Các dạng toán : Nhằm củng cố lại kiến thức trọng tâm về tập mệnh đề và tập hợp : 1- Xác định mệnh đề toán học.. 6- Chứng minh các đẳng thức có quan hệ trên tập hợp.. Bài 2 : Sử dụng thuậ
Trang 1Tuần : 1 + 2 + 3 Ngày soạn : 04/09/2006 Chủ đề 1 : MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP
I Các dạng toán : Nhằm củng cố lại kiến thức trọng tâm về tập mệnh đề và tập hợp :
1- Xác định mệnh đề toán học 2- Điều kiện cần và điều kiện đủ 3- Chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng 4- Xác định các tập hợp
5- Các phép toán trên tập hợp 6- Chứng minh các đẳng thức có quan hệ trên tập hợp
II Phương pháp: Từ các định nghĩa và tính chất đã nêu trong phần lý thuyết, GV xây dựng
cho học sinh phương pháp giải
III Hệ thống bài tập :
* Tiết tự chọn 1 : Gồm hai dạng toán
1 Xác định mệnh đề toán học
2 Điều kiện cần và điều kiện đủ
Bài 1 : Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xác định mệnh đề đúng sai :
a) A : “ PT x2-2x + 2 = 0 vô nghiệm ” b) B : “ 124 là một số chính phương ” c) C : “ Tứ giác ABCD là một hình thang” d) x , x > x2
e) x , n2 + 1 không chia hết cho 3 f) n , n2 + 1 chia hết cho 8
k) n * ,1 + 2 + + n không chia hết cho 11 h) x , x2 + x + 1> 0
Bài 2 : Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu các định lý sau :
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng nhau
b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
c) Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân
d) Nếu tam giác ABC cân tại A thì đường trung tuyến xuất phát từ A cũng là đường cao
Bài 3 : Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu các định lý sau :
a) Nếu tứ giác T là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau :
b) Nếu a = b thì a2 = b2
c) Nếu một số nguyên dương lẻ được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương thì số đó phải có dạng 4k +1 (k )
d) Nếu m, n là hai số nguyên dương sao cho m2+ n2 là một số chính phương thì tích m.n chia hết cho 12
* Hướng dẫn trả lời Bài 1 : Câu f) : Mệnh đề sai
Mệnh đề phủ định là : “ n , n 1 không chia hết cho 82 ” Đây là một mệnh đề đúng
Thật vậy : Vì n nên n nhận giá trị chẵn hoặc lẻ, khi đó 2
k
Như vậy n2+1 = 4k2+1 hoặc 4k2+4k+2 nên khi chia cho 8 sẽ dư 1 hoặc 2
Câu i) : Mệnh đề sai, chẳng hạn chọn n = 1
Trang 2Chú ý : 1 2 3 1
2
n n
Bài 2:
a) Điều kiện đủ để hai tam giác đồng dạng là chúng bằng nhau
b) Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là chúng bằng nhau
c) Để một hình thang là hình thang cân, điều kiện đủ là hai đường chéo của nó bằng nhau.
d) Điều kiện đủ để đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC vuông góc với BC
là tam giác đó cân tại A
Bài 3 :
a) Tứ giác T có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần để tứ giác T là hình thoi
b) a2 = b2 là điều kiện cần để a = b
c) Để một số nguyên dương lẻ được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương thì một điều kiện cần là số đó phải có dạng 4k +1 (k )
d) Cho m, n là hai số nguyên dương Điều kiện cần để m2+n2 là một số chính phương là tích m.n chia hết cho 12
* Tiết tự chọn 2 : Gồm hai dạng toán
3 -
Chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng
4 -
Xác định các tập hợp
Bài 1: Bằng phương pháp phản chứng hãy chứng minh các định lý sau :
2 2
) , chia hết cho 3 n chia hết cho 3
b) , chia hết cho 6 n chia hết cho 6
c) Nếu a+b<2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1
d) Nếu x -1 và y -1thì x+y+xy 1
e) Cho các số
n
n
n
, , , là trung bình cộng của chúng a=
: ít nhất một trong các số , , , sẽ lớn hơn hay bằng a
thực a a a
Gọi
n CMR
Bài 2 : Viết dưới dạng liệt kê các phần tử của các tập hợp sau :
/ 5 / 3 với k và -4<x<12
Bài 3 : Tìm tất cả các tập con của tập X sao cho 1;2 X1;2;3;4;5
Bài 4 : Viết các tập sau dưới dạng chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó :
4;0;4;8;12 B= 1;4;7;10;13;16
A
* Hướng dẫn trả lời
Bài 1 :
Câu a) Giả sử n không chia hết cho 3 khi đó n có dạng :
n = 3k +1 ; n = 3k + 2 với k , dẫn đến điều trái với giả thuyết
Câu b) Tương tự câu a)
Câu c) Giả sử cả a và b đều lớn hơn bằng 1, dẫn đến a + b 2 ( trái với giả thuyết)
Câu d) Giả sử x+ y +xy = -1, phân tích dẫn đến x = -1 hoặc y =-1 (trái với giả thuyết)
Câu e) Ta giả sử a a1, , ,2 an đều nhỏ hơn a , từ đó dẫn đến kết quả a < a (vô lý)
Trang 3Bài 2 :
Câu a) Giải các phương trình 2x2 3x 1 0 và x3 3x22x0 để tìm x
Câu b) Ta có n 5 5 n 5
Câu c) Từ x = 3k và -4<x<12 ta tìm được k 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3
Bài 4 :
+ x thuộc tập A thì x có dạng x = 4k, với k
+ x thuộc tập B thì x có dạng x = 3k+1, với k
* Tiết tự chọn 3 : Gồm hai dạng toán
5-Các phép toán trên tập hợp 6-Chứng minh các đẳng thức có quan hệ trên tập hợp
Bài 1 : Tìm tập A B ; A B ; A\B và biểu diễn trên trục số của các tập này :
) 4 ;5 B = 0 ; 6 ) A = - ; 3 B = -1 ; 5
) A = x / -3<x 10 và B = x / x>2 ) A = và B = x / x 1
Bài 2 :
) tập / 2< x 3 Hãy biểu diễn tập A thành hợp của hai khoảng
) tập / x 2 Hãy biểu diễn tập B thành hợp của hai khoảng
Bài 3 : Chứng minh rằng :
) Nếu A B thì A B=A ; A B=B ; A\B= b) A ; A = A
c) A B ) A B
* Hướng dẫn trả lời
Bài 1 :
c) A = -3;10 B= 2 ; + d) A = 0 ;+ B= -1 ; 1
Qua đó biểu diễn trên trục số và kết luận
Bài 2 : A2;3 3; 2 B2; ; 2
Bài 3 : Để chứng minh tập A = B ta chứng minh : B A A B (tức là (tức là x A x B x B x A))
VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG Bài 1: CMR : “Với n là số nguyên, nếu 5n + 1 là một số chẵn thì n là một số lẻ”
Bài giải mẫu:
Giả sử 5n + 1 là một số chẵn và n cũng là một số chẵn Khi đó vì n chẵn n = 2k , k *
5n + 1 = 10k + 1 là một số lẻ Điều này mâu thuẩn với giả thiết
Do đó n phải là một số le û
Bài 2: CMR : “Với n là số tự nhiên, nếu n2 không chia hết cho 4 thì n là một số lẻ”
Bài 3: CMR : “Với n là số tự nhiên, nếu n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”
Bài 4: CMR : “Nếu phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì a và c cùng dấu” Bài 5: CMR : “Nếu a.b.c ≠ 0 thì có ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm :
ax2 + 2bx + c = 0; bx2 + 2cx + a = 0; cx2 + 2ax + b = 0”
Bài 6: CMR : “ 2 là số vô tỉ ”
Bài giải mẫu:
Trang 4Giả sử 2 là số hữu tỉ 2 = , với m, nmn * và m tối giản
n
n
2 = m2 = 2n2 m2 là số chẵn m là số chẵn m = 2k , với k *
Từ m2 = 2n2 4k2 = 2n2 n2 = 2k2 n2 làmột số chẵn n là một số chẵn n = 2l, với l *
m = 2k chưa tối giản Điều này mâu thuẩn giả thiết
Bài 7: CMR : “Nếu các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện sau :
a + b + c > 0 (1)
ab + bc + ca > 0 (2) thì a > 0, b > 0, c > 0 abc > 0 (3)
”
Bài giải mẫu:
Giả sử ba số a, b, c không đồng thời là các số dương Vậy ít nhất một số không dương Do
a, b, c có vai trò như nhau không giảm tổng quát ta giả sử : a ≤ 0 thay vào (3) ta được abc 00
Thay vào (2) a(b + c) > bc > 0 b + c > 0 Như vây ta có : ab c 0 0
a + b + c < 0
Điều này mâu thuẩn với giả thiết (1)
Bài 8: CMR :
a) “Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1”
b) “Nếu ∆ ABC không phải là một ∆ đều thì ∆ ABC có một góc trong nhỏ hơn 600 ”.
c) “Nếu x ≠ 1 và y ≠ 1 thì x + y + xy ≠ 1”
Bài 9: CMR : “Nếu a, b, c 0 ; 1 thì có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai :
a(1 - b) > (1) ; b(1 - c) > (2) ; c(1 - a) > (3)1 1 1
Bài giải mẫu:
Giả sử cả ba bất đẳng thức (1), (2), (3) đều đúng Khi đó nhân vế theo vế (1),(2),(3) ta được :
a.(1 a).b.(1 b).c.(1 c) > 641 (*)
Ta có: x(1 x) = x2 + x = (x2 x) = [xx2 212x + 14 14] =
2
x
2
Vậy x (0 ; 1) thì 0 < x(1 x) ≤ 1
4 Do đó :
1 a(1 - a) > (4)
4 1 b(1 - b) > (5)
4 1 c(1 - c) > (6)
4
Nhân vế theo vế (4), (5), (6) ta được : a.(1 a).b.(1 b).c.(1 c) ≤ 641 (**)
Rõ ràng bất đẳng thức (**) mâu thuẩn với bất đẳng thức (*) Do đó cả ba đẳng thức (1), (2), (3) không thể đồng thời đúng Vậy có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên sai
VẤN ĐỀ 2: TẬP HỢP
Trang 51 Tập hợp và phần tử:
Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học
a A (phần tử a thuộc tập hợp A); b A (phần tử b không thuộc tập hợp A)
2 Các cách xác định tập hợp :
a) Liệt kê các phần tử : Ví dụ: E = {a, b, c}
b) Nêu tính chất đặt trưng của các phần tử : Ví dụ: E = {x / x có tính chất α}
3 Tập con của một tập hợp tập hợp bằng nhau và tập rỗng :
A B x, x A x B A = B A B B A
Tập rỗng : là tập không có phần tử nào : Chú ý : A , tập A
4 Các phép toán về tập hợp :
A B = {x / x A x B} (giao của hai tập hợp)
A B = {x / x A x B} (hợp của hai tập hợp)
A \ B = {x / x A x B} (hiệu của hai tập hợp)
A
E
C E \ A = x / xE x A (phần bù của A trong E) với A E
BÀI TẬP VỀ TẬP HỢP
Bài tập 1: Cho tập hợp E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} và tập hợp của tập hợp E là :
A = {1; 2; 3; 4} , B = {2; 4; 6; 8} Tìm CEA , B , (CE C AE B) C , A BE CE
biểu diễn các tập đó trên trục số
Bài tập 4: Xác định tập hợp A B và A B và biểu diễn các tập đó trên trục số trong các trường
hợp sau Biết :
Bài tập 5: Xác định tập hợp A B, B C, A C và B C và biểu diễn các tập đó trên trục số
trong các trường hợp sau Biết :
a
giao khác rỗng là : (A) 2
3
3
≤ a < 0 ;
4
4
≤ a < 0
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trang 6Câu 1: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai ? Giải thích ?
, n2 + n + 1 là một số nguyên tố đúng ; sai
x 1
x 1
Số câu là mệnh đề trong các câu trên là:
3 n 3 ;
9 n 9 ; (D) n , n 5 n có chữ số tận cùng là 5
Tất cả các số tự nhiên thuộc cả hai tập A và B là :
Khi đó tập (A B) C là :
2
2
2
2
2