The numerical solution of partial differential equations requires some discretization of the field into a collection of points. The differential equations are approximated by a set of algebraic equations on this collection. This system of algebraic equations is then solved to produce a set of discrete values which approximate the solution of the partial differential system over the field. The discretization of the field requires some organization for the solution thereon to be efficient, it must be possible to readily identify the points neighboring the computation site. Furthermore, the discretization must conform to the boundaries of the region in such a way that boundary conditions can be accurately represented. The boundaries of the flame are not straight lines, how to determine grid points inside physical region which be used to solves equations of twophase non-isothermal swirling turbulent flow in industrial combustion chamber is presented in this paper. Generalizing from the above consideration, the computational region may be treated as follows: x(x,y) and h(x,y) on the boundaries of the flame in manner: Set, h = constant, x = monotonically varying along the boundary of the physical region, and set, x = constant, h = monotonically varying along the boundary of the physical region. The grid points inside computational region will be deformed into rectangle to form the transformed region. After that, the inside points of physical region will be determined as follows: x(x,h) and y(x,h)... Here we consider the situations in which Cartesian coordinates are used both in the physical and computational regions
Trang 1Tạp chí KHKT Nông nghiệp 2006 Tập IV, số 6:111-115 Đại học Nông nghiệp I
ứng dụng kỹ thuật tạo lưới trong bài toán mô phỏng dòng phun rối
xoáy hai pha không đẳng nhiệt
An application of grid generation technology to simulate Two-phase Non-isothermal
swirling turbulent Flow Nguyễn Thanh Nam1, Nguyễn Thanh Hào2, Hoàng Đức Liên3
SUMMARY
The numerical solution of partial differential equations requires some discretization of the field into a collection of points The differential equations are approximated by a set of algebraic equations on this collection This system of algebraic equations is then solved to produce a set
of discrete values which approximate the solution of the partial differential system over the field The discretization of the field requires some organization for the solution thereon to be efficient,
it must be possible to readily identify the points neighboring the computation site Furthermore, the discretization must conform to the boundaries of the region in such a way that boundary conditions can be accurately represented The boundaries of the flame are not straight lines, how to determine grid points inside physical region which be used to solves equations of two-phase non-isothermal swirling turbulent flow in industrial combustion chamber is presented in this paper Generalizing from the above consideration, the computational region may be treated
as follows: ξ(x,y) and η(x,y) on the boundaries of the flame in manner: Set, η = constant, ξ = monotonically varying along the boundary of the physical region, and set, ξ = constant, η = monotonically varying along the boundary of the physical region The grid points inside computational region will be deformed into rectangle to form the transformed region After that, the inside points of physical region will be determined as follows: x(ξ,η) and y(ξ,η) Here we consider the situations in which Cartesian coordinates are used both in the physical and computational regions
Key words: grid generation technology, two-phase, non-isothermal swirling turbulent flow
1 ĐặT VấN Đề
Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn có
thể dễ dàng giải các bài toán có miền khảo sát
dạng hình chữ nhật Tuy nhiên, khi giải bài
toán mô phỏng dòng phun rối xoáy hai pha
không đẳng nhiệt bằng phương pháp này lại gặp rất nhiều khó khăn vì biên dạng của dòng phun là đường cong đối xứng qua trục toạ độ (Hình 3.1a) Xét phương trình vi phân tổng quát của dòng phun rối xoáy hai pha không
đẳng nhiệt có dạng:
0
∂
∂
∂
∂
ư
∂
∂
∂
∂
ư
∂
∂
∂
∂
ư
∂
∂
∂
∂
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ψ ϕ ψ
r
c r b r z
c r b z z r r z
Trong đó: aϕ, bϕ, cϕ, dϕ là các hệ số, ψ là hàm của đường dòng và ϕ là biến số
1 Khoa Cơ khí, Đại học Bách khoa TP HCM
2 Khoa Cơ khí, Đại học Công nghiệp TP HCM
3 Khoa Cơ - Điện, Đại học Nông nghiệp I
Trang 2Theo Phương pháp sai phân hữu hạn,
phương trình tổng quát (1.1) sẽ được rời rạc
hoá bằng cách thay thế các biểu thức vi phân
bằng các tỷ sai phân tương ứng, để chuyển
phương trình vi phân (1.1) về dạng phương
trình đại số Sau đó sử dụng thuật toán nội
suy kết hợp với phương pháp lặp giữa các
điểm nằm trên biên với các điểm bên trong
miền vật lý để giải hệ phương trình đại số
Nhưng việc nội suy này không thực hiện
được hoặc phải chấp nhận sai số rất lớn, do
biên dạng của phương trình tổng quát (1.1) là
một đường cong, nên khi tiến hành chia lưới
miền khảo sát dạng lưới hình chữ nhật sẽ có
một số nút lưới không nằm trên biên của
miền vật lý mà chúng chỉ nằm gần biên hoặc
rơi ra khỏi miền vật lý Vấn đề này sẽ được
giải quyết khi ta chuyển hệ trục toạ độ từ
miền vật lý có biên dạng là một đương cong
về miền tính toán có biên dạng là đường
thẳng (hình 3.1), trong đó khoảng cách giữa
các nút lưới theo phương x là đều nhau, còn
khoảng cách giữa các nút lưới theo phương y
là không đều
2 MÔ HìNH TíNH TOáN CHUYểN ĐổI LƯớI
Trình tự chuyển đổi hệ trục toạ độ từ
miền vật lý (x,y) sang miền tính toán (ξη) bao
gồm các bước cơ bản như sau (M.Necati
Ozisik, 2000):
- Xác định mối quan hệ giữa hệ trục toạ
độ từ miền vật lý (x,y) và hệ trục toạ độ tính
toán (ξη) bới các phương trình vi phân Laplas
hoặc phương trình Poison của elliptic
- Chuyển đổi toạ độ từ miền vật lý (x,y)
sang miền tính toán (ξ,η) trong hệ trục toạ độ
Đề các
- Chuyển đổi các phương trình vi phân
trong miền vật lý thành các phương trình vi
phân trong miền tính toán
- Giải các phương trình trong miền tính
toán, sau đó chuyển kết quả tìm được trong
miền tính toán thành miền vật lý ban đầu
Xét một phương trình vi phân riêng phần
có các biến độc lập x,y trong miền vật lý
Phép biến đổi từ các biến x,y sang các biến ξ,η có thể được biểu diễn như sau:
ξ ≡ ξ(x,y); η ≡ η(x,y) (2.1a,b)
Và phép biến đổi ngược là x ≡ ξ,η;
Phép biến đổi Jacobi J được đưa ra như sau (Courant, 1956):
0 ,
,
≠
ư
=
ư
ư
=
η η
ξ ξ η
y x y x J J
(2.3) Trong đó:
η
ξ
∂
∂
=
∂
∂
Theo định luật Cramer, ta có:
η
η ξ
J
y
x
1 ,
1
ư
=
ξ
ξ η
J
y
x
1 , 1
=
ư
Quan hệ giữa các nút lưới trên biên của miền vật lý trong hệ toạ độ Đề các (x,y) và các nút lưới trên biên của miền tính toán trong hệ toạ độ Đề các (ξ,η) (Joe F.Thompson, Z.U.A.Warsi, C.Wayne Mastin, 1985) là:
η = hằng số, ξ = thay đổi tuyến tính dọc theo biên của miền vật lý
ξ = hằng số, η = thay đổi tuyến tính dọc theo biên của miền vật lý
Bước tiếp theo là chuyển đổi các toạ độ lưới bên trong miền vật lý sang miền tính toán với
điều kiện các đường toạ độ có xu hướng cách
đều nhau ở trong miền và các giá trị ξ,η thoả msn phương trình Poisson (Joe F.Thompson, Z.U.A.Warsi, C.Wayne Mastin, 1985):
0 2 2 2
2
=
∂
∂ +
∂
∂
y x
ξ ξ
(2.6a)
0 2 2 2
2
=
∂
∂ +
∂
∂
y x
η η
(2.6b)
Tuy nhiên, khi tiến hành giải các phương trình (2.6) bằng phương pháp sai phân hữu hạn
để xác định tính chất của dòng phun, ta phải tiến hành giải bài toán ngược đó là xác định
Trang 3giá trị các toạ độ x,y tương ứng với các giá trị
các toạ độ ξ,η đs biết trong miền tính toán
Khi đó phương trình (2.6) trở thành:
0 2
2
2 2
2
2
=
∂
∂ +
∂
∂
∂
ư
∂
∂
η
γ η ξ
β
ξ
0
2 2
2
2
=
∂
∂ +
∂
∂
∂
ư
∂
∂
η
γ η ξ
β
ξ
Trong đó các hệ số hình học a, b, g và ma
trận Jacobi được xác định như sau:
2 2
∂
∂ +
∂
∂
=
η η
η ξ η
ξ
β
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
2 2
∂
∂ +
∂
∂
=
ξ ξ
ξ η η
∂
∂
∂
ư
∂
∂
∂
∂
Giả sử các bước lưới Dξ = Dh = 1 áp dụng khai triển chuỗi Taylor, ta có:
) (
2
1 ) (fξ ,j = f i+1,j ư f iư1,j (2.9a)
) (
2
1 ) (fη ,j = f,j+1ư f,jư1 (2.9b)
) 2
( )
) 2
( )
) (
4
1 ) (fξη ,j= f i+1,j+1ư f iư1,j+1ư f i+1,jư1+ f iư1,jư1 (2.9e) Trong đó f ≡ x hoặc y và các chỉ số i và j tương ứng liên hệ với ξ và h
Các biểu thức sai phân hữu hạn cho bởi phương trình (2.9) được thay vào phương trình (2.7),
ta có:
) (
) (
5 0 ) (
[
5
0
1 , 1 , 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 ,
1 , 1
+
γ
Trong đó đại lượng a, b, g và ma trận J được coi là các hệ số và được tính bằng sai phân hữu hạn sau khi làm trễ một bước lặp:
1 , 1 , ,
4
1
ư
,
4
1
ư +
ư
1 , 1 , ,
4
1
,
2
1
ư
3 KếT QUả TíNH TOáN
Việc tính toán được thực hiện trên máy
tính, chương trình tạo lưới tự động được xây
dựng bằng phần mềm Matlab 6.5 trong đó
toạ độ các nút lưới trong miền vật lý (x, y) hoàn toàn được xác định tương ứng với lưới hình chữ nhật trong miền tính toán (ξ, η)
Trang 4Với giả thiết khoảng cách giữa các nút
lưới theo phương x là đều nhau, còn khoảng
cách các nút lưới theo phương y là không đều
cho ta ma trận điểm và đồ thị chia lưới sau
khi chạy chương trình Số lượng các nút lưới
theo phương x, y và dung sai cho phép (độ hội tụ) được nhập vào theo yêu cầu của người
sử dụng
Ma trận kết quả của biến y = f(x)
a) Chia lưới miền vật lý b) Chia lưới miền tính toán
Hình 3-1 Kết quả phân bố lưới của dòng phun rối xoáy hai pha không đẳng nhiệt
sau khi chạy chương trình
4 KếT LUậN
ứng dụng kỹ thuật tạo lưới cho phép ta
giải bài toán mô phỏng dòng phun rối xoáy
hai pha không đẳng nhiệt trong buồng đốt
công nghiệp một cách rất dễ dàng và chính
xác bằng phương pháp sai phân hữu hạn
Nghiệm nhận được từ chương trình đạt độ
chính xác mong muốn vì dung sai cho phép và
số nút lưới trên biên của miền vật lý là do người sử dụng chương trình trực tiếp nhập vào Chương trình còn có thể ứng dụng trong các bài toán dẫn nhiệt trong mặt hình học không đều, đối lưu tự nhiên trong hình bao không đều
Ngoài ra kỹ thuật tạo lưới còn có thể ứng dụng trong việc chia lưới các miền vật lý có
Trang 5h×nh d¹ng phøc t¹p kh¸c trong tù nhiªn còng
nh− trong kü thuËt
Tµi liÖu tham kh¶o
Joe F.Thompson, Z.U.A.Warsi, C.Wayne
Mastin (1985) Numerical Grid
Generation Foundations and
Applications, Elsevier Science
Publishing Co - Inc pp 7
P.D.Thomas, J.F.Middlecoff (1979) Direct
Control of the Grid Point Distribution in
Meshes Generated by Elliptic
Equations AIAA Journal Vol.18 -
No.6 pp 1462
M.Necati Ozisik (2000) Finite Difference Methods in Heat Transfer CRC Press
Pp 307 ÷ 333
Courant, R (1956) Differential and Integral Calculus Blackie & Son, Ltd., London
Pp 133
NguyÔn Hoµi S¬n (chñ biªn), §ç Thanh ViÖt, Bïi Xu©n L©m (2002) øng dông Matlab trong tÝnh to¸n kü thuËt Nhµ xuÊt b¶n §¹i häc Quèc gia Tp HCM Trang 13 ÷ 49
C«ng tr×nh ®−îc sù hç trî quÝ b¸u cña ch−¬ng tr×nh nghiªn cøu c¬ b¶n trong khoa häc tù nhiªn C¸c t¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
