ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT VÒNG 1 NĂM 2012 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN, BẢNG A
Ngày thi: 23/10/2012
Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)
Câu 1: ( 5,0 điểm )
a Giải phương trình sau trên tập số thực:
b Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: .
Câu 2: ( 5,0 điểm )
a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hai điểm Tìm trên trục hoành điểm M sao
cho
b Cho tam giác đều, cạnh bằng , trọng tâm là Một đường thẳng đi qua , cắt các đoạn thẳng và lần lượt tại hai điểm và sao cho Tính diện tích tam giác
Câu 3: ( 4,0 điểm )
Cho dãy số được xác định bởi và với mọi
a Chứng minh rằng:
b Tính tổng theo
Câu 4: ( 3,0 điểm )
Cho các số thực dương
a Chứng minh rằng:
b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 5: ( 3,0 điểm )
Cho hàm số có đồ thị là , là tham số Tìm các giá trị của để trên có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của tại điểm đó vuông góc với đường thẳng
x x x
2
8 12
xy y xy x y
Oxy
1;2 , 4;3
AMB ABC 6cm AC AB M G G N
2 AM AMN 3 AN
1un 1
u
u u
Trang 2Họ và tên thí sinh:………;Số báo danh:…………
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
LONG AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1)
Môn: TOÁN, BẢNG A Ngày thi: 23/10/2012
ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn này có 03 trang )
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định
1
(5,0 điểm)
a ( 2,5 điểm )
Điều kiện: Đặt (),
0,25
Suy ra
0,25 0,25
0,25
Do vậy
0,5
Thay vào, thử lại thấy
thỏa mãn
Đáp số:
0,25 0,25
b ( 2,5 điểm )
Đặt , hệ trở thành:
0,5
Giải hệ tìm được hay
0,25 + 0,25
Với ta tìm được: hoặc
0,25 + 0,25
1 2
x 1 2
2
1 2
2
2
1 1 2 1 0
32
32
32
, 1
u v
u v
2 6
u v
6 2
u v
2 6
u v
2
x y
2 3
x y
Trang 4Với ta tìm được: ,
0,25
Kết luận : Hệ đã cho có các nghiệm
, , , ,
0,5
2
(5,0 điểm)
a ( 2,5 điểm )
Ta có:
0,25 + 0,25
0,25 + 0,25
hay
0,25 + 0,25
Với thì Đường tròn
tâm I bán kính IA có
Với thì Đường tròn tâm I, bán kính IA không cắt trục
b ( 2,5 điểm )
Đặt với
,
0,25 + 0,25
,
0,25 + 0,25
Nên ta có:
0,25
Giải hệ tìm được
0,5
Diện tích cần tìm:
0,5
6 2
u v
2 1
x y
3 1
x y
2
x y
2
x y
2 3
x y
2 1
x y
3 1
x y
2
x y
;
I x y
AI BI
2 2
x y
3 1
x y
2 4
x y
3;1
IA
x 3M M22 1 1;05;0y 12 5
2; 4
IA
,
AM x0,x AN y0y
0
AMG
x
ANG
y
0
AMN
xy
S S AMN AM ANS AMGS ANG
5 10 3
AMN
xy
2
cm
Trang 5Câu Đáp án Thang điểm 3
(4,0 điểm)
a 2,0 điểm
b 2,0 điểm
0,5 + 0,5 0,5 + 0,5
4
(3,0 điểm)
a 1,5 điểm
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
Đẳng thức xảy ra khi
0,5
b 1,5 điểm
Đặt , ta có:
0,5
0,25 + 0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của
5
(3,0 điểm)
Tiếp tuyến có hệ
số góc bằng 2
0,25 + 0,25
Ta tìm :có đúng
một nghiệm âm
0,5
, yêu cầu bài toán xảy
Kết luận:
0,5
k
1
1 2k 1
k
1
1 2k 2k 1 2k 2k 1
1
2 1
n
n
2 2
1 2
2
t c
2
P9
16
1 2
/ 2 2( 1) 4 3
m
2 2( 1) 4 3 2
*
x 1 mx 3m 2 0 x 1
0
m
0
2 3
3
m m
0 2 3
m m