b i to n rên.

Các b n đ c giả cầ p â biệt rõ rà g h i rườn hợp xảy ra, ma h n a ch các bước biển đ i có ý

o y2x m  y2x1,m1.

o y2y13 y2x1 y2x1

-

Trườn hợp hứ n ất y2x m  y2x1,m1khi đ v p ải p ươn rìn ch n a kh i triển ra có d n

y2x1 y2x 1 m1 y2x1 Điều n y kh n địn hàm số g c ối thiểu có d n   3 2

Dẫn đến (*) có nghiệm khiy 0 x2x y;   2; 0là nghiệm duy nhất của hệ

Th n q a 3 b i o n mở đ u ài iệu, có ẽ n iều b n đ c giả đ địn hìn rõ rà g hướn đi đ n giá miền giá rị

củ các biến ro g hệ p ươn rìn Một câ h i đ t ra à àm hế n o để xây dựn các b i to n ươn ự, vì một điều b n kh ă à p ươn rìn ch t ch n (T) củ ch n a (p ươn rìn p ục vụ đ n giá ẩ ) có h i vai trò

o Đá h giá ẩ

o Giải n hiệm.

Vai trò hứ n ất thì có hể mu n hìn vạ rạ g, đ chiều, ở đ y ác giả ạm dừn ch n với p ư n rìn b c h i

tổ g q át và p ươn rìn chứa că b c h i (h i ẩ cơ b n) ro g p ạm vi biến đ i tươn đươn – n n ca ũy thừa, b c ro g că ca n ất là b c n ất h ặc q y (T) v một ro g các d n đ c h

b , dựa rên cơ sở p ươn rìn (T) giải b n ẩ p ụ đưa v hệ p ươn rìn

Nh n dịp n y ôi cũ g xin chia sẻ một kin n hiệm ro g việ xây dựn h m số ại p ươn rìn cò ại (A), lấy điển hìn b i to n số 3 n é Các bước đ i kh i n ư sa

 Trên đ y ưu ý chỉ cầ cố ý “giả vờ n hiệm đẹp y2;x1 mà h i vì sa khi thiết ậ được q a hệ h m

số đ i với p ươn rìn (A), đ c biệt lại có d n n ị thức b c n ất 2 ẩ mxnyp , hay hế và p ươn trìn (T) ch n a u n u n giải được, một khi vá đ đ n h y n, úc đ cò q a âm gì đến ng iệm xấ

h y đẹp àm gì nữa, n hiệm xấ hì cà g giấ được b n ch t ch n p á mò n hiệm, điển hìn p i vụ 3 có

thườn d n ch rườn hợp đơn điệu n hịch biến.

 Nói tới vấ đề h m số ại có n iều d n , có hể d n đ hức, p â hức h ặc chứa cả h m siêu việt nhưn

th i để a o n nên sử d n h m số đ hức, đ m b o u n iên ục, dự kiến ẩ h m à sẽ à h i că hức

n ỏ xíu, sa khi triển kh i sẽ xu t hiện q a hệ b c n ất mxnyp , nếu kh n hì xôi h n b n kh n Các p ươn á được x m x t b o g m

-

 Bài to n 3 ác giả ựa ch n 1 2 3

x x

Hiển n iên co số 3 là một số vô ỷ, lẻ óe oe, n ưn ch n a kh n n ất thiết xây dựn h m số có đ o

h m p ải chứa n Lựa ch n biểu hức đ o h m f t t t kvới f t 0 t 0;t k Dễ h y rằ g nếu có điều kiện 0k 3thì f t t t k0, t 3k0, theo ý h y t d u củ n ị thức b c

n ất p ạm vi chươn rìn Đại số ớp 1 THPT Hàm số ậ ức đ n biến.

Ghép các p ươn rình (T),(A) kiến ậ được đề b i heo đ n ý đ ùy ý.

Trên đ y ác giả mạ mu i sử d n một số n ô ừ n ạy cảm “giả vờ”, “n o i giá h ”, “vá đ đ n h y n”,

“đèo b n ”,…to n n ữn n ô ừ ro g ìn y u và h n n â , gia đìn …Thực ra đ y chỉ là ồ g g ép ch ý ro g

q á rìn hiết lậ một b i to n n ỏ, một b i to n vô ri vô giác, có đ i ch t nét đẹp ẩ chứa ro g ư d y p ả biện Nhưn , tro g cu c số g, tro g ìn y u, gia đìn và n ữn hứ h n hươn , ch n a kh n nên àm hế,

kh n được àm hế, d ro g suy n hĩ vì b t cứ ý d gì n ư n ữn má h kh e rên kia, h y số g ch n h n , có trách n iệm, n hĩa vụ, kh n ch i b , vụ ợi lu n u n giữ vữn và ch y b n ìn cảm, ch kiến v n o n, tro g

sá g, th y ch n , đ n đ o ý àm n ười đ n p o g ục, tậ q á củ ổ iên, củ đ t nước Việt Nam n hìn n m

vă hiến Ôi tả mạ mất rồi chết mất h i

3 3

Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất

2 4 3

Từ đây ta có nghiệm duy nhất x2;y2

Bài to n 4 Giảihệ p ươn rìn

Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;   1;1

Bài to n 4 Giảihệ p ươn rìn

3 2

3 2 3

1

12

Nhận xét

Đối với b i to n số 4 , n ìn h á g q a p ư n rìn hứ h i củ hệ, một số b n đ c giả vội và g k t lu n h i biến

b n n a à hiếu cơ sở, n uy n d nếu kh n có đ n giá t 1thì h m số h được kh n h à o n đơn điệu trên một miền Yếu ố đ n giá ch n miền giá rị các biến ro g ươn đ n h m số à vô cù g q a rọ g, b i o n

n y n o i p ươn á rên các b n có hể sử d n đ i ư n ên hợp – rục că hức – hệ ạm hời n ư sa

Tuy n iên nếu đ n h n xô g p a, kh n có đ n giá hì sẽ kh ìm ra ối h át

Bài to n 4 Trích ược c u 4;Đề hiđề n hịOlympic 3 háng 4 (Dàn ch c c ỉn Miền Tru g – Tây Ng yên – Nam Bộ); Mô Toán;Kh i 1 ;Lần hứ 1 ;Năm 2 1 ;Đơn vịtrườn THPT Ch yên Hù g Vư n ;Tỉn Gia Lai

Phương trình (1) vô nghiệm nên hệ có nghiệm duy nhất x3;y1

Bài to n 4 Trích ược c u 1,Đề hiđề n hịOlympic 3 hán 4 (c c ỉn Miền Tru g – Tây Ng yên – Nam Bộ)

Mô Toán;Kh i1 ;Lần hứ 1 ;Năm 2 1 ;Đơn vịtrườn THPT Ch yên Trần Hưn Đạo;Tỉn Bìn Th ận

Như vậy hàm số đã cho liên tục và nghịch biến trên0; 4 Ta thu được     f x 2 f y x 2 y.

Thế vào phương trình thứ hai ta có

Từ đây suy ra hệ có nghiệm duy nhất x0;y2

Bài toán 50. Giải hệ phương trình

2 3

Hàm số đang xét liên tục và đồng biến trên miền đang xét

f y  f x   y x  Thay thế vào phương trình đầu tiên, đặt y t t;  thì 1

ý hêm một ch t có hể h y hiển n iên x2    1 1, x n ưn ẩ h m y ại kh n đ n b vì miền ch n y u

(điều kiện xác địn ) y 0 Nhưn ại có 2  

t  t t t   t d vậ d n đ c ín x2    1 1, x , khi đ

Xét riên rườn hợp b i to n số 5 , có hể ậ u n n ẹ n à g hơn n ư sa

Đối chiếu, kết luận nghiệm x2;y1

Bài to n 5 Giảihệ p ươn rình

-

Kết luận hệ phương trình ban đầu vô nghiệm

Bài to n 5 Giảihệ p ươn rình

y x