ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG 2012 MÔN TOÁN ĐỀ SỐ 212

Tài liệu tham khảo và tuyển tập đề thi thử đại học, cao đẳng môn toán giúp các bạn ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học . Chúc các bạn thi tốt!

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012

Môn thi : TOÁN (ĐỀ 212)

I PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất cả các thí sinh)

Câu 1 (2đ) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + 1 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8

Câu 2 (2đ) 1 Giải hệ phương trình: 













2 2

3 9 12 18

y xy

x xy

2 Giải phương trình: 9x + (x - 12).3x + 11 - x = 0

Câu 3 (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh

bên và cạnh đáy đối diện bằng m

Câu 4 (1đ) Tính tích phân:    

2

2 0

)]

4 ln(

) 2 (

I

Câu 5 (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c

Thoả mãn hệ điều kiện: 











2 2

) (

) (

c a b b

b c a a

CMR:

C B

1 sin

1 sin

1





II PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần)

Theo chương trình chuẩn:

Câu 6a (2đ)

1 Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x -6y + 9 = 0

Tìm những điểm M (C) và N  (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất

2 Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng:

(P1): x - 2y + 2z - 3 = 0

(P2): 2x + y - 2z - 4 = 0 và đường thẳng (d):

3

4 2

1









x

Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I  (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2)

Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x2 - x3)4 = a0 + a1x + a2x2 + + a12x12

Tính hệ số a7

Theo chương trình nâng cao

Câu 6b (2đ)

1 Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 và điểm











5

7 ,

5

1

Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất

2 Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P):

x - 2y + 2z - 3 = 0

Tìm những điểm M  (S), N (P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất

Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:

x

x x

x

f( ) 313  12 khi x  0, và f( 0 )  0; tại điểm x0 = 0

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012

Môn thi : TOÁN (ĐỀ 212)

Câu 1 (2đ) y = 2x3 - 3x2 + 1

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

* TXĐ: R

* Sự biến thiên: + Giới hạn: limxy=   , limxy=   0,25đ

+ Bảng biến thiên: y’ = 6x2 - 6x = 6x (x - 1) y' = 0 















) 0 (

; 1

) 1 (

; 0

y x

y x

0,25đ Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị 0,25đ

* Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, chính xác 0,25đ

2) Tìm M  (C) ?

Giả sử M (x0; y0) (C)  y0 = 2x0 - 3x0 + 1

Tiếp tuyến (  ) của (C) tại M:

y = (6x0 - 6x0) (x - x0) + 2x0 - 3x0 + 1 0,25đ

(  ) đi qua điểm P(0 ; 8)  8 = -4x0 + 3x0 + 1

 x0 = -1 ; (4x0 - 7x0 + 7 > 0,  x0) 0,25đ Vậy, có duy nhất điểm M (-1 ; -4) cần tìm 0,25đ

Câu 2 (2đ)

1) Giải hệ: 































3 2 3

2 3

9

3 2 0

12 12

18

2

2 2

x y y

x y xy

x x

x xy

0,25đ 18

3



 2 3 ; 2 3



Thử lại, thoả mãn hệ đã cho

Vậy, x;y  2 3 ;  3 3 , 2 3 ; 3 3  0,25đ

2) Giải phương trình:  3x 2x 123x 11  x 0

















x

x x

11 3

1 3



















(*) 0 11 3

) (

0

x x

f

x

(*) 0

)

2

(

, 0 1 3 ln 3 )

(

'

















f

x x

có nghiệm duy nhất x = 2 0,25đ Vậy, tập nghiệm của phương trình: S = {0 ; 2} 0,25đ

Câu 3 (1đ) S

N

A C

O

B

SO  (ABC)

S.ABC chóp  đều  O là tâm tam giác đều ABC

M BC

BC SO

BC AM













Trong  SAM kẻ đường cao MN  MN = m

2

3 2

3 3

60 sin

a AO AM

a a

3 SO

SA h

SO

2 2 2

h

AO  









SA.MN = SO.AM  2 2 2 2 2

3

4 4

3a  m h  a m

2

3

0,25đ

2

2 4 3 3

2

m a

am h





 ; và S(ABC) =

4

3

2 2

3

4 3 6 ).

( 3

1

m a

m a h

ABC S V





2

3

0,25đ

Câu 4 (1đ) Tính tích phân

 



2

0

) 2 ( x dx x

2

0

2 ) 4 ln( x dx = I 1 I2



     



2

0

2 2

0



dx x

dx x x



     



2

0 2

2 2

0 2 2

0

2 2

4 2

| ) 4 ln(

) 4

x

x x

x dx x

 6 ln 2   4 (đổi biến x 2 tant) 0,25đ

2 ln 6 4 2

3

2

1    

Câu 5 (1đ)

 ABC: 











) 2 ( )

(

) 1 ( )

(

2 2

c a b b

b c a a

(1)  sin2A + sinAsinC = sin2B (Đl sin)

 sinAsinC =

2

1 (cos2A - cos2B)

 sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A)

 sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0)

 A = B - A ; (A, B là góc của tam giác)

Tương tự: (2)  C = 2B

A + B + C =  , nên A =

7

 ; B =

7

2 ; C =

7

4

0,25đ

Ta có:

C

B sin

1 sin

1

7

3 sin 7

cos 7 sin 2

7

cos 7

3 sin 2 7

4 sin 7

2 sin

7

2 sin 7

4 sin























0,25đ

1 7 sin

1



II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

Chương trình cơ bản

Câu 6a (2đ)

1) Tìm M  (C), N  (d)?

(d): 3x - 4y + 5 = 0

(C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1  Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1

d (I ; d) = 2  (d)  (C) = Ø

Giả sử tìm được N0 (d)  N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (d)

 N0 = (d)   , với:  





















 3 ; 4 )

( ) 3

; 1 (

u d I

0,25đ



















5 7

; 5 1 4

3 3 1 : N0

t y

t x

0,25đ

Rõ ràng  (C) = {M1; M2} ; M1 











 5

11

; 5

2











 5

19

; 5 8

M0 (C) để M0N0 nhỏ nhất  M0  M1 và M0N0 = 1 0,25đ

Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán













5

11

; 5

2

; N 









 5

7

; 5

1

0,25đ

2) Phương trình mặt cầu (S) ?

(P1): x - 2y + 2z - 3 = 0

(P2): 2x + y - 2z - 4 = 0

Giả sử I (x0 ; y0 ; z0)  (d):

3

4 2

1









x

 I (-2 - t ; 2t ; 4 + 3t) là tâm của mặt cầu (S) 0,25đ

Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2)  d (I, (P1)) = d (I ; (P2))





















1

13 16

10 3

1 3 9 3

1

t

t t

 I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; 2 ; 1)

Vậy, có hai mặt cầu cần tìm:

(S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382

(S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22 0,25đ

Câu 7a (1đ) Tính hệ số a 7 ?

(1 - x + x2 - x3)4 = (1 - x)4 (1 + x2)4 0,25đ





























4 0

2 4 4

0

4

1

i

i i k

k k k

x C x

(Gt) ,  0 , 1 , 2 , 3 , 4  ; 1;3 ,3;2

7 2















 k i

i k i k

0,25đ 40

2 4

3 4

3 4

1 4

7     

Chương trình nâng cao

Câu 6b (2đ)

1) Tìm N  (C)?

(C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1

 Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 ; M 









 5

7

; 5 1

2 5

8

; 5

6



















Giả sử tìm được N  (C)  MN  MI + IN = 3 0,25đ

Dấu “=” xảy ra  N là giao điểm của tia đối IM và đường tròn (C)

(IM):

















t y

t x

5 8 3 5 6 1

; IM    C  N1; N2















5

11

; 5

2

1











 5

19

; 5

8

2

Kết luận: Thoả mãn điều kiện bài toán: 











 5

19

; 5

8

2) Tìm M  (S) , N  (P) ?

(S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 1

Tâm I (-1 ; 2 ; 1), bán kính R = 1

(P): x - 2y + 2z - 3 = 0  d I; P  = 2  (P)  (S)  Ø

Giả sử tìm được N0 (P) N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 0,25đ

   d P

 0 , với:  

















) 2

; 2

; 1 ( )

( ) (

) 1

; 2

; 1 (

d

u P d I d

 





















t z

t y

t x

d

2 1

2 2 1















3

7

; 3

2

; 3

1

0

N

0,25đ



 ( )

)

(d S {M1 ; M2}

















3

5

; 3

4

; 3

2

1

M

,













3

1

; 3

8

; 3

4

2

M

0,25đ

M1M0 = 1 < M2M0 = 3

M0 (S) để M0N0 nhỏ nhất  M0  M1

Vậy, những điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán















3

5

; 3

4

; 3

2













3

7

; 3

2

; 3

1

Câu 7b (1đ)

Đạo hàm bằng định nghĩa:

x

f x f

x

) 0 ( ) (

lim

0



0

2 1 3 1 lim

x

x x

x









0,25đ

0

2 1 ) 1 ( ) 1 ( 3 1 lim

x

x x

x x

x















x x

x x

x

x

1 lim

1 3 1 1 ) 3 1 (

3 lim

0 2 3







= -1 +

2

1 = -2

1 Vậy,

2

1 '(0) 

Diemthi.24h.com.vn