Không gian lp,q và một số bất đẳng thức cơ bản (tt)

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và ch

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU

VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG

THỨC CƠ BẢN

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

TS TRƯƠNG VĂN THƯƠNG

Demo Version - Select.Pdf SDK

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn

là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Dương Thị Quỳnh Châu

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của TS Trương Văn Thương Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của thầy đối với bản thân tôi không những trong thời gian làm luận văn mà còn trong suốt quá trình học tập.

Tôi cũng xin phép được gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy

cô đã giảng dạy Lớp Toán Giải Tích khóa XXI cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa Toán Trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường học tập vừa qua.

Huế, tháng 9 năm 2014 Dương Thị Quỳnh Châu

Trang 4

Mục lục

1.1 Các kí hiệu và định nghĩa 4 1.2 Hàm sắp xếp giảm dần 7 1.3 Một số bất đẳng thức trong không gian Lp 15

2.1 Định nghĩa các không gian Lp,q 16 2.2 Một số tính chất của hàm k.kpq 19 2.3 Một số tính chất của không gian Lp,q 26

3 Một số bất đẳng thức cơ bản trong không gian Lp,q 35 3.1 Bất đẳng thức Holder 35 3.2 Bất đẳng thức Bernstein-Nikolskii 38 3.3 Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov 42

Trang 5

Mở đầu

Lý thuyết hàm là một ngành quan trọng của giải tích toán học nghiên cứu lớp gồm các hàm đo được trên một không gian có độ đo Với các cấu trúc đại

số và tôpô trên lớp các hàm ta được cấu trúc của các không gian tựa chuẩn, không gian định chuẩn Các kết quả nghiên cứu về tính chất đầy đủ, tính khả

ly, có được phụ thuộc vào các lớp không gian hàm Vào những năm 1950,

G Lorentz đã nghiên cứu và đưa ra một không gian mới đó là không gian Lp,q Đây là không gian tổng quát hơn không gian Banach Lp

(Ω, Σ, µ) là không gian độ đo σ-hữu hạn và 0 < p ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞ Khi đó, không gian Lp,q(Ω, µ) (xem [11]) là tập hợp tất cả các hàm f đo được sao cho

kf kpq < ∞ với

kf kpq =











∞

R

0

t1pf∗(t)

q dt t

1q nếu 0 < p < ∞, 0 < q < ∞ sup

t>0

tp1f∗(t) nếu 0 < p ≤ ∞, q = ∞

trong đó

µf(λ) = µ({x ∈ Ω : |f (x)| > λ}), λ ≥ 0

f∗(t) = inf{λ ≥ 0 : µf(λ) ≤ t}, t ≥ 0

Không gian (Lp,q, k.kpq) đã được chứng minh trong [11] là không gian định chuẩn khi và chỉ khi 1 ≤ q ≤ p < ∞ hoặc p = q = ∞ Một phần của luận văn chúng tôi sẽ giới thiệu về không gian Lp,q và một số tính chất của không gian Lp,q Trên lớp không gian Lp, các nhà toán học trong và ngoài nước đã nghiên cứu một số bất đẳng thức như bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức Bernstein-Nikolski, bất đẳng thức Landau-Kolmogorov Trong luận văn này chúng tôi sẽ chứng minh bất đẳng thức Holder trong không gian Lp,q

và trường hợp tổng quát cho n hàm với độ đo phi hạt nhân Từ đó, chứng minh

Trang 6

Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov

kf(k)kn∞ ≤ K(k, n)kf kn−k∞ kf(n)kk∞, với 0 < k < n được nghiên cứu đầu tiên bởi Landau và Hadamard với trường hợp n = 2 Năm 1939, Kolmogorov đã chứng minh bất đẳng thức trên R với hằng số tối ưu Ck,n Sau đó Hadamard, Gorny, Matorin nghiên cứu trên R+

nhưng hằng số chưa tối ưu Năm 1970, Schoenberg và Cavaretta đã tìm ra hằng

số Ck,n+ tối ưu cho bất đẳng thức trên R+ Năm 2004, H H Bang và M T Thu

đã chứng minh bất đẳng thức cho hàm số trong không gian Nφ(R+) với hằng

số Ck,n+ Dựa vào phương pháp chứng minh của tài liệu [4], chúng tôi sẽ chứng minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov vẫn đúng cho không gian Lp,q(R+) với hằng số Ck,n+ trong đó 1 < q ≤ p < ∞

Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu, hệ thống hóa các tính chất của không gian Lp,q, tổng quan một số kết quả đã được nghiên cứu và chứng minh một số bất đẳng thức trong không gian Lp,q

Nội dung chính của luận văn gồm ba chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Hệ thống hóa một số khái niệm không gian hàm, hàm suy rộng, biến đổi Fourier, hàm trơn hóa Trình bày một số kiến thức về hàm phân bố, hàm sắp xếp giảm dần, một số bất đẳng thức trong không gian Lp cần thiết cho các chương sau

Chương 2: Các không gian Lpq

Giới thiệu về không gian Lpq, chuẩn trong không gian Lpq và một số tính chất của không gian Lpq

Chương 3: Một số bất đẳng thức cơ bản trong không gian Lpq

Chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản trong không gian Lpq như bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức Landau- Kolmogrov và tổng quan kết quả về bất đẳng thức Bernstein-Nikolskii

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	207,92 KB