Sử dụng phép suy luận suy diễn để chứng minh hình học

TRƯỜNG THCS CỒN THOITỔ TỰ NHIÊN ================= BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÂN TÍCH ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC TRƯỜNG THCS Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải - Giáo vi

TRƯỜNG THCS CỒN THOI

TỔ TỰ NHIÊN

=================

BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN PHÂN TÍCH

ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC

TRƯỜNG THCS

Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải

- Giáo viên trường THCS Cồn Thoi Giáo viên hướng dẫn: Thạc sỹ NGUYỄN VĂN HÀ

- Giảng viên trường ĐHSP Hà Nội II

P h ơ n g p h á p s u y l u ậ n p h â n t í c h

Lời cảm ơn

Để hoàn thành đề tài này, chúng tôi đã nhận đợc

sự hớng dẫn, giúp đỡ rất nhiều của các thày cô giáo trong khoa Toán trờng ĐHSP Hà Nội 2, trờng Đại học Hoa L, trờng THCS Cồn Thoi - Kim Sơn – Ninh Bình cùng bạn bè đồng nghiệp Đặc biệt là Ths Nguyễn Văn Hà - Ngời đã hớng dẫn chúng tôi thực hiện đề tài này.

Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong đợc sự

đóng góp ý kiến của các thày cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để đề tài này đợc hoàn thiện hơn.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.

Ninh Bình, tháng 4 năm 2009

Ngời thực hiện

Nguyễn Đức Hải

Trờng THCS Cồn Thoi 2 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải

Môc lôc

1 PhÇn më ®Çu

2 PhÇn néi dung

Ch¬ng I C¬ së lÝ luËn

Ch¬ng II. Chøng minh iifnh häc

Ch¬ng III Bµi tËp

3 PhÇn kÕt luËn

Phần mở đầu

1) Lí do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy các môn nói chung và môn hình học nói riêng thì việc tìm ra lời giải một bài toán đối với học sinh là tơng đối khó khăn và thờng là không có hệ thống và phơng pháp cụ thể, nhất là những bài toán chứng minh hình học Học sinh đọc sách giáo khoa và sách bài tập thì dễ hiểu nhng để làm đợc bài thì lại gặp khó khăn

Bởi vì những chứng minh đó đợc lập luận chặt chẽ hợp lôgic nhẹ nhàng dẫn đến một hệ quả tất yếu Nhng làm sao biết đợc cái trật tự lôgic

đó? Làm sao biết đợc phải bắt đầu từ chỗ nào? Phải làm gì trớc, làm gì sau?

Một trong những phơng pháp để tìm đợc lời giải là phơng pháp suy luận phân tích, là phơng pháp đơn giản, dễ thực hiện và liên kết đợc điều phải chứng minh với những giả thiết và những điều đã biết

2) Đối tợng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tợng nghiên cứu: phơng pháp suy luận phân tích

- Phạm vi nghiên cứu: Dùng phơng pháp suy luận phân tích để tìm và giải bài toán chứng minh nói chung và bài tập hình học trong chơng trình THCS

3) ý nghĩa

- Về mặt lí luận, đề tài này sẽ góp phần minh hoạ cho phơng pháp suy luận phân tích để làm rõ mối liên hệ lôgic giữa điều cần chứng minh với

điều cần có để chứng minh

- Về mặt ý nghĩa thực tiễn, kết quả nghiên cứu của đề tài này có thể

đ-ợc sử dụng để tổ chức dạy chuyên đề về phơng pháp chứng minh hình học chơng trình lớp 8

PhÇn néi dung

Ch¬ng I C¬ së lÝ luËn

I) SUY LUẬN TOÁN HỌC

1) Suy luận là gì?

Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra mệnh đề mới Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của suy luận Mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả

Ký hiệu: X1, X2, , Xn ⇒Y

Nếu X1, X2, , Xn ⇒ Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận

logic hay hệ quả logic

Ký hiệu suy luận logic:

Y

2) Suy diễn

Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các qui tắc logic

- Quy tắc kết luận: X Y,X

Y

⇒

X

⇒

X Z

⇒

P h ¬ n g p h ¸ p s u y l u Ë n p h © n t Ý c h

- Quy tắc đảo đề: X Y

Y X

⇒

⇒

( )

X Y Z

Y X Z

⇒ ⇒

⇒ ⇒

X Y Z

⇒ ⇒

∧ ⇒

3) Suy luận quy nạp:

Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn Đặc trưng của suy luận quy nạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên

cơ sở nhận xét kiểm tra để rút ra kết luận Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng có thể sai, có tính ước đoán

Vd: 4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

10 = 7 + 3

Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số nguyên tố

a) Quy nạp không hoàn toàn :

Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số trường hợp cụ thể đã được xet đến Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và

nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

Sơ đồ:

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An là B

Trêng THCS Cån Thoi 6 Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn §øc H¶i

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An là 1 số phần tử của A

b) Phép tương tự:

Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tương đó Kết luận của phép tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d

B có thuộc tính a, b, c

Kết luận : B có thuộc tính d

c) Phép khái quát hóa:

Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào

đó có chứa đối tượng này Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

d) Phép đặc biệt hóa:

Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ giác khi một cạnh có độ dài bằng 0;Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của đường cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đền nó

P h ¬ n g p h ¸ p s u y l u Ë n p h © n t Ý c h

II) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TOÁN HỌC

1) Phương pháp chứng minh tổng hợp:

Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng

minh đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh

Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận

Sơ đồ: A ⇒ B ⇒ C ⇒ ⇒ Y ⇒ X

Trong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệ quả lôgíc của A; C là hệ quả lôgíc của B; ; X là hệ quả lôgíc của Y

Vai trò và ý nghĩa:

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn là đột ngột, không tự nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng nào đó thì nó phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó

+ Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông

2) Phương pháp chứng minh phân tích đi lên:

Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp

chứng minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho trước hoặc đã biết nào đó

Trêng THCS Cån Thoi 8 Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn §øc H¶i

Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận.

Sơ đồ: X ⇐Y ⇐ ⇐ B ⇐ A

Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lôgíc của

X ; ; A là tiền đề lôgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước;

Vai trò và ý nghĩa:

+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện

vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận

+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rát dài dòng

vì thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác nhau làm tiền đề logic của nó

+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy

và học toán ở trường phổ thông

Ví dụ: Bài toán

“ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước sau 12 giờ thì đầy bể Biết rằng lượng nước mỗi giờ chảy vào bể của vòi 1 gấp 1, 5 lần lượng nước của vòi 2 chảy vào bể Hỏi sau mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?”

3) Phương pháp chứng minh phân tích đi xuống :

Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi xuống là phương

pháp chứng minh suy diễn đi từ điều cần tìm đến điều đã biết nào đó

Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận.

Sơ đồ: X ⇒ Y ⇒ B ⇒ A

P h ¬ n g p h ¸ p s u y l u Ë n p h © n t Ý c h

Trong đó: X là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh;

Y là hệ quả lôgíc của X ; ; A là hệ quả lôgíc của B và

A là mệnh đề đã biết nào đó Nếu A sai thì X sai Nếu A đúng thì X có thể đúng có thể sai Lúc này chúng ta phải dùng phương pháp tổng hợp đi từ A tới X

Nguyễn Đức Hải

Trêng THCS Cån Thoi 10 Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn §øc H¶i

Ch¬ng II Chøng minh h×nh häc

1) VÝ dô më ®Çu

Cho tam gi¸c ABC (ac<ab) Trªn tia AC lÊy ®iÓm E sao cho AE =

AB Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC t¹i D, c¾t BE t¹i H Chøng minh:

a) BD = DE

b) BE ⊥ AD

GT

AC < AB

AE = AB

µ1 µ 2

A A=

KL BD = BEBE ⊥ AD

Gi¶i:

Ph©n tÝch Chøng minh

a) cm BD = DE

↑

↑

AB AE (gt)

A A (gt)

AD chung

=





=







§ñ ®iÒu kiÖn (c.g.c)

a) ∆BDA vµ ∆EDA cã:

µ1 µ 2

AB AE (gt)

A A (gt)

AD chung

=





=







↑

cm µH1 = µH2

↑

↑

b) ∆ABH vµ ∆AEH cã:

µ1 µ 2

AB AE (gt)

A A (gt)

AH chung

=





=







→ µH1 = µH2

1 2

2 1

D

H

E

A

P h ơ n g p h á p s u y l u ậ n p h â n t í c h

Có: à1 à 2

AB AE (gt)

A A (gt)

AH chung

=





=







Đủ điều kiện (c.g.c)

nên àH1 = àH2 = 1800: 2 = 900

trực của BE

2) Bài tập 1

Cho tam giác ABC và trung tuyến BD Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của BD thì AN cắt BC tại điểm N và CN = 2BN

BM = DM

Giải:

Phân tích Chứng minh

Cách 1

Nếu lấy P là trung điểm của CN thì

↑

↑

Đúng vì DP là đờng trung bình của tam giác

ACN

Cách 1

Gọi P là trung điểm của CN

tam giác ACN

Tam giác BDP có MN đi qua trung điểm cạnh BD và song song với cạnh DP nên đi qua trung điểm của BP

Trờng THCS Cồn Thoi 12 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải

P

N M

D

C

→ BN = PN = CP Vậy CN = 2BN

Cách 2

P

E

N M D

C

Hớng dẫn:

- Vẽ BE = AB

- Chứng minh N là trọng tâm của tam giác ACE

3) Bài tập 2

Cho tam giác ABC Trên đờng phân giác AD của góc A, lấy một điểm

D bất kì BD cắt AC tại M, CD cắt AB tại N Chứng minh rằng nếu BM =

CN thì tam giác ABC cân

GT

à1 à 2

A A=

D ∈ phân giác của àA

BM = CN

Giải: Đây là một bài tơng đối khó.

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng: Giả sử ∆ABC không cân (cụ thể

là AB < AC) Ta sẽ chứng minh BM ≠ CN.

1 2

2 1

2

2 1

K

E

N

A

D

M

P h ¬ n g p h ¸ p s u y l u Ë n p h © n t Ý c h

NE // BM BN ME

ME // AB NE BM

=

Ta sÏ chøng minh CN > NE

tøc lµ CN > BM

↑

CEN· (=Eµ1+Eµ2) >ECN· (=Cµ 2 +Cµ3)

CM Eµ1 >Cµ 2 vµ Eµ 2 >Cµ 3

LÊy ®iÓm K trªn AB sao cho AK=AB

→ K n»m gi÷a A vµ C vµ ·AKD> Cµ 2

a) cm Eµ1 >Cµ 2

mµ Eµ1=Bµ 2 (cïng bï víi ·BNE)

↑

cm Bµ 2 >Cµ 2

LÊy ®iÓm K trªn AB sao cho

AK=AB

→∆ABD = ∆AKD (c.g.c) (1)

→ Bµ 2 =AKD·

→ cm AKD C· > µ 2

§óng v× ·AKD lµ gãc ngoµi cña

∆CKD

b) Chøng minh Eµ2 >Cµ 3

↑

∆BCM vµ ∆CBN cã BC chung,

BM=CN (gt)

↑

cm Bµ1 >Cµ1 ↔ CD > BD

mµ BD = KD (tõ (1))

↑

cm CD > KD

XÐt ∆ABD vµ ∆AKD cã

µ1 µ 2

AD chung

A A

AK AB





=



 =



→ ∆ABD = ∆AKD (c.g.c)

→ Bµ 2 =AKD C· > µ 2 (1)

gãc nhän AKD nªn nã lµ gãc tï:

· µ 2 CKD C> → KD < CD (3)

Tõ (2) vµ (3) suy ra:

BD < CD → Bµ1>Cµ1

Hai tam gi¸c BCM vµ CBN cã

µ1 µ1

BC chung

AK AB

B C



 =



 >



nªn CM > BN (4)

KÎ NE//BM vµ ME//AB c¾t nhau t¹i

E th× ta cã: BN = ME (5)

BM = NE (6) vµ Eµ1 =Bµ 2(7)

Tõ (4) vµ (5) suy ra CM > ME vËy trong ∆CME cã Eµ2 >Cµ 3

Tõ (1) vµ (7) suy ra Eµ1 >Cµ 2

→

Trêng THCS Cån Thoi 14 Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn §øc H¶i

·AKD nªn lµ gãc tï:

·CKD > Cµ 2

· ( µ1 µ 2) · ( µ2 µ3)

CEN =E +E >ECN =C +C

→ CN > EN (8)

Tõ (6) vµ (8) suy ra CN > BM (tr¸i gi¶ thiÕt)

§iÒu nµy chøng tá ®iÒu gi¶ sö lµ sai VËy AB = AC tøc lµ tam gi¸c ABC c©n t¹i A

P h ơ n g p h á p s u y l u ậ n p h â n t í c h

Chơng III Bài tập

Bài 1 (Lớp 7)

Một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song m và n lần lợt tại A và

B Chứng minh rằng hai tia phân giác của cặp góc so le trong tơng ứng song song với nhau

Bài 2 (Lớp 7)

Cho tam giác ABC với các trung điểm M và N của AB và AC Kéo dài

N và CM những đoạn NB’ = BN và MC’ = CM Chứng minh A là trung

điểm của B’C’

Bài 3 (Lớp 7)

Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi

đoạn Chứng minh rằng:

a) AB = CD, AD = BC

b) AB // CD, AD // BC

Bài 4

Cho tam giác ABC rtong đó B Cà −à = 900 Kẻ tia phân giác AD của góc A

D ∈ BC) Chứng minh ãADB = 450

Bài 5

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có hai đờng phân giác BM và CN bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân

Trờng THCS Cồn Thoi 16 Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải

Phần kết luận

dẫn đến nhiều cách giải khác nhau Vì vậy, khi đã phân tích và tìm ra lời giải rồi, chúng ta cần xem xét lại xem có phân tích theo cách khác đợc không, từ đó sẽ có lời giải mới mà có khi chúng ta lại phát hiện ra cái mới

nghiệm và hình thành cái quan trọng nhất là trực giác mà trong đó, sự suy luận phân tích chỉ diễn ra rất nhanh, rất gọn trong não Đó là phản xạ tự nhiên, sự nhạy bén trong phân tích mà ngời học toán cần phải đạt

đợc

cần trong thực tiễn chứ không chỉ riêng trong học toán Trong thực tế, khi gặp một vấn đề phức tạp khó giải quyết, phải làm rất nhiều công việc khác để giải quyết vấn đề đó thì chúng ta cần phải ngẫm nghĩ xem cần làm cái gì trớc, cái gì sau, sử dụng những cái đã có nh thế nào, những cái còn thiếu thì giải quyết nh thế nào và khi đó thì phép suy luận phân tích đi lên là một cách tối u

tích đi lên Chúng ta có thể sử dụng kết hợp cả phơng pháp phân tích đi xuống và sau đó, ta có thể sử dụng phơng pháp chứng minh tổng hợp để

hệ thống t duy đợc phát triển đầy đủ Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến, nhận xét của các thày cô, bạn bè đồng nghiệp để tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, cụ thể hơn và có dịp đợc trình bày đầy đủ hơn, góp phần nâng cao khả năng học hình học của học sinh

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Ninh Bình, tháng 04 năm 2009

ngời thực hiện đề tài