Tài liệu tham khảo và tuyển tập đề thi thử đại học, cao đẳng môn toán giúp các bạn ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học . Chúc các bạn thi tốt!
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 81 )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y=-x3+3x2-2 (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2 Tìm trên đường thẳng (d): y=2 các điểm kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C )
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải bất phương trình x2 x 2 3 x 5x2 4x 6 ( x R)
2 Giải phương trình 2 2 cos 2 sin 2 cos( 3 ) 4 sin( ) 0
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
3 2 2 1
log
1 3ln
e
x
Câu IV(1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của
A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
biết khoảng cách giữa AA’ và BC là a 3
4
Câu V (1,0 điểm)
Cho x, y, z 0thoả mãn x + y + z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 16
P
x y z
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a( 2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:x3y 8 0, ' :3 x 4y10 0 và
điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ’
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: 1 1 1
x y z
x y z
và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng , biết nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2
Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0
B Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b(2,0 điểm)
1 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 4 y – 5 = 0 và (C2): x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0 Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)
2.Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau: 1 2
x 1 2t
x y 1 z 2
z 3
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 1 4
4
1
( , ) 25
y x
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 81 )
I
1 *Tập xác định: D = R
* y’ = - 3x2 + 6x ; y’ = 0 0
2
x x
*Bảng biến thiên
x - 0 3 +
y’ - 0 + 0 -
+ 2
y
-2 -
* Hàm số nghịch biến trên ( -;1) và ( 3; +); đồng biến trên ( 1; 3)
* Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và yCT = -2; hàm số đạt cực đại tại x = 2 và yCĐ = 2
* Đồ thị :
f(x)=-x^3+3x^2-2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4 -2
2 4
x y
1đ
2 (1,0 điểm): Gọi M ( )d M(m;2) Gọi là đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số
góc k PTĐT có dạng : y=k(x-m)+2
ĐT là tiếp tuyến của (C ) khi và chỉ khi hệ PT sau có nghiệm
2
3 6 (2)
x x k x m
x x k
Thay (2) và (1) được: 2x3-3(m+1)x2+6mx-4=0 (x-2)[2x2-(3m-1)x+2]=0
2
2
2 (3 1) 2 0 (3)
x
Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( C) hệ (I) có 3 nghiệm x phân biệt PT(3)
có hai nghiệm phan biệt khác 2 f(2)0 0 mm 21 hoÆc m>5/3
Vậy M(m;2) thuộc (d): y=2 với 1 hoÆc m>5/3
m
thì từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 31
Điều kiện
2
2
2 0
x x
Bình phương hai vế ta được 6 x x( 1)(x 2) 4 x212x 4
3 x x( 1)(x 2) 2 (x x 2) 2(x 1)
1
x x t
x
ta được bpt 2t2 3t 2 0
1
2 2
2
t
t t
( dot 0)
1
x x
x
3 13
3 13
3 13
x
x x
( do x 2) Vậy bpt có nghiệm x 3 13
0,5
0,5
2 2 cos 2 sin 2 cos( ) 4 sin( ) 0
2 2 cos 2 sin 2 (cos cos sin sin ) 4(sin cos cos sin ) 0
4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0 (sinx+cosx)[4(cosx-sinx)-sin2x-4]=0
s inx+cosx=0 (2) 4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3)
4
Giải (2) : Đặ s inx-cosx= 2 sin( ), §iÒu kiÖn t 2 (*)
4
sin 2x 1 t
thay vào (2) được PT: t2-4t-5=0 t=-1( t/m (*)) hoặc t=5(loại )
Với t=-1 ta tìm được nghiệm x là : 2 hoÆc x=3 2
2
KL: Họ nghiệm của hệ PT là:
4
, 2 vµ x=3 2
2
0,25
0,25
0.25
0,25
III
3
2
3
ln
ln 2
x
x
dx
x
2
3
2 2
2
1 1
1 3ln
t
2 3
t t
0,5
0,5
Trang 4Gọi M là trung điểm BC ta thấy:
BC O
A
BC AM
Kẻ MH AA' ,(do A nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)
AM A HM
AM A BC
) ' (
) ' (
.Vậy HM là đọan vơng gĩc chung của
AA’và BC, do đĩ
4
3 )
BC , A'
Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH
ta cĩ:
AH
HM AO
O A
'
suy ra
3
a a 3
4 4
3 a 3
3 a AH
HM AO O '
Thể tích khối lăng trụ:
12
3 a a 2
3 a 3
a 2
1 BC AM O ' A 2
1 S
O ' A V
3
0,5
0,5
V
Trước hết ta cĩ: 3 3 3
4
x y
x y (biến đổi tương đương) x y 2 x y 0 Đặt x + y + z = a Khi đĩ
(với t = z
a, 0 t 1)
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t0;1 Cĩ
9
f t t t f t t
Lập bảng biến thiên
0;1
64 inf
81
t
GTNN của P là 16
81 đạt được khi x = y = 4z > 0
0,5
0,5
VIa
1 Tâm I của đường trịn thuộc nên I(-3t – 8; t)
Theo yc thì k/c từ I đến ’ bằng k/c IA nên ta cĩ
2 2
3( 3 8) 4 10
( 3 8 2) ( 1)
3 4
Giải tiếp được t = -3 Khi đĩ I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25
0,25 0,25 0,5
2 Gọi A = d1(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 (P) suy ra B(2; 3; 1)
Đường thẳng thỏa mãn bài tốn đi qua A và B
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là u (1;3; 1)
Phương trình chính tắc của đường thẳng là: 1 2
x y z
0,5
0,5
VIIa
Xét phương trình Z 4 – Z 3 + 6Z 2 – 8Z – 16 = 0
Dễ dàng nhận thấy phương trình có nghiệm Z 1 = –1, sau đó bằng cách chia đa thức
hoặc Honer ta thấy phương trình có nghiệm thứ hai Z 2 = 2 Vậy phương trình trở thành:
(Z + 1)(Z – 2)(Z 2 + 8) = 0 Suy ra: Z 3 = 2 2 i và Z 4 = –2 2 i
Đáp số: 1,2, 2 2 i, 2 2 i
0,5 0,5
A
B
C
C’
B’
A
’
H
O M
Trang 51 C1:I10; 2 , R13;C2:I23; 4 , R2 3.
Gọi tiếp tuyến chung của C1 , C2 là :Ax By C 0A2 B2 0
là tiếp tuyến chung của C1 , C2
;
Từ (1) và (2) suy ra A2B hoặc C3A22B
Trường hợp 1: A2B.Chọn B 1 A 2 C 2 3 5 : 2x y 2 3 5 0
Trường hợp 2: 3 2
2
C Thay vào (1) được
3
A B A B A A B y x y
0,5
0,5
2 Gọi M d 1 M 2t;1 t; 2 t , N d 2 N 1 2t ';1 t ';3
1
1
MN 2t 2t ' 1; t t '; t 5
6t 3t ' 3 0
t t ' 1 3t 5t ' 2 0
M 2;0; 1 , N 1;2;3 ,MN 1;2;4
PT MN :
0,5
0,5
VIIb
Điều kiện: y x y 00
4
y x
2
3
25
10
y
10 10
x y
x y
( loại) Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
0,5
0,5
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp
án quy định.
