Luận văn thạc sĩ cơ học kỹ thuật phân tích động lực học của khung dầm FGM chịu tải trọng động đất bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất được sử dụng kết hợp với phương pháp tích phân trực tiếp NewMark để tính toán đáp ứng động lực học của kết cấu.. N

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

-

NGUYỄN QUANG HUÂN

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG DẦM FGM

CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

-

NGUYỄN QUANG HUÂN

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG DẦM FGM

CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Ngành: Cơ kỹ thuật Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 8520101.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH KIÊN

Hà Nội - 2018

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Đình Kiên Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy, người đã tận tâm giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu

Trong quá trình thực hiện Luận văn, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp

đỡ, tạo điều kiện của tập thể Lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên của Khoa Cơ học kỹ thuật và Tự động hóa, Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội; tập thể Ban lãnh đạo, cán bộ Viện Cơ học Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về những sự giúp đỡ đó

Tôi xin chân thành cảm ơn đến các nghiên cứu viên phòng Cơ học vật rắn, Viện Cơ học; anh chị em trong nhóm Seminar đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho tôi trong quá trình thực hiện Luận văn

Tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã chia sẻ, động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành Luận văn này

Tác giả

Nguyễn Quang Huân

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu và kết quả được trình bày trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Học viên

Nguyễn Quang Huân

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

LỜI CAM ĐOAN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT v

Danh mục các hình vẽ viii

Danh mục các bảng x

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 - CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT 4

1.1 Quá trình phát triển các phương pháp 4

1.2 Một số phương pháp tính toán 5

1.2.1 Phương pháp tính toán tĩnh tương đương 5

1.2.2 Phương pháp tính toán tĩnh phi tuyến 6

1.2.3 Phương pháp phân tích dạng dao động và phổ phản ứng 6

1.2.4 Phương pháp tích phân trực tiếp phương trình chuyển động 7

1.3 Kết luận chương 1 7

Chương 2 - XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TOÁN ĐÁP ỨNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG, DẦM 2D-FGM CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT 8

2.1 Dầm 2D-FGM 8

2.2 Các phương trình cơ bản 9

2.3 Chuyển vị nút và nội suy 11

2.4 Ma trận độ cứng 13

2.5 Ma trận khối lượng 14

2.6 Phương pháp tích phân trực tiếp 15

2.7 Kết luận chương 2 19

Chương 3 - TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN 20

3.1 Kiểm tra chương trình tính toán 20

3.2 Cột 2D-FGM 24

3.3 Khung giản đơn 27

3.4 Khung nhiều tầng 30

3.5 Khung bất đối xứng 33 3.6 Kết luận chương 3 36 KẾT LUẬN 37 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 PHỤ LỤC 41

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Các ký hiệu thông thường

Pm1 Tính chất vật liệu của kim loại 1

Pm2 Tính chất vật liệu của kim loại 2

u Chuyển vị dọc trục của một điểm nằm trên mặt giữa

U Năng lượng biến dạng đàn hồi

 Góc quay của thiết diện ngang

Danh mục các hình vẽ

Hình 2.1 Mô hình dầm 2D-FGM 8

Hình 2.2 Tỉ phần thể Vc1 và Vc2 khi n z , n x thay đổi 9

Hình 2.3 Gia tốc nền ghi nhận được của trận động đất El Centro 17

Hình 2.4 Sơ đồ khối của thuật toán 18

Hình 3.1 Kết cấu khung, dầm 2D-FGM được nghiên cứu 20

Hình 3.2 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh cột 21

Hình 3.3 Vận tốc theo thời gian tại đỉnh cột 22

Hình 3.4 Không gian pha của chuyển vị ngang tương đối và vận tốc tại đỉnh cột 22

Hình 3.5 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh A của khung 23

Hình 3.6 Vận tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung 23

Hình 3.7 Gia tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung 24

Hình 3.8 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh cột (n z = 0.5) 24

Hình 3.9 Vận tốc theo thời gian tại đỉnh cột (n z = 0.5) 25

Hình 3.10 Gia tốc theo thời gian tại đỉnh cột (n z = 0.5) 25

Hình 3.11 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh cột (n x = 0.5) 26

Hình 3.12 Vận tốc theo thời gian tại đỉnh cột (n x = 0.5) 26

Hình 3.13 Gia tốc theo thời gian tại đỉnh cột (n x = 0.5) 27

Hình 3.14 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh A của khung (n z = 0.5) 27

Hình 3.15 Vận tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (n z = 0.5) 28

Hình 3.16 Gia tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (n z = 0.5) 28

Hình 3.17 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh A của khung (n x = 0.5) 29

Hình 3.18 Vận tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (n x = 0.5) 29

Hình 3.19 Gia tốc theo thời gian tại đỉnh A của khung (n x = 0.5) 30

Hình 3.20 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh B của khung (n z = 0.5) 30

Hình 3.21 Vận tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (n z = 0.5) 31

Hình 3.22 Gia tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (n z = 0.5) 31

Hình 3.23 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh B của khung (n x = 0.5) 32

Hình 3.24 Vận tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (n x = 0.5) 32

Hình 3.25 Gia tốc theo thời gian tại đỉnh B của khung (n x = 0.5) 33

Hình 3.26 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh C của khung (n z = 0.5) 33

Hình 3.27 Vận tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (n z = 0.5) 34

Hình 3.28 Gia tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (n z = 0.5) 34

Hình 3.29 Chuyển vị ngang tương đối theo thời gian tại đỉnh C của khung (n x = 0.5) 35

Hình 3.30 Vận tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (n x = 0.5) 35

Hình 3.31 Gia tốc theo thời gian tại đỉnh C của khung (n x = 0.5) 36

Danh mục các bảng

Bảng 3.1 Tính chất vật liệu thành phần cho khung, dầm 2D-FGM 20 Bảng 3.2 So sánh tần số và phản ứng của cột thép 21

MỞ ĐẦU

Vật liệu có cơ tính biến đổi (Functionally Graded Material - FGM) được các nhà khoa học Nhật Bản khởi tạo lần đầu tiên ở Sendai vào năm 1984 có khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau như hàng không vũ trụ, đóng tàu, ô tô, quốc phòng, xây dựng, sản xuất đồ gia dụng FGM có thể xem như là một loại vật liệu composite mới, thường được tạo từ gốm và kim loại, với tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc vài hướng không gian mong muốn Do sự thay đổi liên tục của vật liệu thành phần, các tính chất hữu hiệu của FGM là hàm liên tục của các biến không gian, vì thế FGM không có các nhược điểm thường gặp trong vật liệu composite truyền thống như sự tập trung ứng suất, tách lớp và có khả năng ứng dụng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao, tính mài mòn và ăn mòn của a-xít Trên quan điểm động lực học, sự kết hợp các ưu điểm về độ bền cao, tỷ trọng thấp của gốm với độ dai và khả năng chịu va đập tốt của kim loại giúp cho FGM có tiềm năng

là vật liệu kết cấu chịu tải trọng động nói chung và tải trọng động đất nói riêng Các kết quả về phân tích dao động của kết cấu FGM đã chỉ ra rằng ứng xử động lực học của kết cấu FGM được cải thiện đáng kể so với kết cấu truyền thống làm từ các vật liệu thuần nhất [8, 13] Với khả năng chịu được nhiệt độ cao, vật liệu FGM được sử dụng rộng rãi để làm các phần tử kết cấu trong ngành công nghiệp hạt nhân [9], nơi mà các kết cấu chịu kích động của động đất luôn là vấn

đề đặt ra và được sự quan tâm của các nhà khoa học

Trong nhiều tình huống thực tế, các tải trọng cơ và nhiệt có thể thay đổi theo nhiều phương khác nhau của kết cấu [12], vì thế việc phát triển các vật liệu có cơ tính biến đổi theo các hướng khác nhau là nhu cầu của thực tế, có ý nghĩa khoa học, giúp cho việc tối ưu hóa kết cấu Nghiên cứu ứng xử cơ học của dầm làm từ vật liệu FGM có cơ tính biến đổi theo hai chiều (dầm 2D-FGM), chiều cao và chiều dài dầm, đã được một số tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây, điển hình là các tài liệu [14, 15, 16] Tuy nhiên, phần lớn các nghiên cứu về ứng xử của dầm 2D-FGM mới chỉ dừng lại ở phân tích dao động tự do hay mất

ổn định của dầm Một số nghiên cứu đã đề cập tới ứng xử động lực học của dầm, tuy nhiên các tính chất của vật liệu được giả định tuân theo quy luật hàm số Euler, trường hợp đơn giản nhất của quy luật phân bố vật liệu FGM

2 Định hướng và nội dung nghiên cứu

Từ các phân tích nêu trên ta thấy rằng, nghiên cứu ứng xử động lực học của dầm 2D-FGM với các tính chất vật liệu tuân theo quy luật hàm số lũy thừa vẫn chưa được xét đến Liên quan đến kết cấu khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng động đất, theo hiểu biết của tác giả, hiện chưa có nghiên cứu nào về bài toán này

Vì lý do này, việc đánh giá ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu đến đáp ứng động lực học của khung, dầm 2D-FGM chịu tải trọng động đất mà Luận văn này quan tâm nghiên cứu có ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Trong Luận văn này, các khung dầm giả định được tạo thành từ vật liệu FGM

có cơ tính biến đổi theo hai chiều, tức là tính chất vật liệu của khung, dầm FGM được biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm theo quy luật hàm lũy thừa Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất được

sử dụng kết hợp với phương pháp tích phân trực tiếp NewMark để tính toán đáp ứng động lực học của kết cấu Các đáp ứng động của kết cấu bao gồm sự phụ thuộc của chuyển vị, vận tốc và gia tốc theo thời gian dưới tác động của trận động đất El Centro được nghiên cứu Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới đáp ứng động lực học của các kết cấu được tính toán và đánh giá

Từ định hướng nghiên cứu nêu trên, luận văn sẽ tiến hành thực hiện các nhiệm vụ cụ thể sau đây:

1) Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn để nghiên cứu ứng xử động lực học của khung, dầm FGM chịu tải trọng động đất

2) Tìm hiểu và ứng dụng phương pháp tích phân trực tiếp trong phân tích kết cấu chịu tải trọng động đất

3) Phát triển chương trình tính toán dựa trên mô hình phần tử hữu hạn và thuật toán nói trên và ứng dụng để tính toán đáp ứng động lực học cho một số khung, dầm 2D-FGM cụ thể Trên cơ sở kết quả số nhận được rút ra các nhận xét về ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới đáp ứng động lực học của kết cấu khung, dầm 2D-FGM

Ngoài phần Mở đầu, Luận văn gồm ba chương và phần Kết luận cùng với các tài liệu tham khảo Các công trình của tác giả liên quan được liệt kê ở cuối Luận văn Nội dung chính của các chương như sau:

 Chương 1 - Trình bày các phương pháp phân tích ứng xử của kết cấu chịu tải trọng động đất

 Chương 2 - Trình bày mô hình kết cấu khung, dầm 2D-FGM Các phương trình cơ bản, biểu thức năng lượng cho dầm 2D-FGM Xây dựng mô hình

phần tử hữu hạn để tính toán đáp ứng động lực học của khung, dầm FGM chịu tải trọng động đất Biểu thức cụ thể cho ma trận độ cứng và

2D-ma trận khối lượng cho phần tử dầm 2D-FGM được xây dựng từ các biểu thức năng lượng

 Chương 3 - Thực hiện tính toán số cho một số kết cấu khung, dầm FGM cụ thể Xem xét ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới ứng xử động lực học của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng động đất được thảo luận chi tiết

2D-Chương 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU

CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT

1.1 Quá trình phát triển các phương pháp

Trong những năm cuối thế kỷ XIX - đầu của thế kỷ XX, sau các trận động ở Nobi (Nhật Bản – 1891) và San Francisco (1906), hai nhà khoa học Nhật Bản là Omori và Sano đã đề xuất lý thuyết tính toán tĩnh để xác định tải trọng động đất lên kết cấu công trình Theo phương pháp này, toàn bộ công trình xây dựng được xem như một vật thể cứng tuyệt đối đặt trên nền đất Khi có động đất xảy ra, các đặc trưng như chuyển vị ngang, vận tốc và gia tốc tại bất kỳ vị trí nào trên công trình cũng bằng các đặc trưng dao động nền tại chân công trình Với giả thiết này, tải trọng động đất lên công trình được xác định theo biểu thức [4]:

trong đó: M và Q lần lượt là khối lượng và trọng lượng của kết cấu công trình

x0,max: gia tốc cực đại của nền đất dưới chân công trình

g: gia tốc trọng trường

Ks: hệ số địa chấn

Không lâu sau khi lý thuyết tính toán tĩnh này xuất hiện, việc phân tích tác động của động đất lên kết cấu công trình đã làm nổi lên một số nhược điểm trong phương pháp của Omori Đầu tiên, có rất ít kết cấu có thể được xem là cứng tuyệt đối Khi nền đất chuyển động, đa số các công trình đều biến dạng nên chuyển vị

và gia tốc tại các vị trí khác nhau trên công trình là khác nhau, thậm chí còn lớn hơn chuyển vị và gia tốc nền đất dưới chân công trình Tiếp theo, chu kỳ dao động

tự nhiên của hệ kết cấu trùng hoặc gần trùng với chu kỳ dao động của nền đất thì

có thể xảy ra hiện tượng cộng hưởng làm hiệu ứng tác động của động đất tăng lên nhiều lần Tiếp đến là chưa xét đến độ cản của kết cấu trong quá trình dao động Năm 1920, nhà khoa học Nhật Mononobe đã đề nghị đưa các tính chất biến dạng của kết cấu vào trong tính toán tác động động đất Ông xem kết cấu như một

hệ có một bậc tự do dao động không có lực cản và giả thiết trong thời gian xảy ra động đất, nền đất chuyển động theo quy luật điều hòa sau [4]:

0( ) 0,maxsin( )

Trong phương pháp của mình, Mononobe chỉ xét tới phần dao động cưỡng bức của hệ kết cấu và đã thu được hệ số khuyếch đại động có dạng sau:

2 2 0

Năm 1927, nhà khoa học Nga Zavriev đã đưa ra các yếu tố quan trọng trong dao động tự nhiên trong giai đoạn khởi đầu của tác động động đất [4] Zavriev đã đặt nền móng đầu tiên cho cơ sở lý thuyết động lực học trong tính toán tác động động đất

Năm 1934, nhà khoa học Mỹ Biot đã đề xuất phương pháp tính tải trọng động đất bằng cách dùng các số liệu dao động nền đất thực ghi lại được khi động đất xảy ra

Năm 1949, Housner và Kahn đã đưa ra được cách xác định phổ gia tốc bằng thiết bị tương tự điện

Vào những thập niên 80 của thế kỷ XX, hàng loạt các kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm được thực hiện, quan điểm thiết kế kháng chấn mới được hình thành Theo các quan điểm mới này, các công trình được thiết kế sao cho có khả năng chịu được các trận động đất vừa và nhỏ xuất hiện ngẫu nhiên mà công trình không bị hư hỏng, khi gặp các trận động đất mạnh thì công trình không bị sụp đổ

1.2 Một số phương pháp tính toán

1.2.1 Phương pháp tính toán tĩnh tương đương

Phương pháp tính toán tĩnh tương đương (còn gọi là phương pháp lực ngang tương đương) là phương pháp tính toán đơn giản nhất trong số các phương pháp được dùng để xác định phản ứng của kết cấu chịu tác động động đất Phương pháp này giả định rằng kết cấu làm việc đàn hồi tuyến tính, còn tính phi tuyến hình học được xem xét tới một cách gián tiếp Các tải trọng ngang tác động lên chiều cao

công trình được xem là tương đương với tác động động đất và được tổ hợp với các tải trọng đứng (lực trọng trường)

Phương pháp này thường được sử dụng để thiết kế các công trình tương đối đều đặn có chu kỳ cơ bản bằng khoảng 1.5 - 2s Đối với các công trình có hình dạng không đều đặn hoặc có chu kỳ dài cần sử dụng các phương pháp động chính xác hơn như phân tích dạng hoặc phân tích lịch sử phản ứng không đàn hồi

1.2.2 Phương pháp tính toán tĩnh phi tuyến

Trong phương pháp này, sự phân bố giả định lực quán tính ngang được dựa trên giả thiết cho rằng phản ứng của công trình được kiểm soát bởi một dạng dao động duy nhất và hình dạng của dao động này giữ nguyên không đổi trong suốt thời gian phản ứng Thông thường, dạng dao động cơ bản được chọn là dạng phản ứng trội của hệ nhiều bậc tự do động, ảnh hưởng của các dạng dao động khác được xem là nhỏ và được bỏ qua Phương pháp tính toán tĩnh phi tuyến với phân

bố tải trọng ngang như vậy được gọi là phương pháp tính toán đẩy dần quy ước

và thường được dùng để tính toán phản ứng của các công trình có chiều cao thấp

và trung bình

Do tính đơn giản và khả năng xác định với độ chính xác chấp nhận được quá trình biến dạng của hệ kết cấu cũng như các bộ phận thành phần mà không cần phải thực hiện việc mô hình hóa phức tạp và tính toán công phu như tính toán động nên phương pháp tính toán đẩy dần được xem là một phương pháp hữu hiệu

và tiện lợi trong tính toán động

1.2.3 Phương pháp phân tích dạng dao động và phổ phản ứng

Phản ứng của kết cấu có nhiều bậc tự do chịu tác động động đất có thể được tính toán bằng cách phân tích hệ kết cấu thành nhiều hệ kết cấu có một bậc tự do tương đương Tính toán phản ứng mỗi hệ tương đương theo thời gian và sau đó cộng đại số các phản ứng lại để được phản ứng của kết cấu ban đầu Phương pháp này được gọi là phương pháp phân tích dạng Nếu việc tính toán chỉ nhằm xác định các đại lượng phản ứng lớn nhất thì tác động động đất sẽ được cho dưới dạng phổ phản ứng và kết quả tính toán theo phương pháp tích phân dạng dao động sẽ

là phản ứng lớn nhất của hệ kết cấu Phương pháp tính toán này có tên gọi là phương pháp phổ phản ứng Phương pháp tích phân dạng dao động cũng như phương pháp phổ phản ứng có những nhược điểm sau:

 Phụ thuộc vào việc tách một cách nhân tạo các dạng dao động

 Phải tổ hợp các kết quả tính toán ở các dạng dao động lại theo nguyên tắc cộng tác dụng nên chỉ giới hạn ở giai đoạn làm việc đàn hồi tuyến tính của vật liệu

 Không áp dụng được cho một số hệ kết cấu không sử dụng được kỹ thuật phân tích dạng

 Không cho các chỉ dẫn chính xác về sự hình thành khớp dẻo ở một số cấu kiện

1.2.4 Phương pháp tích phân trực tiếp phương trình chuyển động

Phản ứng của các hệ kết cấu chịu tác động bất kỳ hoặc động đất có thể xác định được bằng cách tích phân trực tiếp phương trình chuyển động theo thời gian Phương pháp này không cần thay đổi hoặc biến đổi các phương trình chuyển động sang hệ có một hoặc nhiều bậc tự do như ở phương pháp tích phân dạng dao động Phương pháp tích phân trực tiếp theo thời gian xác định các giá trị gần đúng của nghiệm đối với một tập hợp các giá trị thời gian T được lựa chọn Có thể tóm tắt nguyên tắc của phương pháp này như sau: (i) giả thiết các hàm mô tả sự biến thiên của chuyển vị, vận tốc và gia tốc trong một khoảng thời gian và (ii) các phương trình chuyển động không phải thỏa mãn ở tất cả ở mọi thời gian T mà

chỉ trong khoảng thời gian không đổi Δt Khoảng thời gian này được gọi là bước

thời gian Điều này cũng có nghĩa rằng điều kiện cân bằng tĩnh của các lực quán tính, lực cản và lực đàn hồi với tải trọng tác động sẽ xảy ra ở nhiều bước thời gian

Δt, 2Δt, …, nΔt, … Ở mỗi bước thời gian, phương trình chuyển động được giải

với các điều kiện ban đầu là chuyển vị, vận tốc được xác định ở bước trước đó Phương pháp tích phân trực tiếp theo thời gian có thể áp dụng cho các hệ kết cấu tuyến tính lẫn phi tuyến nên có thể xem là phương pháp tổng quát duy nhất tính toán phản ứng động của các hệ kết cấu chịu tải trọng bất kỳ

1.3 Kết luận chương 1

Chương 1 đã trình bày tóm lược lịch sử phát triển các phương pháp phân tích ứng xử của kết cấu chịu tải trọng động đất Đồng thời cũng đưa ra một số ưu nhược điểm của các phương pháp đó

Chương 2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TOÁN ĐÁP ỨNG ĐỘNG LỰC HỌC CỦA KHUNG, DẦM 2D-FGM

CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG ĐẤT

2.1 Dầm 2D-FGM

Hình 2.1 minh họa dầm 2D-FGM với chiều dài L, chiều rộng b và chiều cao

h trong hệ tọa độ Đề-các (x, z) Hệ tọa độ (x, z) được chọn sao cho trục x trùng với

mặt giữa của dầm, trục z vuông góc với mặt giữa và hướng lên trên

Hình 2.1 Mô hình dầm 2D-FGM Dầm được giả định được tạo thành từ bốn vật liệu thành phần, cụ thể là gốm

1, gốm 2, kim loại 1 và kim loại 2 Tỉ lệ thể tích của các vật liệu thành phần phân

bố theo quy luật hàm lũy thừa như sau:

trong đó Vc1, Vc2, Vm1, Vm2 lần lượt là tỉ phần thể tích của vật liệu gốm 1, gốm 2,

kim loại 1 và kim loại 2; L và h tương ứng là chiều dài và chiều cao của dầm; n z

và n x là các tham số vật liệu Hình 2.2 minh họa tỉ phần thể tích vật liệu gốm 1 và

gốm 2 khi n z và n x thay đổi

Các tính chất hữu hiệu (P) của dầm (mô-đun đàn hồi, mật độ khối, …) có thể

được đánh giá theo mô hình Voigt:

P=Vc1Pc1 + Vc2Pc2 + Vm1Pm1 + Vm2Pm2 (2.2)

trong đó P c1 , P c2 , P m1 , P m2 biểu thị các tính chất của vật liệu gốm 1, gốm 2, kim loại 1, kim loại 2 Thay phương trình (2.1) vào phương trình (2.2) ta được:

0

Hình 2.2 Tỉ phần thể Vc1 và Vc2 khi n z , n x thay đổi

2

z n

Xét một phần tử dầm có chiều dài l, trong hệ tọa độ (x, z) Trục x được chọn

trùng mặt giữa của dầm Dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko, chuyển vị dọc trục

và chuyển vị ngang của một điểm bất kì trên dầm được cho bởi:

0 0

( , , ) ( , ) z ( , t)( , z, ) ( , )

0 0.50

0 0.500.5 1

0 0.50

0 0.500.5 1

là góc quay của thiết diện ngang của dầm Biến dạng dọc trục (xx) và biến dạng trượt (xz) thu được từ phương trình (2.5) có dạng:

trong đó ( , )E x z và ( , ) G x z tương ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt hữu

hiệu của dầm, ψ là hệ số hiệu chỉnh trượt và chọn bằng 5/6 cho mặt cắt hình chữ nhật

Năng lượng biến dạng đàn hồi (U) và động năng (T) có dạng:

A

Thay biểu thức các tính chất hiệu dụng ở phương trình (2.3) vào phương trình

(2.10), ta có thể viết lại các độ cứng Aij theo dạng

L x

L x

c m

ij 2

L x

c m

I tương ứng là các mô-men khối lượng sinh ra bởi cặp vật liệu gốm 1, kim loại 1 và gốm 2, kim loại 2 Các biểu thức hiển của 1

ij 1

c m

ij 2

c m I

cũng có dạng tương tự như (2.13)

2.3 Chuyển vị nút và nội suy

Phần tử dầm 2 nút, mỗi nút gồm 3 bậc tự do với chiều dài l Véc-tơ chuyển

vị nút cho một phần tử khởi tạo (i, j) bao gồm các thành phần

u i w i i u j j w j



trong đó chỉ số trên ‘T ’ được sử dụng để chỉ chuyển vị của một véc-tơ hay một

ma trận; u w và i, i i tương ứng là chuyển vị dọc trục, chuyển vị theo phương

ngang và góc xoay tại nút thứ i; u j,w j và i tương ứng là chuyển vị dọc trục,

chuyển vị theo phương ngang và góc xoay tại nút thứ j

Chuyển vị dọc trục u(x), chuyển vị theo phương ngang w(x) và góc xoay θ(x) cho

phần tử của dầm được nội suy qua hàm dạng như sau

(2.17)

tương ứng là ma trận các hàm nội suy (hàm dạng) cho các chuyển vị dọc trục

0( , )

u x t , chuyển vị theo phương ngang w x t0( , ) và góc xoay ( , ) x t Các hàm nội

suy tuyến tính được dùng để nội suy chuyển vị dọc trục u x t0( , )và hàm nội suy

Kosmatka được sử dụng cho chuyển vị theo phương ngang w x t0( , ) và ( , ) x t

Biểu thức của các hàm nội suy như sau:

2 3

2 5

2 6

6

(1 )1

16

;(1 )

Sử dụng phép nội suy trên ta có thể viết được biểu thức cho năng lượng biến

dạng cho một phần tử dầm Ue, dưới dạng sau đây:

=2

Trong một trường hợp tổng quát, khi phần tử nghiêng so với trục ngang của

hệ tọa độ tổng quát một góc α, các ma trận độ cứng phần tử được biểu diễn:

T[kg] [ ] [ ][ ] S k S (2.24)

trong đó [kg] là ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng quát, [S] là ma trận

21

212

sự quay của thiết diện ngang

Khi phần tử nằm nghiêng so với trục ngang của hệ tọa độ tổng quát một góc

α, ma trận khối lượng phần tử có dạng

T

trong đó [mg] là ma trận khối lượng phần tử trong hệ tọa độ tổng quát, [S] là ma

trận quay được định nghĩa trong phương trình (2.25)

Từ phương trình (2.30), ma trận khối lượng tổng thể được xác định thông qua việc nối ghép:

1

[ ]

nELE

g e

e

2.6 Phương pháp tích phân trực tiếp

Phương trình chuyển động cho phân tích kết cấu chịu tải trọng động đất theo phương pháp phần tử hữu hạn có thể được viết dưới dạng [6]:

và I là véc-tơ hệ số ảnh hưởng, có giá trị 1 cho các phần tử tương ứng với bậc tự

do theo hướng chuyển động nền và có giá trị 0 cho các bậc tự do khác Một bảng

số liệu của gia tốc nền trong 20 giây đầu tiên của trận động đất El Centro xảy ra tại miền Nam California năm 1940 [6] được minh họa trong Hình 2.3

Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark được sử dụng rộng rãi trong việc tính toán đáp ứng động của kết cấu Trong đó xấp xỉ sai phân hữu hạn được dùng

để thay thế cho các đạo hàm riêng ở (2.35), tức thay thế D và D bằng sai phân của chuyển vị nút D tại các thời điểm khác nhau Ý tưởng trung tâm của phương

pháp này là phân chia tổng thời gian ΔT thành các bước thời gian nhỏ Δt Các đáp ứng động học của kết cấu được tính theo thời gian Δt, 2Δt, 3Δt, nΔt Các phương trình của chuyển động tại một thời điểm mới (n + 1)Δt là:

Có nhiều cách khác nhau có thể được sử dụng để tính toán các đáp ứng động

học tại thời điểm (n + 1) Δt, trong đó họ phương pháp tích phân trực tiếp Newmark

là rất phổ biến và được cho bởi [7]

t t

trong đó β và γ là các hằng số do người phân tích lựa chọn để kiểm soát tính hội

tụ và độ chính xác của thuật toán số

Bằng việc giải hệ phương trình (2.36), thu được:

t t