Cho ABC vuông tại A, đường cao AH.. Đường thẳng KI cắt AB tại M, cắt AC tại N... Cho ABC vuông tại A, đường cao AH.. Gọi I, K lần lượt là các đường tròn nội tiếp ABH, ACH.. Đường th
Trang 1ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA
N 2012 – 2013
Câu I (2,0 điểm)
Cho a x 1; b y 1; c xy 1
với các số thự xy 0 Tính giá trị của biểu thức: A = a2
+ b2 + c2 – abc
Câu II (2 điểm)
Cho phương trình (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) = mx2
(1) (m là tham số) Giả sử m nhận các giá trị sao cho phương trình có 4 nghiệm x1; x2; x3; x4 đều khác
0
Chứng minh rằng biểu thức
P
không phụ thuộc vào m
Câu III (2,0 điểm)
Tìm số nguyên dương n sao cho n(2n 1)
26
là số chính phương
Câu IV (3,0 điểm)
1 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi (I), (K) lần lượt là các đường tròn nội tiếp ABH, ACH Đường thẳng KI cắt AB tại M, cắt AC tại N
a) Chứng minh HI/HK = HB/HA
b) Chứng minh AM = AN
Câu IV.2 Cho tam giác nhọn ABC, D là điểm trên cạnh AB (D A, D B), trung
tuyến AM cắt CD tại E Chứng minh rằng nếu ^DBM + ^DEM =180o
thì BC
< AC 2
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa x 1, y 1
x y 4
P
(y 1) (x 1)
-
Trang 2BÀI GIẢI MÔN TOÁN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA
N 2012 – 2013
Câu I (2,0 điểm)
Cho a x 1; b y 1; c xy 1
với các số thự xy 0 Tính giá trị của biểu thức: A = a2
+ b2 + c2 – abc
(x ) (y ) (xy ) (x )(y )(xy )
Câu II (2 điểm)
Cho phương trình (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) = mx2
(1) (m là tham số) Giả sử m nhận các giá trị sao cho phương trình có 4 nghiệm x1; x2; x3; x4 đều khác 0
Chứng minh rằng biểu thức
P
không phụ thuộc vào m
Ta có (1) (x – 1)(x – 6)(x – 2)(x – 3) = mx2 (x2 – 7x + 6)(x2 – 5x + 6) = mx2
(do x = 0 không thỏa (1)) Đặt t =
6 x x
phương trình thành:
(t – 7)(t – 5) = m t2 – 12t + 35 – m =0 (2)
(1) có 4 nghiệm (2) có 2 nghiệm, theo hệ thức Vi – et ta có:
1 2
t t 12
t t 35 m
1
2
6
x 6
x
2 1 2 2
x t x 6 0
x t x 6 0
(3) (4)
Vai trò của x1; x2; x3; x4 trong P như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử x1; x2 là nghiệm của (3) và x3; x4 là nghiệm của (4), cũng theo hệ thức Vi-et ta lại có:
1 2
x x t
x x 6
3 4
x x t
x x 6
x x
Câu III (2,0 điểm)
Tìm số nguyên dương n sao cho n(2n 1)
26
là số chính phương
Nhận xét : mọi số chính phươn gkho6ng thể chia cho 4 dư 3 (chứng minh dễ dàng)
Nếu n(2n 1)
26
= p2 n(2n – 1) = 26p2 (1) 26p2 chẵn và 2n – 1 lẻ n chẵn n = 2k 2k(4k – 1) = 26p2 k(4k – 1) = 13p2 (2) mà (k, 4k – 1) = 1
2
2
k u
4k 1 13v
hoặc
2
2
k 13u 4k 1 v
Nếu
2
2
k u 4k 1 13v
4k = 13v
2
+ 1 = 12v2 + v2 + 1 v2 + 1 4 v2 chia 4 dư 3 (vô lý) Nếu
2
2
k 13u 4k 1 v
4k = v
2
+ 1 4 v2 chia 4 dư 3 (vô lý) Vậy không có số n thỏa đề bài
Trang 3Câu IV (3,0 điểm)
1 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi (I), (K) lần lượt là các đường tròn nội tiếp ABH,
ACH Đường thẳng KI cắt AB tại M, cắt AC tại N
a) Chứng minh HI/HK = HB/HA
b) Chứng minh AM = AN
a) Ta có ^ABH = ^HAC (cùng phụ ^BAH)
^IBH = ^KAH (BI, AK là phân giác của
^ABH , ^HAC)
mà ^IHB = ^KHA = 45o IHB ~ KAH
(g.g.) HI/HK = HB/HA (đpcm)
b) Ta có AHB ~ CAB (g.g) HA/HB =
CA/CB mà HI/HK = HB/HA
HI/HK = AB/AC mà ^IHK = ^BAC = 90o
IHK ~ BAC ^KIH = ^ABC = ^MBH tức giác IMBH nội tiếp
^AMN = ^BMI = 45o AMN vuông cân AM = AN (đpcm)
Câu IV.2 Cho tam giác nhọn ABC, D là điểm trên cạnh AB (D A, D B), trung tuyến AM cắt
CD tại E Chứng minh rằng nếu ^DBM + ^DEM =180o
thì BC < AC 2
Kẻ tia Ex cắt AC tại I sao cho ^AEI = ^ACB
(luôn dựng được vì ^AEC = ^DEM > 900, ^ACB<90o)
tức giác MEIC nội tiếp mà ^DBM + ^DEM = 180o
tức giác BDEM nội tiếp
^BDE = ^EMC = ^EIA tứ giác ADEI cũng nội
tiếp CM.CB = CE.CD = CI.CA < CA2
1
2 BC
2
< AC2 BC < AC 2 (đpcm)
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa x 1, y 1
x y 4
Tìm GTNN của
P (y 1) (x 1)
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương ta có:
4
16(y 1) 16(y 1) 16(y 1) 4 16(y 1).16(y 1).16(y 1)
48y 48 32x 32x 48y 48 (y 1) (y 1)
4
3
y
32y 48x 48 (x 1)
P ≥ 48+48 – 16(x + y) ≥ 48 + 48 – 16.4 = 32
Khi x = y = 2 thì P = 32 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 32
Cách 2: Đặt a = x – 1 ; b = y – 1 , ta có : a + b = x + y – 2 ≤ 2 (do x + y ≤ 4)
(a 1) (b 1) (2 a.1) (2 b.1) a b a b
a b 2
ab 2 ab
-
Lưu Văn Thám – Trường BDVH 218 thực hiện
K I
H
N A
M
E
M
A
D
I