Tìm tòi lời giải bài toán theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh

Ở trường phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với HS, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán. Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá. Khối lượng bài tập Toán ở trường phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài toán có thuật giải, nhưng phần lớn là những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải. Đứng trước những bài toán đó, GV gợi ý và hướng dẫn HS như thế nào để giúp họ tìm ra phương pháp giải là một vấn đề hết sức quan trọng. Kĩ năng giải Toán thường thể hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán. Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra. Bồi dưỡng năng lực phát hiện phương pháp giải Toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của HS, để HS có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết, HS cũng thấy được mỗi lời giải bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy của HS mà phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân người giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh... Ở trường tôi học sinh chủ yếu là học sinh yếu kém nên khi đứng trước một bài toán không biết bắt đầu từ đâu và giải như thế nào? Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài là: “Tìm tòi lời giải bài Toán theo hướng tích cực hoá hoạt động của học sinh”.

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KỲ SƠN

-o0o -Tìm tòi lời giải bài Toán theo hướng tích cực hoá hoạt động của học sinh

Giáo viên : Bùi Tiến Dũng

Dạy môn: Toán

Tổ Chuyên môn : Toán

và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đãhọc, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các

phân môn toán học khác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó vàoviệc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra

Bồi dưỡng năng lực phát hiện phương pháp giải Toán có vai trò quan trọng

trong việc phát triển khả năng tư duy của HS, để HS có khả năng thích ứngkhi đứng trước một vấn đề cần giải quyết, HS cũng thấy được mỗi lời giải bàitoán như là một quá trình suy luận, tư duy của HS mà phương pháp giảikhông chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm

lý của bản thân người giải Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thểđược phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, sosánh

Ở trường tôi học sinh chủ yếu là học sinh yếu kém nên khi đứng trước một bàitoán không biết bắt đầu từ đâu và giải như thế nào?

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài là: “Tìm tòi lời giải bài Toán

theo hướng tích cực hoá hoạt động của học sinh”.

PHẦN II: NỘI DUNG

I MỘT SỐ CƠ SỞ LÍ LUẬN

1 Phương pháp giải Toán

Thuật ngữ Phương pháp là con đường, cách thức thực hiện một kiểu nhiệm

vụ nào đó, nhằm đạt tới kết quả đạt được mục đích đặt ra

Phương pháp giải Toán (hay phương pháp tìm lời giải bài toán) là cách

thức và ứng xử của người làm toán khi đứng trước một bài toán để gây nên

những hoạt động tư duy của bản thân nhằm tìm ra lời giải của bài toán đó Những hoạt động tư duy bao gồm: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự, quy nạp, phân tích, tổng hợp, so sánh… đặc biệt là suy luận có lý.

2 Tiến trình giải một bài toán.

Theo G Polya thì “Giải một bài toán, chúng ta phải lập được một lược

đồ xác định và mạch lạc những thao tác (lôgic, toán học hay thực tiễn) bắt đầu bằng giả thiết và kết thúc bằng kết luận, dẫn dắt các kết luận đến ẩn, từ các đối tượng mà ta có trong tay đến các đối tượng ta muốn đạt tới”.

Tiến trình giải toán gồm 5 bước cơ bản sau:

Bước1: Tiếp nhận bài toán:

Tạo tâm lý hứng thú, thu hút tâm trí vào việc giải toán, khêu gợi trí tò

mò, lòng ham thích, khát vọng, quyết tâm giải bài toán, tìm tòi bài toán

Tiếp cận với kế hoạch giải bài toán: Hiểu và phân tích bài toán, làm rõmối quan hệ giữa giả thiết và kết luận Phân tích gạt bỏ yếu tố không bảnchất, chỉ giữ lại quan hệ Toán học

Bước 2: Xây dựng kế hoạch giải bài toán.

Phát biểu các mối quan hệ định tính và định lượng được thể hiện trong

kế hoạch giải bài toán

Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải bài toán.

Kế hoạch giải khi mới thiết lập vẫn còn ở dạng ý nghĩ tổng quát, do đóđòi hỏi học sinh phải đưa vào thực hiện qua hệ thống hành động giải toán vàhoàn thiện những chi tiết phù hợp với nó

Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải toán.

Kiểm tra kết quả bằng định tính và định lượng, chân lý của lời giải.Phát hiện và xử lý những sai lầm về hình thức, về lôgic hay khái niệm đểtiến trình giải toán mang tính tối ưu

Bước 5: Thu nhận, phức hợp hoá bài toán.

Nghiên cứu lời giải bài toán, có thể tìm tòi bài toán bằng cách độc đáomới lạ Nhìn bài toán theo quan điểm toàn diện ở nhiều góc độ khác nhau đểtìm cách giải tốt nhất, tối ưu nhất

3 Phân tích bài toán để tìm cách giải.

Cần trả lời câu hỏi: “Muốn giải bài toán đã cho cần phải biết những

gì? phải sử dụng những phép biến đổi nào? cơ sở lí thuyết trong việc giải toán? Trong đó những cái gì đã biết? cái gì chưa biết? Muốn tìm cái chưa biết thì phải biết những gì? ”.

Tiến trình giải một bài toán cụ thể có 3 mức độ của năng lực phát hiện

phương pháp giải Toán:

+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán đặt ra + Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương pháp

giải Toán thích hợp

+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảy sinh

các vấn đề, tình huống vấn đề, các nhu cầu hoặc khó khăn, mâu thuẫn cần giảiquyết trong bài toán và việc "phán xét", cách tiếp cận, giải quyết các vấn đềtrong tiến trình giải Toán

4 Kỹ năng đặt câu hỏi

Sự thành công của GV trong những giờ lên lớp là đưa ra những câu hỏi hợp

lý, câu hỏi khiến HS cảm thấy nhu cầu cần giải đáp và có thể có khả năng giải

đáp, sau đó cần lắng nghe câu trả lời Các câu hỏi mà GV đặt ra cho HS cónhiều nhóm:

a) Nhóm câu hỏi “biết” nhằm kiểm tra trí nhớ của HS về các dữ kiện, số

liệu, các định nghĩa, định lý, quy tắc, khái niệm Nhóm câu hỏi này giúp HS

ôn lại được những gì đã biết mà điều quan trọng hơn, điều đã biết đó sẽ là chỗdựa cho những điều chưa biết

b) Nhóm câu hỏi “hiểu” nhằm kiểm tra HS cách liên hệ, kết nối các dữ

kiện, số liệu, các đặc điểm khi tiếp nhận thông tin Nhóm câu hỏi này giúp

HS có khả năng nêu ra được những vấn đề cơ bản, biết cách so sánh các yếu

tố, các sự kiện trong bài học

c) Nhóm câu hỏi “áp dụng” nhằm kiểm tra khả năng áp dụng những

thông tin đã thu được (các dữ kiện, số liệu, các đặc điểm ) vào tình huốngmới Nhóm câu hỏi này giúp HS hiểu được nội dung kiến thức, các khái niệm,định luật, biết cách lựa chọn nhiều phương pháp để giải quyết vấn đề

d) Nhóm câu hỏi “phân tích” nhằm kiểm tra khả năng phân tích nội dung

vấn đề, từ đó tìm ra mối liên hệ, hoặc chứng minh luận điểm, hoặc đi đến kếtluận Nhóm câu hỏi này giúp HS suy nghĩ, tìm ra được các mối quan hệ tronghiện tượng, sự kiện, tự diễn giải hoặc đưa ra kết luận riêng

e) Nhóm câu hỏi “tổng hợp” nhằm kiểm tra khả năng của HS có thể đưa ra

dự đoán, cách giải quyết vấn đề, các câu trả lời hoặc đề xuất có tính sáng tạo.Nhóm câu hỏi này kích thích sự sáng tạo của HS, hướng các em tìm ra nhữngnhân tố mới

f) Nhóm câu hỏi “đánh giá” nhằm kiểm tra khả năng đóng góp ý kiến,

sự phán đoán của HS trong việc nhận định, đánh giá các ý tưởng, sự kiện,hiện tượng dựa trên các tiêu chí đã đưa ra Nhóm câu hỏi này thúc đẩy sựtìm tòi tri thức, sự xác định giá trị của HS

5 Kỹ năng giải thích

Giải thích là phương pháp mà GV dùng lời và các phương tiện phi ngôn ngữkhác để làm sáng tỏ một vấn đề nào đó, tạo ra sự liên kết giữa vấn đề đó với kinh nghiệm hiện có của người học, qua đó giúp người học lĩnh hội được nó

Để việc giải thích một vấn đề nào đó có hiệu quả GV cần đáp ứng những yêucầu sau:

a) Việc giải thích cần được dựa trên những tri thức hay kinh nghiệm vốn

có của người học Việc giải thích chỉ có ý nghĩa nếu người học từ chỗ chưahiểu đến chỗ thông hiểu được vấn đề

b) Việc giải thích cần làm nổi bật những nội dung trọng tâm hay ý chính

của vấn đề

c) Việc giải thích phải hướng đến làm cho vấn đề ngày càng trở nên đơn

giản hơn

d) Việc giải thích phải phù hợp với đối tượng người học

II NỘI DUNG

Ví dụ 1 Cho đường tròn     2 2 2

:

C x a  y b R và điểm M x M,y M nằmngoài đường tròn đó Viết phương trình tiếp tuyến của  C kẻ từ M.

GV có thể yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

GV: Khi nào thì đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  C ?

HS: Câu trả lời mong đợi là d I ;   R, trong đó I là tâm của đường tròn.

GV: Hãy nêu công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng?

     Như vậy ta đã bớt được ẩn C.

GV: Nhưng cuối cùng ta cũng chỉ có một phương trình mà có tới 2 ẩn Liệu

có giải được không?

Cuối cùng, GV yêu cầu HS giải các bài toán cụ thể để cũng cố phương pháp

vừa tìm, chẳng hạn: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

 C :x2 y2  4x 2y 0 biết tiếp tuyến đó đi qua A3; 2   hoặc Viết phương

trình tiếp tuyến của đường tròn     2 2

C x  y  kẻ từ A 1;3

Ví dụ 2 Sau khi HS đã học định lí Côsi với hai số và bốn số không âm Ta

có thể tổ chức cho HS tìm đoán cách chứng minh bất đẳng thức cho trườnghợp ba số không âm như sau:

GV: Phát biểu lại bất đẳng thức Côsi cho hai số và bốn số?

HS: 1 2

1 2 , 1 , 2 0 2

a a

a a a a

(1)

1 2 3 4 4

1 2 3 4 , 1 , 2 , 3 , 4 0 4

a a a a

a a a a a a a a

(2)GV: Ta phải chứng minh điều gì?

1 2 3 3

1 2 3 , 1 , 2 , 3 0 3

a a a

a a a a a a

(3)GV: Hãy xét chứng minh bất đẳng thức (2) và xem có thể áp dụng cách

ấy để chứng minh (3) không? (trường hợp này không sử dụng (1) được vì số

số hạng bị "lẻ") Vậy ta chỉ còn cách sử dụng (2) Muốn vậy phải có 4 sốkhông âm mà vế trái của (3) chỉ có 3 số hạng không âm Do đó ta phải thêm

vào đó một số hạng thứ tư, gọi là x sao cho x phải không âm và không được

x y z xyz x y z x y z xy yz zx

x y z x y y z z x

          

       

Từ đó, bất đẳng thức Côsi cho 3 số được chứng minh

Ví dụ 3 Giải phương trình: asinx cosxbsin cosx x c  0.

Để giúp các em phát hiện ra thuật toán giải bài toán vừa nêu, chúng

ta có thể sử dụng phương pháp đàm thoại giải quyết vấn đề như sau:

GV: Em hãy nhận xét về mối liên hệ giữa các biểu thức

sin , cos x x và sin x  cos , sin cos x x x

HS:

GV: Như vậy, các biểu thức trong phương trình ban đầu có thể biểu thị qua

biểu thức nào ?

HS: Tất nhiên là có thể biểu thị qua sin x  cos x

GV: Điều này có ý nghĩa gì không?

HS: Ta chỉ cần đặt t  sin x  cos x thì sẽ đưa phương trình ban đầu vềphương trình bậc hai của t đã biết cách giải

Ví dụ 4 Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC, đáy

ABC là tam giác vuông tại B. Gọi M là trung điểm của AC. Dựng đườngvuông góc chung của SM và BC.

GV: Bài toán này thuộc kiểu gì?

HS: Dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

GV: Có mấy quy trình để giải loại toán này?

HS: Em đã được học ba quy trình.

GV: Em hãy dựa vào đặc điểm bài toán để lựa chọn một quy trình phù hợp HS: Ta thấy hai đường thẳng SM và BC hình như không vuông góc với nhau,bởi vì nếu chúng vuông góc thì mà BCSA do đó BC SAC nên

,

BC AC mâu thuẫn Vì vậy ta không thể áp dụng quy trình thứ ba Ta thử áp

dụng quy trình thứ nhất Quy trình thứ nhất yêu cầu dựng một mặt phẳng chứađường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

GV: Ta nên dựng mặt phẳng chứa SM và song song với BC hay ngược lại?

Từ S hoặc M dựng đường thẳng song song với BC dễ hơn hay từ B hoặc C

dựng đường thẳng song song với SM dễ hơn?

HS: Chắc chắn là từ M kẻ đường thẳng song song với BC rồi, đây chính làđường trung bình MN của tam giác ABC.

GV: Bước thứ hai của quy trình yêu cầu điều gì?

HS: Dựng hình chiếu của một điểm (hợp lí) trên BC xuống mặt phẳng

SMN. Có lẽ ta sẽ chọn điểm đó là B hoặc C vì nó có tính chất đặc biệt hơn

cả Nhưng dựng như thế nào?

GV: Ta hãy dựng hình chiếu của

GV: Các bước tiếp theo của quy trình yêu cầu điều gì?

HS: Từ H kẻ đường thẳng song song với MN, cắt SM tại E. Từ E kẻ đườngthẳng song song với HB cắt BC tại F. Khi đó EF là đường vuông góc chungcần dựng

GV: Hãy lựa chọn quy trình thứ hai để giải bài toán?

HS: Quy trình thứ hai yêu cầu dựng một mặt phẳng vuông góc với một trong

hai đường thẳng đã cho

GV: Trên hình vẽ đã có mặt phẳng này chưa?

HS: Giả thiết cho SAABC, ABC vuông tại B Đúng rồi, mặt phẳng

vuông góc với BC chính là SAB.

GV: Bước thứ hai của quy trình này yêu cầu điều gì?

HS: Dựng hình chiếu vuông góc của SM lên mặt phẳng SAB. Vì điểm S

thuộc SAB nên ta chỉ cần dựng hình chiếu của M lên SAB, nghĩa là cầndựng đường thẳng qua M và vuông góc với SAB. Ta đã có đường thẳng BC

vuông góc với SAB nên chỉ cần dựng đường thẳng qua Mvà song song với.

BC Đây chính là đường trung bình MN của tam giác ABC. Khi đó hình chiếu cần dựng chính là SN.

GV: Tiếp theo, quy trình yêu cầu

song song với MN cắt SM tại E,

từ E kẻ đường thẳng song song

với BH cắt BC tại F, khi đó EF

là đoạn thẳng cần dựng

Ví dụ 5 Số phần tối đa mà n mặt phẳng có thể chia không gian là bao nhiêu?

GV: Không gian chia bởi các mặt phẳng tương tự với mặt phẳng được chiabởi các đường thẳng Do đó, trước hết ta xét bài toán: Số phần tối đa mà n

đường thẳng có thể chia mặt phẳng là bao nhiêu?

GV: Số phần sẽ là tối đa khi nào?

HS: Khi không có hai đường thẳng nào song song và không có quá haiđường thẳng đi qua một điểm

(Sau này ta luôn giả thiết cả hai điều kiện này được thỏa mãn)

GV: Giả sử số phần tối đa mà n đường thẳng chia mặt phẳng là f n . Hãyhoàn thành bảng (tính f n  ) với một số trường hợp đơn giản:

GV: Từ bảng trên, hãy dự đoán một công thức tổng quát cho f n 

(Trong trường hợp này, việc dự đoán đối với HS có thể là quá sức)

GV: Trước hết, chúng ta thử tìm mối liên hệ giữa n f n,   và f n  1  Cónghĩa là khi tăng thêm 1 đường thẳng thì số phần được chia sẽ thay đổi nhưthế nào Ta có bảng sau:

 1  

f n  f n 2 3 4HS: Dựa vào bảng trên ta có thể dự đoán rằng

GV: Bây giờ ta quay trở lại với bài toán trong không gian Số phần sẽ là tối

đa khi nào?

HS: Cũng tương tự như trong mặt phẳng, số phần không gian bị chia tối đakhi không có ba mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến, không có ba mặtphẳng nào cùng đi qua một điểm, không có hai mặt phẳng nào song song vớinhau và không có hai giao tuyến nào của chúng song song với nhau

GV: Giả sử n mặt phẳng chia không gian thànhF n  phần Ta bổ sung thêmmặt phẳng thứ n 1. n mặt phẳng ban đầu cắt mặt phẳng này theo n đườngthẳng mà trong chúng không có hai đường thẳng nào song song hay không có

ba đường thẳng nào đồng quy Do đó n đường thẳng này chia mặt phẳng thứ1

n thành f n  bề mặt Mỗi phần trong f n  bề mặt này chia không gian mà

nó nằm trong thành hai phần không gian nhỏ, do đó sự bổ sung của mặt phẳngthứ n 1 sẽ làm gia tăng số phần không gian là f n . Ta có:

Ví dụ 6 Tìm thể tích V của một hình chóp cụt nếu biết diện tích đáy lớn,

diện tích đáy bé lần lượt là B B1 , 2 và đường cao bằng h.

Gv: Đề toán gợi cho em liên tưởng đến những điều gì em đã biết?

HS: Bài toán có nhắc đến hình chóp cụt mà hình chóp cụt thì được sinh ra từ

hình chóp Bài toán yêu cầu tính thể tích của hình chóp cụt, có lẽ nó cũng cóliên quan đến thể tích của hình chóp

GV: Đúng, đó chính là điều mà ta cần nghĩ đến, em đã có ý tưởng nào đểgiải quyết nó chưa?

HS: Có thể hiểu hình chóp cụt là phần còn lại của một hình chóp sau khi bỏ

đi một hình chóp con do một mặt phẳng song song với đáy cắt ra Trongtrường hợp này, đáy của hình chóp lớn có diện tích bằng B1 , đáy của hìnhchóp con có diện tích là B2 Giả sử ta đã biết thể tích của hai hình chóp ấy, kíhiệu lần lượt là V V1 , 2 thì thể tích mà chúng ta cần tìm là V V V  1 2

V V V   B x h B x

GV: Còn cái gì là chưa biết?

HS: Độ dài đoạn thẳng x

GV: Làm thế nào để tìm được ẩn này? Tìm x theo đại lượng nào?

HS: Sử dụng tính chất tỉ số diện tích của hai đa giác đồng dạng bằng bìnhphương tỉ số đồng dạng

B B





GV: Tính

3

B B h

HS: Nêu điều kiện của bất phương trình Điều kiện: x  0 và x  m

GV: Giải bất phương trình vô tỷ thường sử dụng những cách giải nào?

HS: Bình phương hai vế, đặt ẩn phụ,

GV: Bất phương trình trên có thể thực hiện phép bình phương hai vế chưa? HS: Muốn thực hiện phép bình phương hai vế để thu được phương trìnhtương đương, thông thường ta đặt điều kiện để hai vế đều dương

GV: Biến đổi: (1) x  x m m  Cả hai vế của bất phương trình đãdương hay chưa?

HS: Nhận thấy vế phải âm hay dương tùy thuộc vào m  0, m < 0

Để tiếp tục giải bất phương trình : m m 2 2m x m , để giản ước hai

vế bất phương trình cho m, dẫn tới việc xét 2 khả năng m = 0 và m ≠ 0

KN1: Với m = 0 thì vô nghiệm

KN2: Với m > 0 bài toán trở thành:

HS: Bình phương hai vế

Gv: Hãy giải bất phương trình (3)

HS: muốn bình phương thì 2 vế không âm Ta phân chia 2 khả năng nữa là:

 m  1: Bất phương trình vô nghiệm

 0 < m < 1: Bình phương hai vế bất phương trình (3) thì hệ (2), (3)tương đương:

HS: Để giải bất phương trình (5) dẫn tới việc xét 2 khả năng: