Các quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei ejekēl trong mô hình zee babu

Hơnnữa, trong quá trình tìm hiểu [4], [6], [7] chúng tôi thấy hệ số đỉnhtương tác của các cặp lepton mang điện không thống nhất... chúng tôi đã tập trung vào nghiên cứu mô hình đơn giản

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ THỦY

CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM

TRONG MÔ HÌNH ZEE - BABU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2018

KHOA VẬT LÝ

PHẠM THỊ THỦY

CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM

TRONG MÔ HÌNH ZEE - BABU

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 8 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ THANH HÙNG

HÀ NỘI, 2018

Đầu tiên em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS HÀTHANH HÙNG đã trực tiếp hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu

và hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô đã tận tình chỉ dạy cho em trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu

Em xin trân trọng cảm ơn quý thầy, cô trong hội đồng bảo vệ đềcương, hội đồng bảo vệ luận văn đã nhận xét, góp ý để luận văn của emđược hoàn thiện hơn

Em xin gửi lời cảm ơn tới ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm HàNội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi để em được học tập, nghiên cứu tạitrường

Xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Vật lý lý thuyết

và vật lý toán K20 đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệpcũng như ban lãnh đạo trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương

đã tạo điều kiện và luôn khích lệ động viên tôi trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu

Hà Nội, ngày 30 tháng 04 năm 2018

Học viên

Phạm Thị Thủy

Tôi xin cam đoan rằng những số liệu và kết quả nghiên cứu thu đượctrong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận vănnày đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đượcchỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 30 tháng 04 năm 2018

Học viên

Phạm Thị Thủy

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

1.1 Tổng quan về mô hình chuẩn 41.2 Sắp xếp hạt trong mô hình Zee - Babu 41.3 Khối lượng và trạng thái vật lý 6

2 Kênh rã vi phạm số lepton thế hệ ei → ejekel 92.1 Các đỉnh tương tác của quá trình rã vi phạm số lepton

thế hệ ei → ejekel 92.2 Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh 14

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Qua nghiên cứu có thể thấy mô hình chuẩn (SM) là một mô hìnhvật lý hạt thành công nhất khi dự đoán khá chính xác các kết quảthực nghiệm Tuy nhiên, SM vẫn có một số hạn chế nhất định, cácneutrino đều có khối lượng bằng không và không có sự chuyển hóalẫn nhau giữa các thế hệ lepton Nhưng thực nghiệm đã chỉ ra rằngneutrino có khối lượng khác không dù rất nhỏ và có sự chuyển hóalẫn nhau giữa các neutrino khác thế hệ Sự chuyển hóa lẫn nhaucủa các lepton trung hòa khác thế hệ chính là bằng chứng cho sự viphạm số lepton thế hệ trong thế giới hạt cơ bản Điều này vượt ngoài

dự đoán của mô hình chuẩn vì mô hình chuẩn chỉ có neutrino trái,hay phản neutrino phải hay số lepton luôn được bảo toàn, neutrinoluôn có khối lượng bằng 0 Năm 1998 các nhà nghiên cứu đã xácđịnh được sự dao động của neutrino, nghĩa là một neutrino của vịnày (ví dụ τ ) khi đi được một quãng đường đủ lớn có thể chuyểnthành neutrino của vị khác (ví dụ µ) Hiện tượng này chỉ được giảithích khi neutrino có khối lượng phân bậc và trộn lẫn Khối lượngkhông bằng không của hạt neutrino đòi hỏi phải mở rộng SM Hơnnữa, trong quá trình tìm hiểu [4], [6], [7] chúng tôi thấy hệ số đỉnhtương tác của các cặp lepton mang điện không thống nhất Vì thế,

chúng tôi đã tập trung vào nghiên cứu mô hình đơn giản gọi là môhình Zee - Babu với việc bổ sung các trường vô hướng và kết hợp

sử dụng phương pháp lấy đạo hàm theo các toán tử trường để kiểmnghiệm lại kết quả nghiên cứu trên Chính vì vậy chúng tôi chọn

đề tài: "CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ

ei → ejeke¯l TRONG MÔ HÌNH ZEE - BABU" làm đề tài nghiêncứu cho luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu về khối lượng và trạng thái vật lý của các hạt leptonthông qua mô hình đơn giản nhất là mô hình Zee - Babu

• Tính tỉ lệ rã nhánh của các quá trình rã vi phạm số lepton thế

hệ ei → ejeke¯l trong mô hình Zee - Babu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu mô hình Zee - Babu

• Tính tỉ lệ rã nhánh của các quá trình rã vi phạm số lepton thế

hệ ei → ejeke¯l trong mô hình Zee - Babu

• Khảo sát số để thiết lập giới hạn tham số cho mô hình và sosánh với thực nghiệm

4 Đối tượng nghiên cứu

• Các quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei → ejeke¯l trong

mô hình Zee - Babu

5 Phương pháp nghiên cứu

• Lý thuyết trường lượng tử

• Tính số thông qua phần mềm Mathematica

Ngoài phần mở đầu và kết luận, phần nội dung của luậnvăn được chia làm ba chương:

Chương 1: Giới thiệu mô hình Zee - Babu

1.1 Tổng quan về mô hình chuẩn

1.2 Sắp xếp hạt trong mô hình Zee - Babu

1.3 Khối lượng và trạng thái vật lý

Chương 2: Kênh rã vi phạm số lepton thế hệ ei → ejeke¯l

2.1 Các đỉnh tương tác của quá trình rã vi phạm số lepton thế

hệ ei → ejeke¯l

2.2 Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh

Chương 3: Khảo sát số

3.1 Thiết lập giới hạn tham số cho mô hình

3.2 Khảo sát số và so sánh với thực nghiệm

Chương 1

Giới thiệu mô hình Zee - Babu

1.1 Tổng quan về mô hình chuẩn

So với SM, mô hình Zee-Babu chứa thêm các đơn tuyến mang điệnđơn và đôi, ký hiệu tương ứng là h± ∼ (1, 1, ±1) và k±± ∼ (1, 1, ±2).Các thành phần này đủ để sinh các đóng góp bậc 1 vòng vào khối lượng

neutrino Tương tác Yukawa mới trong mô hình có dạng:

lepton phải của mô hình Zee - Babu trùng với SM

Chỉ số a, b là các chỉ số thế hệ Chỉ số i, j là các chỉ số thành phần

lưỡng tuyến của nhóm SU (2)L

C là toán tử điện tích định nghĩa thành phần liên hợp điện tích:

(ψL)C ≡ CψLT Ta cũng có hệ thức thường sử dụng như sau: (ψL)C ≡

ψLC = ψCPL

Hệ số fab là hệ số phản xứng, fab = −fba và gab = gba là hệ số đối

xứng Vì vậy, dạng khai triển Lagrangian trong phương trình (1.2) viết

được như sau:

Như vậy, cách sắp xếp hạt trong mô hình Zee - Babu bao gồm: các

lepton, các quark (giống mô hình chuẩn), vô hướng gồm một lưỡng tuyến

Higg giống mô hình chuẩn và mở rộng thêm hai đơn tuyến SU (2)L (một

vô hướng tích điện đơn h+ và một vô hướng tích điện đôi k++), kết hợp

với cặp đôi lepton trái L và lepton đơn phải R của e tương ứng Phần

lagrangian mới đóng góp cho mô hình Zee-Babu là:

LZB = Dµh†Dµh + Dµk†Dµk + fabψCaL(iσ2) ψbLh++ gabeC

aebk++

trong đó VZB là hàm thế vô hướng, chứa các tương tác mới giữa các

trường vô hướng h, k và lưỡng tuyến Higgs trong SM:

VZB = m0H2H†H + m0h2|h|2 + m0k2|k|2 + λH H†H
2 + λh|h|4

+ λk|k|4 + λhk|h|2|k|2 + λhH|h|2H†H + λkH|k|2H†H

1.3 Khối lượng và trạng thái vật lý

Lagrangian của mô hình Zee-Babu có thể được phân chia thành 2phần tương ứng với SM và phần mới thêm vào

Số hạng đầu tiên LSM là Lagrangian của mô hình chuẩn:

LSM = iψLD/ψL+ ieRD/ laR + Y ψaLlbRH + h.c.
+ , (1.7)còn số hạng thứ hai là Lagrangian đặc trưng cho mô hình Zee- Babu códạng cụ thể như (1.6) và có hàm thế vô hướng như (1.5)

Trong mô hình chuẩn khi chưa phá vỡ đối xứng, các lepton có khốilượng bằng không Để cho chúng có khối lượng ta phải phá vỡ đối xứng

tự phát qua lưỡng tuyến Higgs

+ W

0|0 = √v

2.

Do mô hình Zee-Babu chỉ thêm vào các hạt có VEV bằng không, phổkhối lượng và trạng thái vật lý của các hạt SM không thay đổi, trừ cácneutrino.

Trạng thái vật lý của các hạt Higgs mang điện mới: Xuất phát từbiểu diễn hạt, trong mô hình có các Higgs tương ứng:

Higgs trung hòa: h

Các Higgs mang điện: h±, k±±

Để tìm khối lượng Higgs mang điện, ta có thể viết lại lưỡng tuyếnHiggs như sau:

+ W

ϕ0

!

+ W 1

!

+ w h+iξ √ 2

!

Khai triển số hạng thế năng (1.5) với trung bình chân không củalưỡng tuyến Higgs

hHi = √1

2

0v

Từ (1.10), khối lượng vật lý được xác định như sau:

m2h+ = m0h2 + λhHv2

m2k++ = m0k2 + λkHv2Tất cả các trạng thái riêng khối lượng, hay trạng thái riêng vật lý củacác Higgs đều trùng với trạng thái ban đầu Chương tiếp theo chúng tôi

sẽ sử dụng các kết quả này để tính các quá trình rã LFV

ψaL = νaL

eaL

!

∼ (1, 2, −1) ; eaR ∼ (1, 1, −2) (2.2)

Trong biểu thức (1.4), phần lagrangian tương tác Yukawa chỉ có trong

mô hình Zee - Babu là:

LZBY = fab

(ψaL)C(iσ2) ψbL

;(leL)C ≡ (eL)C = eCPL; (leR)C ≡ (eR)C = eCPR



;(lµL)C ≡ (µL)C; (lµR)C ≡ (µR)C = µCPR



;(lτ L)C ≡ (τL)C; (lτ R)C ≡ (τR)C = τCPR

Để giải quyết vấn đề về khối lượng neutrino, trong mô hình Zee Babu thêm hai hạt vô hướng (một tích điện đơn h± và một tích điện đôi

-k±±) Tuy nhiên, quá trình vật lý đang xét chỉ liên quan đến đóng gópcủa hạt vô hướng tích điện đôi k±± Vì vậy, khi khai triển phương trình(2.3) chúng tôi chỉ khai triển các thành phần k±±

eCPR Khi đó:

LZBY = fab

(ψaL)CψbL

LZBY = fab

(ψaL)CψbL

Tiếp theo chúng tôi tính hệ số đỉnh tương tác các trường bằng cáchlấy đạo hàm theo toán tử trường Vì trong Lagrangian tương tác giữacác lepton giống nhau chứa ba toán tử trường, nên ta lấy đạo hàm balần theo các toán tử trường Mỗi lần lấy đạo hàm ta sẽ có thêm mộtđường tương ứng trong phần đỉnh, đường fermion ra với chỉ số α, đườngfermion vào với chỉ số β [1]

i

Như vậy, khi xét với trường hợp tương tác của hai hạt giống nhau thì

δαα0 = 1 (α = α0) ; δαβ0 = 1 (β0 = α) và sau khi lấy đạo hàm theo các toán

tử trường chúng tôi xác định được hệ số đỉnh tương tác:

eC = C ¯eT = C e†γ0
T = Cγ0 e†
T

Để vẽ giản đồ Feynman, chúng tôi áp dụng qui tắc Feynman đượcđịnh nghĩa trong tài liệu [12] Theo qui tắc này đường fermion của eCtương ứng với đường truyền hạt mang điện +e và số lepton −1, ngượcvới qui ước thông thường của hàm truyền electron

Tương tự, chúng ta có thể xác định được hệ số đỉnh của các đỉnhtương tác sau:

LµµC k −− = g∗µµµP¯ LµCk−− có hệ số đỉnh là 2ig∗µµ(PL)αβ

Lτ τC k −− = gτ τ∗ τ P¯ LτCk−− có hệ số đỉnh là 2igτ τ∗ (PL)αβ

Bảng 2.1: Các đỉnh tương tác Yukawa lepton với k++

Đỉnh Hệ số đỉnh Đỉnh Hệ số đỉnh

g ee e C P R ek++ 2ig ee P R g∗eeeP L eCk−− 2igee∗ P L

gµµµ C PRµk ++ 2igµµPR g∗µµµPLµ C k−− 2igµµ∗ PL

gτ ττ C PRτ k ++ 2igτ τPR gτ τ∗ τ PLτ C k−− 2igτ τ∗ PL2geµe C PRµk ++ 2igeµPR 2geµ∗ µPLe C k−− 2igeµ∗ PL2g eτ e C P R τ k++ 2ig eτ P L 2g∗eττ P L eCk−− 2ig∗eτP L

2gµτµ C PRτ k ++ 2igµτPR 2g∗µττ PLµ C k−− 2ig∗µτPL

Nhận xét: Các đỉnh tương tác với hai lepton giống nhau được tínhtrong luận văn này trùng với kết quả có trong tài liệu [6], nhưng khác vớitài liệu [4] Chúng tôi đã kiểm tra bằng cách tính chi tiết hệ số đỉnh theophương pháp đã trình bày ở trên Qui tắc Fyenman được dùng trongluận văn này cho phép các đường fermion đi theo 1 chiều, thuận lợi chocác bước tính biên độ theo đúng qui ước ngược chiều đường fermion

2.2 Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh

Trong mục này, chúng tôi sẽ tiến hành vẽ chi tiết giản đồ Feynmancho từng quá trình rã cLFV cụ thể, từ đó tính trực tiếp biên độ và tỉ

lệ rã nhánh cLFV Cuối cùng, các kết quả sẽ được tổng quát hoá và sosánh với các kết quả đã công bố

Giản đồ Feynman

Áp dụng các quy tắc Feynman trong mô hình chuẩn, chúng tôi xácđịnh được các giản đồ Feynman cho các quá trình cụ thể ở các hình 2.2,2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, và 2.9

Phần tính biên độ và tỉ lệ rã nhánh được minh hoạ cụ thểnhư sau:

3 − p2 4

i

= 12

h(p1 − p2)2 − 0 − 0i

= 12 p2

1 + p22 − 2.p1p2 = 1

2 m2

τ − 2.mτEe+,trong đó ta đã bỏ qua khối lượng của các hạt nhẹ ở trạng thái cuối Khiđó:

Áp dụng công thức bề rộng rã vi phân của quá trình rã ba hạt trong

đó có hai hạt giống hệt nhau ở trạng thái cuối thì chúng ta phải chiacho 2! [10, mục 8.4] và [11, tr.107 - 108], ta có:

dΓ = 1

2! × 164π3M|Mf i|2dE1dE2 (2.14)với khối lượng hạt rã M = mτ và năng lượng E1 = Ee+; E2 = Ee− Hệ

số 1/2! xuất hiện do trạng thái cuối có 2 electron giống nhau Ta có:

dΓ = dEe+dEe−

12! × 164π3mτ × 16

mτ

2 −Ee−

dEe+

18π3m4k++



(2.18)

Từ công thức (2.16) với năng lượng Ee− hoặc công thức (2.17) với nănglượng Ee− hoặc công thức (2.18) với năng lượng Ee+ Trong giản đồ bậccây, chúng ta có:

Γ τ− → e−e−e+
=

Z mτ 2

0

dΓ

dEe+



dEe+

Z mτ 2

0

dΓ

0

dΓ

dEe−



dEe− (2.19)Chúng ta xét:

Γ τ− → e−e−e+
=

Z mτ 2

0

dΓ

0

116π3m4

48mτ

(2.20)

∗

eegeτ)24m4k++G2F (2.21)Tương tự như kết quả [10] chúng ta có:

(gee∗ geτ)24m4k++G2F

192π3

G2Fm5 τ

= (g

∗

eegeτ)24G2Fm4k++

R τ− → e−e−e+
≡ Γ (τ

− → e−e−e+)

Γ (τ− → e−νeντ) =

14

geτgee∗

GFm2k++

2

2 (1 + δee)

2

.(2.34)Trong (2.34), số hạng δjk được xác định như sau:

δjk =

(

0 nếu j 6= k (các hạt khác nhau ở trạng thái cuối)

1 nếu j = k (có 2 hạt giống nhau ở trạng thái cuối)Như vậy, kết quả mà chúng tôi tính được trùng với kết quả [6] Trongchương tiếp theo chúng tôi sẽ minh hoạ một số kết quả giới hạn khônggian tham số mô hình dựa trên các giới hạn thực nghiệm hiện nay vềkênh rã cLFV

Chương 3

Khảo sát số

3.1 Thiết lập giới hạn tham số cho mô hình

Hằng số thực nghiệm đã biết là hằng số fermi: GF = 1.1665 × 101(−5).Các tham số độc lập của mô hình liên quan đến quá trình rã đang xét

là hằng số tương tác lepton với k±±, (gjk, gli) và khối lượng mk++

Từ biểu thức (2.34) trong quá trình rã e−i → e−j e−ke+l chúng tôi thấy

có các tham số rút gọn tương ứng như sau sẽ thuận lợi cho quá trìnhkhảo sát số:

gjk0 = g

∗ jk

mk++

× 105[GeV−1], g0li = gli

mk++

× 105[GeV−1] (3.1)

Xét với một số quá trình rã cụ thể ở chương 2, chúng ta có thể xác định

và thiết lập giới hạn tham số cho mô hình cụ thể [6] dựa trên các giớihạn thực nghiệm mới nhất hiện nay, chi tiết cho trong bảng 3.1 Các giớihạn này được dùng để tách vùng tham số được phép trong các đồ thịgiải số cho trong phần tiếp theo

Các giới hạn thực nghiệm mơ hình Zee - Babu chủ yếu đến từ cácquá trình vi phạm số lepton hệ quy mô lượng thấp giántiếp đại hạt vô hướng mang điện tương tác chúng vớilepton, tính phổ quát...

µ−µ−µ+ (hình 2.8)

Từ trình rã cụ thể xét trên, trường hợp tổng quát cho qu? ?trình phân rã vi phạm số lepton hệ e−i → e−j... lượng thấp liênquan mơ hình Zee - Babu

Áp dụng tương tự, tính bề rộng rã tỉ lệ rãnhánh trình rã ba hạt có hai hạt giống nhautrong trạng thái cuối (tương tự trình rã nhánh τ−