Phương pháp giải toánBài toán Trong các tài liệu về lý luận dạy học môn Toán, người tahầu như không định nghĩa khái niệm “ Bài toán” vì vậy cónhiều cách hiểu khác nhau: Bách khoa tri thứ
Trang 1CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄNRÈN LUYỆN
KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Trang 2Khái niệm bài toán Phương pháp giải toán
Bài toán
Trong các tài liệu về lý luận dạy học môn Toán, người tahầu như không định nghĩa khái niệm “ Bài toán” vì vậy cónhiều cách hiểu khác nhau:
Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa [1]: “ Kháiniệm bài toán hiểu là một công việc hoàn thành được nhờnhững phương thức đã biết trong những điều kiện cho trước”
Theo G Polya [2]: “ Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìmkiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mộtmục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”
Do vậy bài toán cùng nghĩa với đề toán, vấn đề, nhiệmvụ
- Phân loại bài toán
Để sử dụng các bài toán một cách thuận tiện và để đạtđược những mục đích nhất định thì các bài toán được phânloại theo nhiều cách khác nhau
Trang 3Theo G.Polya [3] “ Một sự phân loại tốt phải chia bàitoán thành những loại (kiểu, dạng) sao cho mỗi loại bài toánxác định trước một phương pháp giải” Dựa vào mục đích củabài toán, ông chia bài toán thành hai loại: các bài toán về tìmtòi và các bài toán về chứng minh.
Bài toán tìm tòi: gồm các bài toán tính toán, dựng hình,tập hợp điểm, toán giải phương trình hoặc bất phương trình Yêu cầu của các bài toán dạng này thường được thể hiện bằngcác từ: tính, tìm, giải, xác định, dựng
Bài toán chứng minh: yêu cầu của bài toán này thườngthể hiện bằng các cụm từ: chứng minh rằng, chỉ ra, tại sao Phần chính của bài toán bao gồm: cái đã cho (giả thiết) và cáicần chứng minh (kết luận) Để giải được dạng bài toán loạinày cần phải tìm ra được mối liên hệ giữa cái đã cho biết vàcái cần chứng minh
Trong thực tế học sinh thường gặp bài toán mà trong đó
có phần là bài toán tìm tòi, có phần là bài toán chứng minh vàbài toán có nội dung thực tiễn Những bài toán như vậy đượcgọi là bài toán tổng hợp Ngoài ra dựa vào nội dung, bài toán
Trang 4còn được phân chia thành các loại: bài toán số học, bài toánđại số, bài toán hình học.
Với các bài toán hình học có thể phân thành các loại: bàitoán tính toán, bài toán chứng minh, bài toán tìm quỹ tích, bàitoán dựng hình
- Phương pháp giải bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ýchi tiết của G.Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểmnghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu phương pháp chung
để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (hiểu bài toán)
+ Phát biểu đề bài với những dạng thức khác nhau đểhiểu rõ nội dung bài toán
+ Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh
+ Dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ hỗ trợ cho việc diễn
tả đề bài
Bước 2: Tìm cách giải (xây dựng chương trình giải)
Trang 5Người làm toán cần sự tìm tòi, phát hiện cách giải nhờnhững suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, cáiphải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cáiphải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giảivới bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toántổng quát hơn.
Bước 3: Trình bày lời giải (thực hiện chương trình giải)
Khi đã tìm được cách giải cần sắp xếp các việc phảilàm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tựthích hợp và thực hiện các bước đó
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
+Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại từng bước thựchiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kếtquả
+ Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để có cách giảihợp lý nhất
+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả lời giải
+ Nghiên cứu giải bài toán tương tự, mở rộng hay lậtngược vấn đề
Trang 6( [7, tr.415])
Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh có độ dài bằng a, SA =
3a ,
2 mặt phẳng (SAB) và(SAC) cùng vuông góc với mặt đáy (ABC) Tính góc tạo bởigiữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
Hướng dẫn giải
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Yêu cầu học sinh đọc kỹ
nội dung đầu bài, xác định
giả thiết kết luận của bài
toán, yêu cầu học sinh vẽ
hình
Đọc kỹ đầu bài, xácđịnh rõ giả thiết kết luận bàitoán và tiến hành vẽ hình
Bước 2: Tìm cách giải(xây dựng chương trình giải toán)
Cách xác định góc giữa Cách 1: Xác định hai
Trang 7((P),(Q)) = (a,b).
Cách 2:
- Cần xác định giaotuyến d giữa hai mặt phẳng(P) và (Q)
- Trong (P) và (Q) lầnlượt xác định các đườngthẳng a, b vuông góc với d
- ((P),(Q)) = (a,b)
Ta sử dụng cách 2 đểtính góc ((SBC),(ABC))
- Giao tuyến giữa haimặt phẳng (SBC) và (ABC)
là BC
- Gọi M là trung điểm
BC ta chứng minh được SM
Trang 8và AM cùng vuông góc vớiBC.
- Góc ((SBC),(ABC)) =(SM,AM)
Bước 3: Thực hiện chương trình giải toán
Tóm tắt lời giải
Chứng minh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC)
Chứng minh SB = SC từ đó suy ra tam giác SBC cân tạiC
Trang 9Gọi M là trung điểm BC suy ra được MS và MA vuông
góc với BC Từ đó suy ra ((SBC),(ABC)) = (SM,AM) = SMA�
Trong tam giác SMA vuông tại A có AM =
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra lại toàn bộ lời giải
và từ bài tập này rút ra các bước tính góc giữa hai mặt phẳngtheo cách 2
Giáo viên yêu cầu học sinh tìm tòi lời giải theo cách 1
Với cách 1 học sinh có thể trình bày lời giải bài này nhưsau:
Từ A hạ AF vuông góc với SM tại F Ta chứng minhđược AF vuông góc với (SBC) Mà SA vuông góc với (ABC)
Vậy ((SBC),(ABC)) = (SA,AF) =SAF�
Trang 10Qua hai cách giải, học sinh nắm được các bước xác định
và tính góc tạo bởi hai mặt phẳng và với bài toán này cách 2
sẽ ngắn gọn và hay hơn cách 1
- Chức năng của bài tập toán
Ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học, mỗi bàitập toán đều có thể có những chức năng sau: chức năng dạyhọc, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năngkiểm tra Trong đó:
- Chức năng dạy học: qua giải bài tập toán nhằm hìnhthành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo
ở giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học
- Chức năng giáo dục: giải bài tập toán nhằm hình thànhcho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú họctập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người laođộng mới
- Chức năng phát triển: bài toán nhằm phát triển nănglực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao táctrí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học
Trang 11- Chức năng kiểm tra: bài tập toán nhằm đánh giá mức
độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khảnăng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển củahọc sinh
Các chức năng nói trên đều hướng tới việc thực hiệnmục đích dạy học Việc dạy toán ở trường phổ thông có hiệuquả hay không phụ thuộc vào sự khai thác và thực hiện đầy đủcác chức năng có thể có của bài tập bằng năng lực sư phạmcủa giáo viên
- Kỹ năng giải toán
- Kỹ năng
Trong thực tiễn cuộc sống để giải quyết được công việccon người cần vận dụng vốn hiểu biết và kinh nghiệm xử lýcác vấn đề gặp phải Trong quá trình đó, con người dần hìnhthành cho bản thân những kỹ năng giải quyết vấn đề đặt ra
Có nhiều khái niệm về kỹ năng
Theo [11]“ kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, cáctri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
Trang 12hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyếtthành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”.
Theo [12] “ kỹ năng là khả năng thực hiện hành độngmột cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo, phù hợp với mụctiêu trong các điều kiện khác nhau”
Theo G.Polya [2, tr.386] “kỹ năng là một nghệ thuật làkhả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt đượcmục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộcác thói quen nhất định; kỹ năng là khả năng làm việc cóphương pháp” G Polya còn khẳng định rằng [3] “ trong toánhọc, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện cácchứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải vàchứng minh nhận được”
Từ những quan điểm trên ta có thể hiểu: kỹ năng là sựthực hiện thành thạo và có kết quả một hành động nào đóbằng cách vận dụng tri thức, những kinh nghiệm đã có đểhành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụ thể
-Đặc điểm của kỹ năng
Đặc điểm của kỹ năng:
Trang 13- Kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó làkiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích
- biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiện để triểnkhai các cách thức đó
- Cơ sở của kỹ năng là kiến thức, khi kiến thức đó phảnánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thửnghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách củahành động
- Muốn có kỹ năng về hành động nào đó thì cần phải:
+ Có kiến thức để hiểu biết được mục đích của hànhđộng, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, đểthực hiện hành động
+ Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra
+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiệnkhác nhau
+ Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năngnhưng phải trải qua thời gian đủ dài
Trang 14Tuy nhiên trong thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinhgặp phải rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng những kháiniệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyếtnhững nhiệm vụ cụ thể Cái khó nằm ở chỗ, học sinh khôngbiết phát hiện những dấu hiệu bản chất của đối tượng, từ đóphát hiện những mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã có vớiđối tượng đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thànhcông cụ của hoạt động nhận thức Như vậy khối kiến thức mà
họ có được là khối kiến thức khô cứng không gắn với thựctiễn và không biến thành cơ sở của các kỹ năng
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nóphản ánh những thuộc tính khác nhau và thuộc tính bản chấtcủa các sự vật Như vậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọnđúng đắn cho các hành động thì cần biết lựa chọn tri thức mộtcách đúng đắn và hợp lý, nói cách khác, cần lựa chọn tri thứcphản ánh thuộc tính bản chất, phù hợp với mục tiêu của hànhđộng
Trang 15- Kỹ năng giải toán
Trong Toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán,thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê pháncác lời giải và chứng minh nhận được
Để thực hiện nhiệm vụ của môn Toán trong trường trunghọc phổ thông, một trong những yêu cầu đặc biệt về tri thức
và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp, đặc biệt
là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹnăng tương ứng Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà cónhững yêu cầu về rèn luyện kỹ năng khác nhau
- Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Truyền thụ tri thức và rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụquan trọng của môn toán Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹnăng vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước hết là kỹ nănggiải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:
- Giúp cho học sinh hình thành và nắm vững mạch kiếnthức cơ bản xuyên suốt chương trình
- Giúp cho học sinh phát triển năng lực trí tuệ Cụ thể làrèn luyện và phát triển:
Trang 16+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tưduy thuật toán.
+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởngtượng trong không gian
+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, kháiquát
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duylinh hoạt và sáng tạo
- Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong cácgiờ học
- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩmmỹ; tính kiên trì cẩn thận, chính xác, thói quen tự kiểm tra, đánhgiá để tránh mắc những sai lầm
- Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán hình học không gian lớp 11
- Nhóm kĩ năng chung khi giải bài tập toán
Khi giải một bài toán ta cần có các kỹ năng cơ bản sau:
Trang 17Kỹ năng1 Kỹ năng tìm hiểu và phân tích đề bài
Khi giải một bài toán điều trước tiên cần làm đó là phântích bài toán, làm rõ giả thiết và kết luận bài toán, nếu bài toán
có tính chất là một vấn đề thì cần tìm một khâu nào còn chưabiết, một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tốthuật giải để giải bài toán Từ đó lắp ghép các kiến thức cóliên quan để tiến hành khai thác đưa ra lời giải Đây là kỹnăng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong những kỹnăng quan trọng nhất khi giải bài tập toán Cần làm rõ cácthành phần mối liên hệ qua các yếu tố trong bài toán
Kỹ năng 2 Kỹ năng xây dựng chương trình giải bài toán
Vấn đề khó khăn nhất của học sinh khi đứng trước mộtbài toán, đặc biệt là bài toán hình học đó là đường lối giải.Học sinh không biết bắt đầu từ đâu để đi đến kết quả bài toán
Xét về mặt nhận thức thì việc giải một bài toán là dựavào sự phân tích đầu bài, học sinh huy động các kiến thức,kinh nghiệm của bản thân có liên quan đến bài toán để xâydựng chương trình giải bài toán Có thể là học sinh tự nghĩ, tưduy tích cực để tìm ra lời giải, cũng có thể là “quy lạ về quen”thông qua các dạng toán đã biết
Trang 18Kỹ năng 3 Kỹ năng trình bày lời giải
Khi học sinh đã tìm ra được lời giải, giáo viên hướngdẫn học sinh trình bày lời giải theo ý hiểu của mình, giúp họcsinh học được cách suy luận, học được cách trình bày vàluyện tập được cách diễn đạt Từ đó, học sinh sẽ biết cáchtrình bày lời giải của một bài toán Trong quá trình trình bàylời giải mà học sinh bị vướng mắc ở một bước nào đó thì giáoviên lại tiếp tục gợi ý để học sinh có thể vượt qua được khókhăn đang mắc phải, khi đó học sinh sẽ hiểu sâu và nhớ lâuhơn tri thức và phương pháp mà giáo viên đã ngầm cung cấpthông qua quá trình giúp người học thực hiện chương trìnhgiải Kỹ năng này rèn luyện cho học sinh thao tác tư duy vàphương pháp suy luận logic để thực hiện chương trình giải.Chương trình giải có thể có một hoặc nhiều cách giải khácnhau Khi được rèn luyện, học sinh có thể lựa chọn phươngpháp thích hợp cho từng loại bài toán hoặc biết điều chỉnhhướng giải khi không phù hợp
Kỹ năng 4 Kỹ năng nghiên cứu, kiểm tra kết quả bài
Xem lại lời giải của bài toán giúp học sinh hiểu lại mộtlần nữa bài toán đòi hỏi gì, để giải bài toán đó học sinh đã sử
Trang 19dụng những kiến thức nào, liên hệ giữa các kiến thức ra sao
để tìm ra lời giải… Qua đó giáo viên giúp học sinh hình dunglại cách suy nghĩ trước một bài toán, giúp học sinh cách làmcác bài toán tuơng tự Nếu có thể, giáo viên nêu những bàitoán nâng cao để học sinh tiếp tục suy nghĩ hoặc yêu cầu họcsinh tìm cách giải khác nếu có để giúp họ học tập theo huớngphát triển Học sinh cần đuợc rèn luyện thói quen xem lại lờigiải của bài toán với mục đích:
- Kiểm tra các bước giải toán Việc kiểm tra các bướcgiải toán không chỉ nhằm phát hiện ra những sai lầm trong bàitoán đã giải mà quan trọng hơn là rút ra kết luận khái quát vềhướng giải một loại bài tập cùng với tri thức thu nhận được.Việc kiểm tra thực hiện một nhiệm vụ kép:
+ Thứ nhất là kiểm tra các bước trong tiến trình giảitoán
+ Thứ hai là kiểm tra kết quả của bài toán Kiểm tra kếtquả bằng các cách định tính và định lượng; kiểm tra giá trịchân lý của lời giải; kiểm tra cách suy luận và kỹ thuật tínhtoán Phát hiện và xử lý các sai lầm về chiến lược, chiến thuật
Trang 20giải toán, về hình thức, về logic hay khái niệm… để tiến trìnhgiải toán mang tính tối ưu.
Học sinh có thể khái quát hóa, tương tự hóa… biến bàitoán thành tri thức và kinh nghiệm của bản thân
Trang 21thức về hình học không gian lớp 11 ngoài nhóm gồm 4 kỹnăng cơ bản nói trên, có thể nêu một số nhóm kỹ năng cơ bảncần rèn luyện khi giải toán gồm:
Nhóm kỹ năng 1 Biểu diễn hình, xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện
Kỹ năng 1.1 Kỹ năng vẽ hình biểu diễn của một hình không gian
Một trong các yếu tố cần thiết để học tốt hình học nóichung và hình học không gian nói riêng là vẽ hình Hình vẽchính xác, trực quan là một trong những yếu tố quyết địnhgiúp học sinh tìm ra hướng chứng minh, hướng giải bài toán
Để vẽ được hình cho một bài tập hình học không gian thìtrước hết học sinh cần vẽ được hình biểu diễn của một hìnhkhông gian Ngay từ những giờ học đầu tiên, giáo viên cầnrèn luyện cho học sinh biết cách biểu diễn đường thẳng, mặtphẳng và vị trí tương đối của chúng trong không gian sau khigiới thiệu hình ảnh của chúng trong thực tế, sau đó là các hìnhlập phương, hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác Chẳnghạn, giáo viên có thể cho các em học sinh quan sát một môhình hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác theo các góc nhìn
Trang 22khác nhau và gọi học sinh lên bảng vẽ hình biểu diễn theo gócnhìn đó Để làm tốt nhiệm vụ này các học sinh cần nắm đượcnhững quy tắc sau:
Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, củađoạn thẳng là đoạn thẳng
Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là haiđường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là haiđường thẳng cắt nhau
Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ liên thuộcgiữa điểm và đường thẳng
Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy vànét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất
Hình biểu diễn của tam giác thường, tam giác vuông,tam giác cân, tam giác đều là tam giác thường
Hình biểu diễn của hình bình hành, hình chữ nhật, hìnhthoi, hình vuông là hình bình hành
Kỹ năng 1.2 Kỹ năng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng