Toán tử đóng được và một số định nghĩa khác của không gian sobolev (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG VĂN TÂM TOÁN TỬ ĐÓNG ĐƯỢC VÀ MỘT ĐỊNH NGHĨA KHÁC CỦA KHÔNG GIAN SOBOLEV Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG VĂN TÂM

TOÁN TỬ ĐÓNG ĐƯỢC VÀ MỘT ĐỊNH NGHĨA KHÁC CỦA

KHÔNG GIAN SOBOLEV

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS LÊ VIẾT NGƯ

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả ghi trong luận văn

là trung thực, được các độc giả cho phép sử dụng và chưa từng công bố trong bất kì tài liệu nào.

Đặng Văn Tâm

ii

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo - PGS.TS Lê Viết Ngư Tôi xin gửi đến Thầy sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc.

Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến trường ĐHSP Huế, các thầy, cô giáo Khoa Toán trường ĐHSP Huế, khoa Toán trường ĐHKH Huế cùng các thầy, cô giáo khác vì sự giảng dạy tận tình và tạo điều thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi sự trân trọng và biết ơn đến tất cả người thân, bạn bè đã quan tâm, động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập vừa qua.

Huế, tháng 9 năm 2014 Đặng Văn Tâm

Demo Version - Select.Pdf SDK

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Ánh xạ tuyến tính trên không gian Banach và Hilbert 5

1.2 Không gian Lp(Ω) 8

1.3 Đạo hàm suy rộng 9

1.4 Không gian Sobolev Wm,2(Ω) 18

Chương 2 Toán tử đóng được 21

2.1 Toán tử đóng - đóng được 21

2.2 Toán tử đóng được trên không gian Hilbert 24

2.3 Một số ví dụ 29

2.4 Định lí Fredholm trên không gian Hilbert 34

1

Demo Version - Select.Pdf SDK

Chương 3 Toán tử vi phân và không gian Wom,2(Ω) 37

3.1 Tính đóng được của toán tử vi phân 37

3.2 Một định nghĩa khác của không gian Wom,2(Ω) 40

3.3 Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic cấp hai 44

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 56

Demo Version - Select.Pdf SDK

MỞ ĐẦU

Ngày nay, việc nghiên cứu các đặc trưng của các hàm suy rộng và đạo hàm suy rộng nói chung, và không gian Sobolev nói riêng đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng hiện đại Đã có một vài cách tiếp cận khác nhau về không gian Sobolev, chẳng hạn như trong cuốn "Analyse Fonctionnelle" của H Brezis, hay của J Bourgain, H Brezis và P Mironescu trong bài "Another look at Sobolev spaces", hoặc của Nguyễn Hoài Minh trong bài "Some new characterizations of Sobolev spaces", và gần đây nhất là của nhóm ba tác giả Roc Alabern, Joan Mateu và Joan Verdera trong bài "A new characterization of Sobolev on Rn", các kết quả này có thể xem trong [2]

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu về các toán tử tuyến tính có tính chất

là có thể thác triển thành một toán tử đóng, từ đó áp dụng vào toán tử vi phân (partial differential operator, xem [11]) và đưa ra một cách định nghĩa khác của đạo hàm riêng suy rộng như một cách thác triển đóng tự nhiên của toán tử vi phân, từ đó đưa ra một cách tiếp cận khác của không gian Sobolev Wom,2(Ω) Đây cũng chính là lí do và nội dung chính của luận văn này

Nội dung của luận văn gồm có ba chương như sau:

Trong chương I, chúng tôi chỉ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm như không gian Hilbert, toán tử tuyến tính compact; không gian Lp(Ω); đạo hàm suy rộng và không gian Sobolev Wm,2(Ω) Các kết quả cơ bản chương này chúng tôi chỉ trích dẫn không chứng minh mà chỉ chứng minh một số kiết quả cần thiết Trong chương II, chúng tôi tập trung vào nghiên cứu về lớp các hàm tuyến tính đóng được (closable operator) trên không gian Banach, là lớp các ánh xạ tuyến tính (có thể không đóng) nhưng có thể thác triển thành một toán tử đóng, đặc biệt là thác triển đóng cực tiểu của nó Và kết quả quan trọng của nội dung này chính là điều kiện cần và đủ để một ánh xạ tuyến tính là đóng được Ngoài ra, chúng tôi cũng khảo sát thêm về một khía cạnh khác của toán tử compact và kết quả của nó chính là Định lí Fredholm về sự tồn tại nghiệm của phương trình

x+Ax=y với A là một toán tử compact trên không gian Hilbert

3

Demo Version - Select.Pdf SDK

Nội dung của chương III chúng tôi nghiên cứu về một lớp hàm đóng được đặc biệt là các toán tử vi phân cho bởi

T : Co∞(Ω)−→ L2(Ω)

ϕ 7−→ T ϕ= X

|α|≤m

aα∂αϕ

trong đó m ∈ N∗, Ω⊂ Rn

là một miền mở, α ∈ Nn và aα ∈ C∞(Ω) Tiếp đó khảo sát các toán tử vi phân dạng đơn giản T(α): Co∞(Ω)3 ϕ 7−→ T(α)ϕ=∂αϕ ∈ L2(Ω)

với |α| ≤ m, mà cụ thể là nghiên cứu thác triển đóng cực tiểu của nó Từ đó tìm được mối liên hệ giữa các hàm suy rộng f trênΩcó đạo hàm suy rộng cấp α thuộc

L2(Ω) với thác triển đóng cực tiểu của toán tử T(α) Từ đó đưa ra một định nghĩa khác về không gian Wom,2(Ω) Cuối cùng là áp dụng Định lí Fredholm và các tính chất của không gian Wo1,2(Ω) với Ω là một miền bị chặn trong Rn, và nghiên cứu

sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong Wo1,2(Ω) của bài toán biên dạng Elliptic

Lu =−

n

X

i,j=1 (aij(x)uxi)x j +

n

X

i=1

bi(x)uxi +c(x)u =f, u|Ω = 0

trong đó u ∈ W1,2(Ω) và f ∈ L2(Ω); aij, bi là các hàm giá trị thực thuộc C1(Ω),

c ∈ C(Ω) và aij = aji với mọi i, j ≤ n

Huế, tháng 9 năm 2014 Đặng Văn Tâm

Demo Version - Select.Pdf SDK