(Luận văn thạc sĩ) Tính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứ

Tính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứTính ổn định hóa của lớp hệ dương phân thứ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS MAI VIẾT THUẬN

THÁI NGUYÊN, 10/2018

Mục lục

1.1 Giải tích phân thứ 41.1.1 Tích phân phân thứ 41.1.2 Đạo hàm phân thứ 51.2 Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình viphân phân thứ 91.3 Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 101.4 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phânthứ 121.5 Một bổ đề bổ trợ 14Chương 2 Tính ổn định hóa của một số lớp hệ dương phân thứ

2.1 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương phân thứ Caputo 152.2 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương không chắc chắnphân thứ Caputo 25

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

R, R+ tập các số thực, số thực không âm tương ứng

Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều

t 0Dtα toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

kết thúc chứng minh của định lí hoặc bổ đề

Lời nói đầu

Hệ động lực dương đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhàkhoa học vì những ứng dụng của nó trong nhiều bài toán kỹ thuật (xem [9] vàcác tài liệu tham khảo trong đó) trong khoảng ba thập kỷ gần đây Nói mộtcách hình tượng, một hệ động lực được gọi là hệ dương nếu các vectơ trạngthái và vectơ đầu ra của hệ là không âm khi các điều kiện ban đầu và đầu vào

là không âm Tính ổn định và ổn định hóa là một trong những tính chất địnhtính quan trọng của hệ động lực dương Vì vậy, nó đã nhận được sự quan tâmnghiên cứu của nhiều nhà khoa học [3, 12, 14, 16, 18] Chẳng hạn, bằng cáchtiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với bài toán quy hoạchtuyến tính, các tác giả trong [16] nghiên cứu bài toán ổn định hóa cho lớp hệtuyến tính với điều khiển có hạn chế Trong [12], một vài tiêu chuẩn cho tínhdương và tính ổn định tiệm cận cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ đã đượcđưa ra

Mặt khác, nhiều nhà khoa học đã chỉ ra rằng nhiều hệ thống, chẳng hạnnhư các hệ thống điện từ, phân cực điện môi, các hệ thống viscoelastic [8],

có thể được mô tả một cách chi tiết và tốt hơn bởi hệ phương trình vi phânphân thứ Vì vậy hệ phương trình vi phân phân thứ đã nhận được nhiều sựquan tâm nghiên cứu (xem [1, 2, 12, 13, 14, 16, 18] và các tài liệu tham khảotrong đó) Đặc biệt, trong những năm gần đây, bài toán nghiên cứu tính ổnđịnh và ổn định hóa các hệ động lực dương phân thứ là một bài toán quantrọng, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học Nhiều kết quảsâu sắc về bài toán này đã được công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín (xem[5, 8, 10, 17])

Trong tài liệu [8], các tác giả đã đưa ra một vài tiêu chuẩn cho tính ổn địnhhóa của một số lớp hệ tuyến tính dương không chắc chắn phân thứ Riemann-Liouville Tuy nhiên như trong bình luận của một số nhà khoa học, việc dùngđạo hàm Riemann-Liouville để mô tả các hệ động lực trong thực tế thì gặp

hạn chế do điều kiện ban đầu trong các bài toán giá trị đầu không có nhiều ýnghĩa vật lí So với đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm Caputo dễ

áp dụng cho các bài toán thực tế hơn vì điều kiện ban đầu của các mô hình sửdụng đạo hàm Caputo có ý nghĩa vật lí Vì lí do đó, bằng cách sử dụng một

số kỹ thuật tham khảo trong các tài liệu [8] và [17] chúng tôi nghiên cứu bàitoán ổn định hóa cho một số lớp hệ tuyến tính dương không chắc chắn phânthứ Caputo Các kết quả thu được là những đóng góp nhỏ nhưng có ý nghĩakhoa học của chúng tôi

Luận văn được chia làm hai chương với những nội dung chính như sau:Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ nhưtích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàmphân thứ Caputo Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duynhất nghiệm Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính phânthứ Caputo không thuần nhất cũng được chúng tôi trình bày trong chươngnày Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định cho hệphương trình vi phân phân thứ phi tuyến tổng quát cũng được trình bày trongchương này

Chương 2 của luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để đảm bảo một hệtuyến tính phân thứ Caputo là dương Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày một

số điều kiện đủ cho tính ổn định hóa của một số lớp hệ điều khiển tuyến tínhphân thứ Caputo với điều khiển không có hạn chế và có hạn chế Các kết quảcủa chương này được chúng tôi đưa ra bằng cách áp dụng các kỹ thuật chứngminh trong các bài báo [8] và [17] trong danh mục tài liệu tham khảo của luậnvăn

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực học hỏi của bản thân, em đãnhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ Với tình cảm chân thành em xingửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS Mai Viết Thuận - người Thầy đã tận tìnhhướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho

em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn

Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên, những người đã trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Caohọc Toán K10 khóa 2016 - 2018, các phòng ban chức năng, Khoa Toán - Tin

trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiệncho em trong thời gian học tập vừa qua.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám Hiệu trường THPT HiệpHòa số 2, tập thể lớp K10, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên,giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này

Thái Nguyên, ngày 02 tháng 10 năm 2018

Tác giả luận văn

NGUYỄN ĐÌNH SỰ

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức về giải tích phân thứ như tích phânRiemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville, mối liên hệ giữa hai loại đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville.Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phươngtrình vi phân phân thứ Các kiến thức được trình bày trong chương này đượcchúng tôi tham khảo trong [1, 13, 15]

1.1 Giải tích phân thứ

1.1.1 Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phânthứ Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệmtích phân lặp thông thường

Định nghĩa 1.1 Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi:

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0 chúng ta quy ước t0Itα := I với I là toán

tử đồng nhất Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với

0 < α < 1 được cho bởi định lí sau:

Định lí 1.1 Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b] Khi đó,tích phân t0Itαx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, t0Itαx cũng là mộthàm khả tích.

Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản

Ví dụ 1.1 (i) Cho x(t) = (t − a)β, ở đây β > −1 và t > a Với bất kì α > 0,chúng ta có:

1.1.2 Đạo hàm phân thứ

Định nghĩa 1.2 Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R.Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R đượccho bởi:

Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function):

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R AC[a, b] là không gian các hàmtuyệt đối liên tục trên [a, b] Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữacác hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:

f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +

Z t a

ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b))

Do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f0(t) = ϕ(t) hầu khắp nơitrên [a, b]

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn[a, b] như sau:

ACn[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b] (D = d

dt)}.

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn[a, b]

Mệnh đề 1.1 Không gian ACn[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng nhưsau:

Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứRiemann–Liouville

Định lí 1.2 Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạo hàmphân thứ RLt0 Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễndưới dạng sau:

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2

Hệ quả 1.1 Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

RL

t 0 Dαtf (t) = 1

Γ(1 − α)[

f (t0)(t − t0)α +

Z t t

f0(s)ds(t − s)α]

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville làmột toán tử tuyến tính.

Mệnh đề 1.2 Cho trước một số thực dương α Khi đó đạo hàm phân thứRiemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là:

RL

t 0 Dαt[λf (t) + µg(t)] = λRLt0 Dαtf (t) + µRLt0 Dαtg(t),trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ ACn[a, b]

là đạo hàm thông thường cấp n

Đối với một hàm vectơ x(t) = (x1(t), x2(t), , xd(t))T đạo hàm phân thứCaputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

C

t 0Dtαx(t) := (Ct0Dtαx1(t),Ct0Dαtx2(t), ,Ct0Dαtxd(t))T.Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm phân thứ Caputocấp α

Định lí 1.3 Cho α ≥ 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b], khi đó đạo hàmphân thứ Caputo Ct0Dαtf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] Hơn nữa, ta có:(i) Nếu α 6∈ N thì Ct 0Dαtx(t) biểu diễn dưới dạng sau:

C

t0Dαtf (t) = 1

Γ(n − α)

Z t t

f(n)(s)ds(t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:

Định lí 1.4 Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b] Khi đó ta có:

C

t 0Dtα(t0Itαf (t)) = f (t)

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịchđảo phải của tích phân phân thứ

Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây:

Định lí 1.5 Cho α > 0, n = [α] + 1 Nếu f (t) ∈ ACn[a, b] thì

1.2 Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương

trình vi phân phân thứ

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) vàluôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình Bây giờ chotrước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn) là không gian các hàm liên tụcnhận giá trị vectơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau:

kxk∞ := max

t∈[0,T ]kx(t)k,trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệmđịa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ

Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo

C

0Dtαx(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1)với điều kiện ban đầu

trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn

là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn.Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ]nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn) thỏa mãn (1.1) và(1.2)

Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của

hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.Mệnh đề 1.4 Xét bài toán (1.1) Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy

ý, một hàm ϕ(., x0) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân:

ϕ(t, x0) = x0+ 1

Γ(α)

Z t 0

(t − s)α−1f (s, ϕ(s, x0)) ds, t ∈ [0, T ] (1.3)

Nhận xét 1.1 [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thờiđiểm hiện tại t > t0 Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết đượcϕ(t, x0) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0, t) (từ hiện tại

tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thờiđiểm trên đoạn [0, t0] (toàn bộ quá khứ) Đây chính là điểm khác biệt cơ bảngiữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.

Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phươngtrình vi phân phân thứ Caputo được đảm bảo bởi các định lí sau:

Định lí 1.7 (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và

min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α}, trong trường hợp còn lại

Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T∗], Rn) là nghiệm của bài toán (1.1)với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2)

Định lí 1.8 (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1),(1.2) Giả sử f : R+× Rn −→ Rn thỏa mãn

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk,

ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý

x0 ∈ Rn, bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞)

Đối với hệ phương trình vi phân phân thứ Riemann-Liouville, ta cũng cócác định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục tương tự như Định lí 1.8 Chitiết có thể xem trong [14]

1.3 Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân

thứ Caputo

Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler

Định nghĩa 1.4 Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi

Nhận xét 1.2 Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có:

+∞

X

k=0

zkk! = e

z

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ

Định nghĩa 1.5 Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi

Trong phần còn lại của mục này, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặcđịnh tham số α này là cấp phân thứ của phương trình Xét hệ phương trình

vi phân phân thứ Caputo tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất

trong đó x(t) ∈ Rn, g(t) ∈ Rn, A ∈ Rn×n là ma trận thực hằng số cho trước

Ta dễ dàng thu được công thức tường minh của nghiệm bài toán (1.4) như sau:

ϕ(t, x0) = Φ0(t)x0+

Z t 0

Φ(t − τ )g(τ ) dτ,trong đó:

+∞

X

k=0

Akt(k+1)α−1Γ([k + 1]α).

Để kết thúc mục này, chúng tôi trình bày kết quả về công thức nghiệm của

hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến thỏa mãn điềukiện Lipschitz toàn cục Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo cónhiễu phi tuyến

trong đó x(t) ∈ Rn, A ∈ Rn×n là một ma trận thực hằng số cho trước, f :

Rn −→ Rn là một hàm liên tục Lipschitz thỏa mãn f (0) = 0

Định lí 1.9 Xét bài toán (1.5) Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz toàn cụctrên Rn với hệ số Lipschitz L và f (0) = 0 Khi đó, với mọi x0 ∈ Rn, bài toángiá trị đầu (1.5) có nghiệm toàn cục duy nhất x(., x0) Hơn nữa, nghiệm nàythỏa mãn công thức biến thiên hằng số:

x(t, x0) = Eα(tαA)x0+

Z t 0

Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ (Caputo hoặcRiemann-Liouville), mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ(1.6) có thể chuyển về gốc tọa độ 0 Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân

bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.6) Đặt y(t) = x(t) − x Khi đó

hệ (1.6) trở thành

Dtαy(t) = Dtα(x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)), (1.7)

trong đó g(t, 0) = 0 vày = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t)

Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệphương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann-Liouville), ta chỉ cầnnghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ (1.7) Không mất tínhtổng quát, ta luôn giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặcRiemann-Liouville) (1.6) có điểm cân bằng là 0

Định nghĩa 1.7 Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặcRiemann-Liouville) (1.6) có một điểm cân bằng x = 0 Khi đó hệ (1.6) đượcgọi là ổn định Mittag–Leffler nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn

Đối với hệ phương trình vi phân thường cũng như hệ phương trình vi phân

có trễ phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hữu hiệu để nghiêncứu tính ổn định Năm 2010, Y Li, Y Q Chen, và I Podlubny [14] đưa raphương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ phươngtrình vi phân phân thứ

Định lí 1.10 [14] Hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương

α1, α2, α3, a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện(i) α1kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2kx(t)kab,

(ii) DαtV (t, x(t)) ≤ −α3kx(t)kab,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏamãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0trong Rn Nếu tất cả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.6)

là ổn định Mittag–Leffler toàn cục

Hàm V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) trong Định lí 1.10 đượcgọi là hàm Lyapunov cho hệ phân thứ (1.6).

1.5 Một bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một bổ đề quan trọng được sử dụng đểchứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn

Bổ đề 1.1 [7] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xácđịnh dương và x : R+ −→ Rn là một hàm vectơ liên tục và có đạo hàm Khi

đó, ta có bất đẳng thức sau đúng

C

0Dαt xT(t)P x(t) ≤ 2xT(t)P C0Dtαx(t), ∀t ≥ 0