BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN BÁ TRÌNH LỚP CÁC HÀM COLOMBEAU - MỘT MỞ RỘNG CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN BÁ TRÌNH
LỚP CÁC HÀM COLOMBEAU - MỘT
MỞ RỘNG CỦA KHÔNG GIAN CÁC
HÀM SUY RỘNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS.TS LÊ VIẾT NGƯ
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công
bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS.TS Lê Viết Ngư Tôi xin gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc cũng như nguyện vọng được tiếp tục nghiên cứu toán dưới sự hướng dẫn của thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn BGH Trường ĐHSP Huế, Thầy Cô giáo
ở Khoa Toán Trường ĐHSP Huế, Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường ĐHSP Huế cùng Thầy Cô giáo đã tham gia giảng dạy Cao học Khóa 21, những người đã giúp tôi có được kiến thức khoa học cũng như những điều kiện để hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu và các đồng nghiệp tại trường THPT Hướng Hóa, trường THPT Đông Hà đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè đã quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua Một lần nữa xin trân trọng cảm ơn!
Tác giả
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 4Mục lục
1.1 Các ký hiệu 5
1.2 Không gian các hàm cơ sở D(Ω) 6
1.3 Không gian các hàm suy rộng D ′(Ω) 8
1.3.1 Định nghĩa 8
1.3.2 Đạo hàm suy rộng 10
1.3.3 Cấp của hàm suy rộng 12
1.3.4 Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng D ′(Ω) 13 1.3.5 Tính địa phương hóa trong không gian hàm suy rộng D ′(Ω) 16
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 52.3 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau 26
2.4 Giá trị của hàm suy rộng Colombeau 32
2.5 Đạo hàm của hàm suy rộng Colombeau 33
2.6 Phép cộng, phép nhân số phức suy rộng (hoặc số phức) với hàm suy rộng Colombeau 35
2.7 Tích phân của hàm suy rộng Colombeau 36
2.8 Khái niệm bằng nhau trong G[Rn ] 39
Chương 3 Phép nhúng D ′(Rn) vào lớp hàm suy rộng Colombeau 45 3.1 Một số kiến thức liên quan 45
3.2 Phép nhúng D ′(Rn )vào G[Rn ] 47
3.3 Áp dụng vào phương trình vi phân 50
3.3.1 Phương trình Y ′= 0, Y ∈ G[R],0∈ C 50
3.3.2 Phương trình Y ′= k, Y ∈ G[R], k ∈ C 51
3.3.3 Phương trình Y ′= A, Y ∈ G[R], A ∈ G[R] cho trước 51
3.3.4 Phương trình Y ′= 0 trong D ′(R) 53
3.3.5 Phương trình Y ′= T trong D ′(R) 54
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 6LỜI NÓI ĐẦU
Một thời gian dài, khái niệm hàm số được hiểu theo nghĩa tương ứng từng điểm Song thực tế khoa học phát triển, quan điểm đó không còn đáp ứng nữa Khái niệm phân bố xuất hiện chính là sự mở rộng quan điểm hàm số để đáp ứng
sự phát triển của khoa học Có thể nói sự xuất hiện của hàm suy rộng bắt nguồn
từ việc nghiên cứu nghiệm không trơn của phương trình vi phân, vật lý lượng tử Việc sử dụng hàm suy rộng đã mở rộng đáng kể phạm vi nghiên cứu các bài toán
so với giải tích cổ điển và đơn giản hóa các phép toán cơ bản rất nhiều Sự mở rộng quan điểm hàm số được khởi đầu bởi Paul Dirac, L.Schwartz, Sobolev và một số nhà toán học nổi tiếng khác đã rất thành công Tuy nhiên, vấn đề nhân hai hàm suy rộng lại không giải quyết được Chính điều đó là một hạn chế về mặt phương pháp trong khi khảo sát và ứng dụng không gian các hàm suy rộng D ′(Rn
) Hiện nay, các nhà toán học đang quan tâm đến việc nghiên cứu đầy đủ hơn về hàm suy rộng và những ứng dụng của nó Ở đây chúng tôi xin giới thiệu một không gian các hàm suy rộng khác chứa không gian D ′(Rn
) như một không gian tuyến tính con mà trong đó phép nhân hai hàm suy rộng thực hiện được Chúng tôi muốn nói tới không gian các hàm suy rộng kiểu mới đã được nhà toán học người Pháp Jean Francois Colombeau đề xuất năm 1980 và ngày nay đang không ngừng phát triển Qua đó chúng tôi thử xem xét lại một số tính chất của không gian D ′(Rn
)
trên cơ sở một số kết quả của hàm suy rộng Colombeau với ý định bước đầu mở rộng phương pháp khảo sát không gianD ′(Rn
) Xuất phát từ những thực tiễn trên
và với sự hướng dẫn, gợi ý của thầy Lê Viết Ngư chúng tôi chọn thực hiện đề tài:
Demo Version - Select.Pdf SDK
Trang 7rộng phương pháp khảo sát không gian các hàm suy rộng D ′(Rn
), trong đó phép nhân hai hàm suy rộng thực hiện được
Nội dung của luận văn gồm 3 chương
• Chương 1 nhắc lại các ký hiệu, đồng thời trình bày những kiến thức chuẩn bị
về không gian các hàm cơ sở, không gian các hàm suy rộng và các tính chất liên quan đến chúng
• Chương 2 trình bày định nghĩa tập hợp Aq, số phức suy rộng, hàm suy rộng
Colombeau, giá trị của hàm suy rộng Colombeau, đạo hàm của hàm suy rộng Colombeau, phép cộng, phép nhân số phức suy rộng (hoặc số phức) với hàm suy rộng Colombeau, tích phân của hàm suy rộng Colombeau và khái niệm bằng nhau trong G[Rn
]
• Chương 3 trình bày mối liên hệ giữa không gian các hàm suy rộng D ′(Rn
)với lớp hàm suy rộng ColombeauG[Rn
]bằng phép nhúngD ′(Rn
)vàoG[Rn
], đồng thời áp dụng các kết quả đó để giải một số phương trình vi phân đơn giản
Tác giả
Demo Version - Select.Pdf SDK