Tổng hợp Đề và đáp án Giải Tích Kinh tế quốc dân Ôn đâu trúng đó

Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó trên 2 thị trường khác nhau được phân biệt giá.. Xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu đượ

Đề 57-1 Câu 1 Tìm khoảng tăng giảm và cực trị của hàm số 2

7 2

 

y

x w





 



Câu 3 Cho hàm ẩn y y  x xác định từ phương trình y22 lnyx4 Chứng tỏ rằng hàm số

 

yy x này là nghiệm của phương trình vi phân:  2 2 3 2  2  2 

Câu 4 Tính các tích phân: a)

2 8

dx

 b)  

2 1

ln 5x 2

dx x

Câu 5 Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó trên 2 thị trường khác

nhau (được phân biệt giá) Cho biết hàm chi phí cận biên: MC3, 5 0,05 ; Q QQ1Q2

Với cầu của thị trường đối với sản phẩm của công ty là: TH1:P1 24 0,15 ; Q1 TH2 :P2 18 0,075 Q2

Xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa

Câu 6 Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số: wx y0,5 0,3 với 5x2y656

Câu 7 Giải phương trình vi phân:

2 8

xy y

y

Đề số 57-2

y f x  xe x  Khai triển Taylor hàm số y f x  tại x0 đến lũy thừa

bậc 3 của x, với phần dư dạng Peano

Câu 2 Cho hàm số    2 2

2 2

2 2

;



Tính f yx 0;0

U  x y z xyx  y  z

Câu 4 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất là   0,3 0,5

;

Q f K L K L Tìm mức sử dụng K và L thích hợp để doanh nghiệp đạt sản lượng tối đa Biết rằng giá thuê 1 đơn vị K và L lần lượt là $3 và $5 và chi phí sản xuất là $800

Câu 5 Tính tích phân sau:

6

57





Câu 6 Giải phương trình vi phân:   2 2 

0

wF x y   y x x y

a) Tìm vi phân toàn phần cấp 2 của w

b) Gọi yy x  là hàm số xác định bởi phương trình F x y ; 0 Tính giới hạn  

57 114 1

lim

1

x

y x L

x





Đề 57-3 Câu 1 Tính giới hạn  4

lim 3x x

Câu 2 Xác định khoảng tăng giảm và cực trị hàm số

8 2

3 2 0

x t



Câu 3 Viết biểu thức vi phân toàn phần của hàm số

cos

3 2 4

3

y

u

x

Câu 4 Tính tích phân

2

2

xdx

Câu 5 Tìm cực trị hàm số u 4x23y22z26xy6y12z5

Câu 6 Cho hàm lợi ích của người tiêu dùng khi mua 2 loại hàng hóa ux y 4, trong đó x, y lần

lượt là số lượng hàng hóa thứ 1 và hàng hóa thứ 2 Hãy xác định túi hàng cho chi phí tối thiểu đảm bảo mức lợi ích u0 288 trong điều kiện giá 1 đơn vị hàng hóa thứ 1, thứ 2 lần lượt là $8, $9

Câu 7 Giải phương trình vi phân: 22 6 2 7

6 13

x



Câu 8 Cho hàm số f x y ; xác định và có các đạo hàm riêng theo các biến trên 2 và

 ; 0; 0  ; 1 ,

f x y   f x y  x y Đặt    7 

;cos

g x  x f x x Chứng minh rằng g2016 g 2015

Đề 57-4 Câu 1 Tính giới hạn

tan 2 4

4

x

x

 



Câu 2 Khai triển Maclaurin đến x với phần dư Peano của hàm số: 3 3

x

Câu 3 Xác định khoảng tăng giảm và cực trị hàm số

1

2

0

x



Câu 4 Xét tính hội tụ, phân kì của tích phân 2

dx



Câu 5 Cho f u v ; là hàm xác định, có các đạo hàm riêng theo các biến,f 1;0  f u 1;0 2,

 1;0 1

v

2



  Tính w x 2;2

Câu 6 Tìm cực trị hàm số w 3x22y24z2xy yz 4x  y 3z 2

Câu 7 Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuấtQ50K0,7L0,8 Biết giá thuê 1 đơn vị vốn và giá thuê

1 đơn vị lao động lần lượt là $10 và $20 Tìm số lượng vốn và lao động doanh nghiệp cần sử dụng để đạt lợi nhuận tối đa khi sản lượng không đổi và bằng 4000 đơn vị sản phẩm

Câu 8 Giải phương trình  2 2  

3y x dx y6xy dy0

Đề 57-5 Câu 1 Tính giới hạn:   2

1

0

Câu 2 Khai triển Maclaurin đến lũy thừa bậc 4 của x, với phần dư dạng Peano:  

1 3 1 ln

3

x



Câu 3 Một nhà độc quyền bán sản phẩm trên thị trường với hàm cầu ngượcp3020 21,5 Q

a) Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p215 và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được

b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa biết hàm chi phí cận biên MC5Q22Q120 và chi phí cố định là 60

Câu 4 Cho hàm ẩn z x y ; xác định bởi phương trình: 2 2 2 9

2

hàm riêng cấp 1, cấp 2 và viết biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số z x y ;

Câu 5 Giả sử hàm lợi ích khi mua sắm hàng hóa của người tiêu dùng là 0,3 0,8

5

U x y Trong đó x x1, 2 lần lượt là lượng hàng hóa thứ 1 và thứ 2 Xác định cơ cấu mua sắm tối đa hóa lợi ích, biết rằng giá mỗi đơn vị hàng hóa thứ 1 và 2 tương ứng là p1 9;p2 24 và ngân sách dành cho mua sắm cố định

là m = 330

Câu 6 Tính tích phân

 3

2 2 0

arctan 3 9

x

x







Câu 7 Giải phương trình vi phân: 2x e xy 2 x e xy y 0

      

Đề k57-6

Câu 1 Tính giới hạn  5

0

lim cot x

Câu 2 Biết hàm cầu đối với sản phẩm của một doanh nghiệp độc quyền là p650 5 Q và hàm chi

phí tại mỗi mức sản lượng Q là: 1 3 2

3

TC Q  Q  Q Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận và nếu ý nghĩa của hệ số đó

Câu 3 Chứng minh hàm số sau có hàm ngược:   3 2

y f x  x  x  x Tính  1  

6

f 

Câu 4 Tính tích phân suy rộng  2  102

0

5

x

Câu 5 Cho hàm số yy x  dưới dạng hàm ẩn: 2 2 5arctan

y x

x y e Tính y x

Câu 6 Tìm cực trị của hàm số w 3x2 y214z2 12xz18z2y1

Câu 7 Cho hàm lợi ích tiêu dùng có dạng

7 9

10 10 4

U x y Giá một đơn vị hàng hóa x là 2usd, giá một đơn vị hàng hóa y là 3usd, ngân sách dành cho tiêu dùng là 960usd Xác định cơ cấu mua sắm để người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích

Câu 8 Giải phương trình vi phân:

2 2 2

2 arccosx x dx 3y x dy 0

Đề k57-7 Câu 1 Tính đạo hàm y f x   x 1 2 x2

Câu 2 Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị hàm số:  

14

3 7

8 2 1

x



Câu 3 Tính tích phân   2

0





Câu 4 Khai triển Maclaurin đến lũy thừa bậc 4 với phần dư peano:    2 

Câu 5 Cho hàm w f x y ; khả vi, cmr hàm số

2 2

5x ;cosy

u f

Câu 6 Tìm cực trị hàm số w  x2 2y2 z2 2xy4x2z5

Câu 7 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất

2 1

3 2 90

Q K L Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là $12, 1 đơn vị lao động là $10, ngân sách sản xuất cố định 1680$ Xác định K, L để doanh nghiệp thu được sản lượng tối đa Nếu ngân sách sản suất tăng thêm 1% thì sản lượng tối đa thay đổi như thế nào? Tại sao?

Câu 8 Giải phương trình vi phân:  2 3 2   3 

3x y3x 2y 1 dx x 4xy3y dy0

CHÚ Ý:

 ĐÂY CHỈ LÀ GỢI Ý CHI TIẾT CÁC BƯỚC GIẢI, KHÔNG PHẢI LỜI GIẢI!

 CHÚNG TA NÊN TRÌNH BÀY THEO CÁCH THẦY CÔ TRÊN LỚP ĐÃ HƯỚNG DẪN

ĐỀ 1

1

2 2

  ;

2 2

7 4

7 2

x y

x



 

  Các điểm tới hạn:

Cực đại C§  7

2

x ; cực tiểu CT 7

2

x   ; khoảng tăng 7; 7



;

;

2









3

0;3 lim

3

0 0 lim lim 0 0

3

f

y y

0

f





Xét giới hạn 2 phía để chỉ ra giới hạn này không tồn tại!

 không tồn tại f  x 0;3

3

  2 4

F x y y  yx

2

2 1 2

x

y

y

y y

3

2

2

x y y

   



Chỉ cần thay trực tiếp y vào vế trái là được, y trong đó sẽ

tự triệt tiêu hết và còn lại vế phải

4

a) Đặt 2

8

2 2

1 arctan 1

t



t

I t



  5 3 ln 5 2 5 2

t

I t



  5 3

t I t

   (Tách thành 2 giới hạn + Lopitan)

5

2

0

Q

1 1 2 2 24 0,15 1 1 18 0,075 2 2 24 1 18 2 0,15 1 0,075 2

Q Q1; 2 TR TC

   =>giải theo cực trị tự do: Q Q1; 2  50;60

6 Cực đại: M82;123

7

8

ptdc y y x y

x





   , giải theo phương trình Bernoulli TPTQ: 2 2 4

8

y   x Cx

Hướng 2:ptdc x dy 2y 8x2 dy 2y2 8x2



2 8

y

Cx

x  

Đề 2

f x   x x  x o x : Biểu thức đơn giản => đạo hàm từng bước rồi thay vào!

2

      

0

y

f



        2 2 3

0

y







0

f



3 Cực tiểu: M3;2; 3 , giá trị cực tiểu U CT U3;2 3   8

4

Sửa đề: hàm sản xuất QK L0,3 0,5

Cần tìm K L;  để doanh nghiệp tối đa Q trong điều kiện 3K5L800

; 100;100 ; 0,3.100

0

57

t

dx

6

I t

ln 2 ln 4 ln 2 ln 2

t



6

Sửa đề bài (theo đúng đề gốc):

0



Hướng 1: PTVP toàn phần Tích phân tổng quát (TPTQ): 3 22 4 ln 

2

x

Hướng 2: Đưa về phân ly biến: 



3

dx y x TPTQ: ln 3 22 

8

x

7

d ww dx  w dxdy w dy  dx  ydy

x   y  y   y  y  y y    y Do y   y 

 

 

2

8 8

3 3

1

x L

y

F

L

x



 

   

57

57 57

1 2

1

4 lim

3 1

x

y x

x



 



Đề 3

x

x



( ) lim ln lim 4 ln 3

x L

x y

x



4 ln3



2

( ) D  ; 23  2 3 3 2

x

o





 

0

x t

(*) Sử dụng định lý giá trị trung bình với  là giá trị nào đó nằm giữa x3 và0 (+) Cực tiểu duy nhất x CT   , khoảng tăng 3  3; , khoảng giảm  ; 3

3

x y z

3

w

x





4

2 w sin wln

y y v v w

y

x





          





4

 

 

2

2 2

2

5 Cực đại x y z; ;   3;4;3, giá trị cực đại uC§ u3;4;3 13

6 Cần tìm  x y; để người tiêu dùng tối thiểu chi phí C8x9y trong điều kiện x y 4288

Cực tiểu  x y;  18;12 ; 0,5

7

Nghiệm tổng quát của PTTNLK:

2

2

6 13

2 6

ln 6 13 2

d x x x

 



 

Nghiệm tổng quát của PTPV đã cho:

x

y x  x x  x  x  x  C x  x

8

ux v xg x  x f u v

g x  f u v  u f  u v v f  u v   x f u v  x f u v

Theo bài:  

 

 

6

0

 Vậy, g2016 g 2015

ĐỀ 4

1

 y x cos 2x lny tan 2 lnx 4 x cos 2x



4

L



    

 

 2       

4

4

2

2 1 0

2 1 cot 2

L

x

x

x











tan 2 2

1 4

4

x

x

 





2

 

       

         



3 3

2 3

2

3

x

Đáp số:   8 3 31 3 276 3 3  3

3

3

MXĐ: D ,  2 3

y   x  ,  2 3

3

y    x   x 

Cực đại duy nhất C§ 3 2

3

, cực tiểu duy nhất 3 2

3

CT

4

t

I t



  

0

I t

2

t



0

1 arctan 2

dx





5 Đây là bài (6)_Dạng 1_ 2.1 Đạo hàm riêng _ Chương III: Hàm nhiều biến _ Tờ bài tập tổng hợp

6 Cực đại   119 1 67

178 89 178

  , giá trị cực đại

119 1 67

; ;

178 89 178

ct

7

Vì doanh nghiệp cạnh tranh nên sẽ chấp nhận giá, sản lượng không đổi 4000 đơn vị nên doanh thu là

cố định =>Lợi nhuận tối đa  chi phí cực tiểu

Cần tìm K L;  để tối thiểu chi phí sản xuất C10K20Ltrong điều kiện 0,7 0,8

50K L 4000

    0,7 0,2

K L  K L   K L với

2 0,8 3

 

8 PTVP toàn phần Tích phân tổng quát của phương trình là:

3 2 2

3

xy   C

ĐỀ 5

Câu Hướng dẫn giải _ đáp số

1

2 1

2

ln cos3

sin

x



*

y

7 1

lim ln

0

x

2

      

4



 Khai triển cần viết:   1   3 2 3 3 9 4  4

ln 3 1 ln 3

f x     x x  x  x o x

3

43 43

3020

 ;

43

561

20

4

2

F x y z x y    z x y z ; 2 1; 2 1;

    

 

 2    2 

y

xy yz



   

 

2

3

x

z

z

  



   

 

2

3

y

z

z

  

   

            

5 Cần tìm  x y; để tối đa U trong điều kiện 9x24y330     0,1

; 10;10 ; 1,5.10

6



2 2 0

arctan 3 lim

9

t

t

x

x







2 2 0

arctan 3 9

x





2

3 3tan

cos

9

2 2

cos

u u

x

u

 





    

; arctan3 0

0

t t

arctan arctan

3

arctan 1 arctan

0 cos

t

u

Chú ý biến đổi sau:

u

2 2

1

t

I t

t t

7

Sửa đề bài (lỗi đánh máy): ehxye xy

PTVP toàn phần với thừa số tích phân:   ln

dy y y

p y e e  y  y

TPTQ: x2  y2 e xy  2 C

ĐỀ 6

1

x

x

y

       2 

*2

2

5 1 1 tan

L

x

  *1 :ln 1u~ ;u u0  *2 : tanx~ ;x x0

0 0

2

3

130 0,2

10 500

3

p   

3

  1   1  1 

6

6

6 lim

6

x

f

x







f   a f a  a  a  a   a

2 4 9 1; 6 1

f x   t x f t  t  t  t x  t

L

t f







4

t



*

2

5

t

e

  2   2

5

L

t

t

    ; (*) Dùng tích phân từng phần

5

5arctan

2

y

x

2

y

x

  2 2 2 2

5

5 5 5

x

y

y x



;  

y x

; ; 9;1;

2

 , giá trị cực đại C§

9 87 9;1;

7 Cần tìm  x y; để tối đa U trong điều kiện 2x3y960     7 0,3 0,9

; 210;180 ; 210 180

5

8 PTVP toàn phần với vế trái là vi phân toàn phần của hàm số:

   

 

2

2

0

y





Tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:

2

y

ĐỀ 7

1

 





;  

1 ; 2

x

x

 







   

f

f

2

MXĐ: D , Đạo hàm:    

13

3 7

8

1

x



 

1

8

3

x

y   t  t dt  x        x   x

(*) Sử dụng định lý giá trị trung bình với  là giá trị nào đó nằm giữa 3x7 và 1 Cực tiểu duy nhất 8

3

CT

x  , khoảng tăng 8 ; 

3  , khoảng giảm  ;8 

3



3

0

t

t



2

L t

t





4

f x

 

4

; ;

ln10

5

 Đặt v v x y ; 5x22;w w x y ; cosy u f v w ;

  ; x v x w 10 2 v 2 sin w

x

2 3

sin

 x u y u 10x22 f v ysiny.f w 10x22 f v y.siny.f w 0 ®pcm 

6 Cực đại x y z; ;   4; 2;1 , giá trị cực đại wC§ w4; 2;1 4

7

 Cần tìm K L; để doanh nghiệp tối đa Q trong điều kiện 12 K10L1680

    372

; 80;72 ; 5

80

 Hệ số co dãn của sản lượng cực đại Qmaxtheo ngân sách sản xuất m là: max

max

m Q

 

Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange ta có: Qmax





m Q

 

max

90.80 6

 Vậy, tại m1680, nếu ngân sách sản xuất tăng 1% thì sản lượng cực đại tăng xấp xỉ 7 

%

6

8 PTVP toàn phần Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: 3 4 3 2 3 2

2

4x  x x y xy 2y C