ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN CHUYÊN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Môn: Toán (Chuyên) Thời gian: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
-Câu 1 (3,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
b) Cho
Tính
Câu 2 (3,5 điểm) Cho phương trình a(a+3)x 2 - 2x - (a+1)(a+2) = 0
(a là tham số, nguyên).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm hữu tỷ
b) Xác định a để phương trình có các nghiệm đều nguyên.
Câu 3 (5,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) ;
b)
Câu 4 (2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng với
mọi x, y > 0 :
b) Cho 3 số dương a,b,c
với abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 5 (2,5 điểm) Cho
tam giác ABC thỏa mãn AB.AC = BC(AB+AC), có G là trọng tâm và BD, CE là các đường phân giác trong Chứng minh rằng 3 điểm D, E, G thẳng hàng.
Câu 6 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O Một điểm D di
động trên cung nhỏ AC Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng BE khi D di chuyển trên cung nhỏ AC.
= Hết=
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……… ……… Số báo danh:……… Chữ ký của giám thị 1:……… Chữ ký của giám thị 2:………
x Q x312x2009
13x2 3x+2 x 3 42 0
2 2
x 2y 3xy y 1
M
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Môn: Toán (chuyên)
-HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Gồm có 05 trang)
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số
II- Đáp án và thang điểm:
a) Rút gọn biểu thức:
Ta có:
Do đó:
Cách
khác:
Áp
dụng hằng đẳng thức , ta có:
= 4 – 2 = 1
Vì P > 0 nên P = 1
1,50 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
b) Tính , với :
Ta có :
1,50 đ
2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
4 3 1
(a b a b )( )a2 b2
2 3 2 3
Q x31 65 x3 65 1
2 12 1 3 65 3 65 1 2 12x
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Do đó: Q = 2-12x +12x + 2009 = 2011.
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
2 Phương trình: a(a+3)x 2 - 2x - (a+1)(a+2) = 0 3,50 đ
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hữu tỷ:
- Với a(a+3) = 0 hay a
= 0 hoặc a = -3:
Phương trình trở thành:
-2x -2 = 0 có nghiệm là x
= -1
- Với a(a+3) 0 hay a
0 và a -3 thì p/t cho là
phương trình bậc hai
Ta có:
Nên phương trình cho có 2 nghiệm:
Vì a nguyên nên suy ra phương trình cho luôn có nghiệm hữu tỷ.
-Ghi chú : Nếu thí sinh tính
Vì a nguyên nên là số nguyên
Vậy phương trình cho luôn có nghiệm hữu tỷ
1,50 đ 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ -0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ
b) Xác định a để các
nghiệm của phương
trình đều là nghiệm
nguyên:
(1) Nếu a = 0 hoặc a = -3:
phương trình có 1 nghiệm
nguyên x = -1.
(2) Nếu a 0, a -3: Theo câu a), phương trình có nghiệm x 1 = -1 nguyên nên để
p/trình có các nghiệm đều nguyên thì x 2 cũng phải là nghiệm nguyên
Nghĩa là: 2 phải chia hết cho
Khi đó ta có các khả năng xảy ra :
Vì a nguyên nên chỉ có phương trình có hai nghiệm nguyên
a = -1 hoặc a = -2
Vậy: thì phương trình cho có các nghiệm đều nguyên
2,00 đ
0,50 đ 0,50 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,50 đ
3 Giải các phương trình và hệ phương trình: 5,00 đ
a) Giải phương trình:
Điều kiện : (*)
Đặt , suy ra
3,00 đ
0,25 đ 0,25 đ
a a a a a a a a
1 2
1
1
x
x
' (a 3a 1) 0, a
2
' a 3a 1
( 3)
a a
2 2 2 2
a a
a a
3; 2; 1;0
a
13x2 3x+2 x 3 42 0
3
x
tx t x 2 t3
Trang 4Phương trình trở thành: 6t 3 +13t 2 -14t +3 = 0
Giải ra ta được: (loại)
Với , ta có: ;
Với , ta có:
Cả hai nghiệm đều thỏa điều
kiện (*)
Vậy tập nghiệm phương trình đã
cho là:
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
0,50 đ
b) Giải hệ phương trình:
Với điều kiện , hệ đã cho là:
Lấy (1) trừ (2) theo vế
ta được:
+ Với x = y, thế vào (1)
ta được: 18x -72 = 0
+ Với y = 9 – x, thế vào (2) thì phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : (x;y)= (4;4).
2,00 đ
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
a) Chứng minh : (x, y > 0)
Vì x, y > 0 nên
Do đó :
Bất đẳng thức sau cùng
đúng nên bất đẳng thức đầu
đúng
Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1.
1,00 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
(a,b,c >0; abc =
1)
Áp dung bất đẳng thức ở câu a) ta có:
Do abc = 1
nên:
=
1,50 đ
0,25 đ
t t1 t
2
t 1 11
3
x 1 x
3
t 1 26
3
x x
;
S
2 2
x y
9
x y
x y x y
4
x y
x 2y 3xy y 1
x 2y 3 0; xy y 1 0
x 2y 3xy y 1
M
b c b c
c a1 1 c a 1 1
M
ab b bc c ca a
2
1 1
abc ac a ca a
ca b abc ca 1
ca a ca a ca a
Trang 5= =1.
Do đó Dấu “=” xảy ra khi a = b
= c =1 Vậy
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ
Gọi M là trung điểm của BC (1)
Nối GD, GE Gọi P, Q là các điểm
trên tia GM sao cho:
BP //GE, CQ //GD (2)
Theo định lý Ta-lét và tính chất
đường phân giác:
Suy ra:
(vì)
GP+GQ = GA
= 2GM
Do đó M là trung điểm của PQ (3)
Kết hợp (1) và (3) suy ra tứ giác BPCQ là hình bình hành BP//CQ (4)
Từ (2) và (4) suy ra G, D, E thẳng hàng.
0,50 đ
0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
a) Phần thuận:
ABC cân
(vì cùng bù với )
Xét ADC và ADE có:
AD: chung ; DC = DE (giả thiết)
(cmt)
Suy ra ADC = ADE (c.g.c)
Do đó AC=AE=AB ABE cân tại A
Vì M là trung điểm BE nên.
Hơn nữa do AB cố định nên M lưu động trên đường tròn đường kính AB.
b) Giới hạn: Khi D A thì M A; D C thì M H (AH là đ/cao của ABC).
c) Phần đảo:
Lấy điểm M bất kỳ trên Gọi D là giao điểm thứ 2 của BM và đường tròn
(O) Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC
Ta sẽ chứng minh M là trung điểm của BE
Xét ADC và ADE có:
AD: chung ; DC = DE (giả thiết)
(cùng bù với )
Suy ra ADC = ADE (c.g.c)
0,50 đ
0,50 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ
0,50 đ
1 2
ax(M) =
2
M
;
GA GQEA DCCA BC
GA DA BA
GA GA CA( BA ) 1
BC AB AC( )AB AC
ABCACBADB
ADE ABCADC
ADCADE
AMB 900
AH
ADC ABCADE
H M
E A
O
C B
D
Q P D
G
M
E
C
Trang 6AC=AE=AB (1)
Lại có AM BE (M nằm trên đường tròn đường kính AB) (2)
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của BE.
d) Kết luận: Khi D di động trên cung nhỏ thì quĩ tích của M là cung nhỏ
của đường tròn đường kính AB
0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ
AC
AH
