ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN CHUYÊN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN CHUYÊN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

së GD&®t qu¶ng b×nh kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt

n¨m häc 2012 - 2013

(ĐỀ CHÍNH THỨC) Khoá ngày 04 - 07 - 2012

Họ tên : Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

SBD:

Đề thi gồm có 01 trang

Câu 1: (2,0 điểm) Cho phương trình: 2

x  2x4a 0 (x là ẩn số) Giả sử hai nghiệm

x , x của phương trình là số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác

a) Tìm các giá trị của a để diện tích của tam giác vuông bằng 1

3 (đơn vị diện tích).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2

1 2

4

A x x

x x

Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình:

2

1

x 3 x 

Câu 3: (1,5 điểm) Cho các số thực a, b, c thoả mãn: abbcca 2

Chứng minh: 4 4 4 4

3

Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp trong đường tròn (O).

Trên cung BC không chứa A, lấy điểm M tuỳ ý (M khác C) P là điểm trên cạnh BC sao cho BAMPAC Trên các tia AB, AC lấy lần lượt các điểm E, F sao cho BE =

CF = BC

a) Chứng minh: ABPAMC và MC.ABMB.ACMA.BC

b) Chứng minh: MA MB MC MB.AE MC.AF

BC



c) Xác định vị trí điểm N trên đường tròn (O) để tổng NA + NB + NC lớn nhất

Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số nguyên a, b, c, d và số nguyên dương p Chứng minh

a  b c d, a b c d chia hết cho p thì 4 4 4 4

a b c d 4abcd

cũng chia hết cho p

HÕT

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013

Khóa ngày 04 - 07 - 2012 Môn: TOÁN (CHUYÊN)

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rõ ràng.

* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan.

* Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0.25 điểm Đối với điểm thành phần là 0.5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0.25 điểm.

* Học sinh không vẽ hình đối với Câu 4 thì cho điểm 0 đối với Câu 4 Trường hợp học sinh có vẽ hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì cho điểm 0 ở ý đó

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm của từng câu.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.

1a

Điều kiện để hai nghiệm x , x1 2 của phương trình là số đo hai cạnh

góc vuông của tam giác là 1 2

' 0

x x 0

 











0,25

1 4a 0

1

4

2 0







0,25

Vì x , x1 2 là số đo hai cạnh góc vuông nên diện tích tam giác là

1x x1 2 1

0,25

.4a

1

a (tho¶ m·n)

6

0,25

Lưu ý: học sinh không tìm điều kiện phương trình có hai nghiệm dương mà

kết quả đúng cho 0,5 điểm.

1b

Ta có: 1 2

1 2

4a 1 3

4a 4a

0,25

Với 0 a 1

4

  , ta có: 4a 1 2 vµ 3 3

 A5

0,25

1 4a

1 4a

4 1

a 4









Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 5 khi a 1

4



0,25

2

2,0điểm

Ta có hệ phương trình

1 1

1

x y









0,25

2

2

x y xy (x y) 2xy 3

x y xy



 





 



0,25

x y 3

(v« nghiÖm)

xy 3

  













  

 



 



0,25

x

2 (tho¶ m·n)

y

x

2

(lo¹i)

y

2

   



 

 

  



 

 







 









 



0,5

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1 5

2

 

Ta có a b c a b b c c a , a, b, c  

 3a4 b4 c4 3(a2 2b b2c2 c2a2),a, ,b c  0,5

và  2 2 2 2 2 2  2

3 a b b c c a  abbcca , a, b, c   0,5

4 4 4 1 2 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b c

3

ab bc ca 2

 







0,25

Hình vẽ

0,25

4a

Ta có: ABPAMC (cùng chắn cung AC)

BAMPAC  BAP MAC

Nên: ABPAMC

0,25 0,25

Suy ra: AB BP MC.AB MA.BP

Mặt khác: BMABCA , BAMPAC  ABMAPC 0,25

Từ (1) và (2) suy ra: MC.ABMB.ACMA.BC 0,25

4b

Từ kết quả câu a) ta có:MA MB.AC MC.AB

= MB AC BC MC AB BC



0,25

E

F

A

M

P

= MB AC CE MC AB BF



MB.AE MC.AF

BC





0,25

4c

Xét trường hợp N thuộc cung BC không chứa A

- Nếu N khác C theo kết quả câu b) ta có

NA NB NC NB.AE NC.AF

BC



- Nếu N trùng C, ta thấy (3) vẫn đúng

Mặt khác

2(NB.AF) NC.AE NB AF NC AE

Từ (3) và (4) suy ra NANBNCEF

0,25

0,25

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NB.AF=NC.AE hay NBCAEF 0,25

Xét trường hợp N thuộc cung BC chứa A, lấy N' đối xứng với N qua

BC, khi đó N' thuộc cung BC không chứa A, N'A < NA, N'B = NB,

N'C = NC Áp dụng trường hợp trên ta có:

NA + NB + NC < N'A + N'B + N'C  EF

Vậy trong mọi trường hợp thì NA + NB + NC có giá trị lớn nhất là

EF, đạt được khi NBCAEF

0,25

5

1,0 điểm

Xét f(x) (x a)(x b)(x c)(x d)     0,25

Ta biểu diễn f(x) dưới dạng:

f(x)x  Ax Bx Cxabcd

Với : A   a b c d chia hết cho p

0,25

Ta có:

0f(a)f(b)f(c)f(d)

C(a b c d) 4abcd

0,25

Suy ra:

C(a b c d)

a  b c d, a b c d chia hết cho p nên

a b c d 4abcd chia hết cho p

0,25