Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN V: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
B CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2chủ đề 8
Lập phơng trình parabol
đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số
I Kiến thức cơ bản
Đối với bài toán viết phơng trình Parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của
đồ thị hàm số, ta sử dụng kiến thức về chùm Parabol (đợc trình bày cụ thể
hơn trong cuốn Hình học giải tích trong mặt phẳng - Lê Hồng Đức) sau:
Chùm Parabol
Xét chùm Parabol có trục đối xứng song song với trục tung, tức là Parabol
có phơng trình dạng: y=ax2+bx+c (a0))
Định nghĩa:
Các Parabol cùng đi qua hai điểm A, B cố định gọi là chùm Parabol
Đờng thẳng AB gọi là trục của chùm Parabol
Trong mục này, chúng ta trình bày cách xác định phơng trình Parabol
bằng phơng pháp chùm Parabol một tham số.
Bài toán 1 Viết phơng trình Parabol bằng phơng pháp chùm
phơng pháp chung Gọi A(xA, yA) và B(xB, yB) là hai điểm thuộc đờng thẳng (d): y=px+q
Khi đó phơng trình của chùm Parabol
qua A, B là: y=m(x-xA)(x-xB)+px+q, với m0)
Trờng hợp tổng quát khi p0); yAyB
chùm Parabol đợc gọi là chùm Parabol
lệch tung (H1)
Khi p=0) (yA=yB) chùm Parabol đợc
gọi là chùm Parabol đẳng tung (H2) và
phơng trình có dạng:
y=m(x-xA)(x-xB)+yA, với m0)
Khi p0), AB chùm Parabol đợc gọi là
chùm Parabol tiếp xúc với tiếp điểm
A(xA, yA) (H3) và phơng trình có dạng:
y=m(x-xA)2+px+q, với m0)
Khi p=0), AB chùm Parabol đợc gọi là
chùm Parabol chung đỉnh với đỉnh
chung A(x , y ) (H4) và phơng trình có
x
xA
B y=px+q
xB A
y
O
x
xA
B
yA=yB
xB A
y
O y=px+q A
y
Trang 3vì (1) có hai nghiệm phân biệt, do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu
Toạ độ các điểm cực trị là nghiệm của hệ phơng trình:
0) 1 x
3 2 x x 3
1
y
2
3
1 x
3 2 x x x 3 1 y
2
2
1 x
3
2 x 3
2 y
2
Toạ độ điểm cực trị thoả mãn:
y=-3
2 x+
3
2 +m(x2-1) (2) Nhận xét rằng: với m0) thì (2) là phơng trình chùm Parabol đi qua điểm cực trị của đồ thị hàm số
(P) tiếp xúc với (d) phơng trình:
-3
2
x+
3
2 +m(x2-1)=
3
4
có nghiệm kép
phơng trình 3mx2-2x-2+3m=0) có nghiệm kép
0) ' 0)
0) 1 m 6 m 9 0) m
m=-3
1
Với
m=-3
1 , ta đợc (P):
y=-3
1
x2 -3
2 x+1
Vậy, phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số và tiếp xúc với đờng thẳng (d) có dạng:
y=-3
1
x2
-3
2 x+1
Ví dụ 2 (ĐHAN Khối A - 1999): Cho hàm số y=
1 x
9 x
x2
Viết phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số và tiếp xúc với đờng thẳng (d): 2x-y-10)=0)
Giải
Miền xác định: D=R\{1}
Trang 4Đạo hàm:
2
) 1 x
(
8 x x
,
Phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó hàm số luôn có cực
đại, cực tiểu
Toạ độ các điểm cực trị là nghiệm của hệ phơng trình:
0) 8 x 2 x
1 x
9 x x
y
2
2
0) 8 x 2 x
1 x
) 8 x 2 x ( 9 x x y
2
2 2
0) 8 x 2 x
1 x 2 y
2
Suy ra: toạ độ điểm cực trị thoả mãn: y=2x-1+m(x2-2x-8) (2) Nhận xét rằng: với m0) thì (2) là phơng trình chùm Parabol đi qua điểm cực trị của đồ thị hàm số
(P) tiếp xúc d) phơng trình 2x-1+m(x2-2x-8)=2x-10) có nghiệm kép
phơng trình mx2-2mx-8m+9=0) có nghiệm kép
0) ' 0) a
0) m 9 m 9 0) m
Với m=1, ta đợc (P): y=x2-9
Vậy, phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số và tiếp xúc với đờng thẳng (d) có dạng: y=x2-9
III.Bài tập đề nghị
Bài tập 1. Viết phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số:
a y=x3+2x2-x+16 và tiếp xúc với đờng thẳng (d): x-2y+1=0)
b y=
3
1
x3-2x2+x+m và tiếp xúc với đờng thẳng (d): 2x-y=0)
c y=
1 x
4 x
x2
và tiếp xúc với đờng thẳng (d): x+y-2=0)
Trang 5c (HVKTQS - 1998) Đi qua các điểm A(- 3 , 0)); B( 3 , 0)) và tiếp xúc với đồ thị hàm số (C): y=x3-3x
