ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT VÒNG 1 NĂM 2012 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT VÒNG 1 NĂM 2012 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM 2012-VÒNG 1 LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B

- Ngày thi:23/10/2012

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút( không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (6,0 điểm)

a) Giải hệ phương

trình: ,với

b) Giải phương trình: ,với

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ toạ

độ §, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình: § Đường cao kẻ từ B có phương trình: §, điểm § thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.

b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó

không cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh rằng:

Câu 3: (3,0 điểm)

Cho dãy số(un) xác định như sau :

a) Chứng

minh:

b) Tính:

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng:

a)

b)

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho hệ phương trình

Tìm m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm với

x,y.

…….HẾT……

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………

Chữ ký giám thị 1:……….Chữ ký giám thị 2:……….

2







,

x y  

x  x   x  x   x

Oxy

2 x y x y   M      1;1 1 0 2 0 

1

1

2

2 1

1 ( 2 1)

n n

n

u

u

u



 







8  



2015

u

a  b  c    a b c

1

2

3 2

2

3









 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM

2012-VÒNG 1

LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B

- Ngày thi:23/10/2012

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1a

0,5 0,5

Thế (1) vào (2) ta có:

Kết hợp (1) ta có:

0,5

Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(Thỏa đk) Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2). 0,25

Câu 1b

Từ pt ta thấy

1,0

0,5

Câu 2a

(2,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ

§, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có

phương trình § Đường cao kẻ từ B có phương trình §, điểm § thuộc đường

cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC

2





 x+y 0, x-y 0 

u x y

v x y

 





 



0, 0



3 (2) 2

uv







2

0 4

uv

u v







 



4 0 0 4

u v u v

 













 

 



 

0

u v





 





2( 2 1) 1 3 2 1 3 3

0

x

2 2

1 , 2

x

2

3

2

9 14 0

t

t





 1

x

Oxy

2x y x y   M1;11 02 0

Toạ độ B là nghiệm của hệ

Gọi d là đường thẳng qua M song

song với BC

0,25

Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B Toạ độ N là nghiệm của hệ

Gọi E là trung điểm BC Do tam

giác ABC cân nên IE là đường

trung trực BC, IE đi qua I vuông

góc với BC

0,5

Toạ độ E là nghiệm của hệ

0,5

CA đi qua C vuông góc với BN suy

ra

0,25

Toạ đô A là nghiệm của hệ

0,25

Câu 2b

(2,5 điểm)

Trong mặt phẳng cho

bốn điệm phân biệt

A,B,C,D và không cùng nằm trên đường thẳng Chứng minh rằng:

Giả sử trong hệ trục đó ta

có:

0,25

0,5

a) Chứng minh:

b)Tính:

Câu 3a

(1,0 điểm)

Ta có :

0,25 0,25

1 0

x y

x y

  







3; 4

1 0

x y

x y





  



4; 5

5

; 2 2

13

2

13

, 2

E

x y





;

8

5

13

2 8 0 5

x y









;

Oxy

,

A C Ox B Oy   ( ,0), ( ,0), (0, ), ( , )

( ,0)

A aC c ( ,0)a c



















) 1 2 ( 1 1 2 2 1 1

n u u u u

n n n



2015

u

2

2 tan 8

8





2

I

A

N M

E

Câu 3b

(2,0 điểm)

Đặt , ta có:

,

0,25

Ta chứng minh : (*)

Với n = 1 đúng

Giả sử (*) đúng với n = k ,

Ta có:

Vậy (*) đúng

0,25

Cho n = 2015,

ta có :

0,25

Câu 4

Cho ba số dương a, b c thoả mãn abc = 1

a) b)

Câu 4a

(1,0 điểm)

0,25

Câu 4b

0,5

0,5

8

8





 







8

tan 8



3

tan( ) tan

8

1 tan tan( )

a

a



2

tan tan

8

1 tan tan

8

a

a











8

n

1

k 

tan( ( 1) )

8

k

1

tan( ( 1) ) tan

tan( )

8

1 ( 2 1) 1 tan( ( 1) ).tan

k k

k

u





8

n

2015



2 1



( 2 1) tan

8



a  b  c    a b c

1

a b 1 b c 1 c a 1        

a2   1 2 a

b c2     1 2 b c

Tương tự:

0,25

Vậy:

Đẳng thức xảy ra

Câu 5

(3,0 điểm)

Cho hệ phương trình

Tìm m để hệ phương trinh

có nhiều hơn hai nghiệm

(1)

Thế vào (2)

0,25

Hpt có nhiều hơn hai nghiệm khi pt

(*) có ba nghiệm phân biệt có hai

0,5

0,5

Ghi chú: Thí sinh giải khác hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn chấm điểm theo thang

điểm tương ứng.

b c 1   bc a  b c  bc a  b c  a b c

c a 1   ca a  b c  ca a  b c  a  b c

1

2

3 (1) 2

2

3







2

2

2

( )

f y

1y y1, 22 ( ) ( ) 0

f y f y

( )

f y  0

m 

0

m









 ( , 2) (2, )

m