ĐỀ TOÁN và đáp án THPT CHUYÊN ĐHSP hà nội lần 3

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân đỉnh S.. Thể tích khối chóp S.ABCD là: A... Khi đó z bằng: 3 Tr

x m y

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;0;1), B(1;2;-3) Đường thẳng

AB cắt mặt phẳng tọa độ (Oyz) tại điểm M x M;y M;z M Giá trị của biểu thức

Tx y z là:

A 4 B 4 C 2 D 0

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 S :x2 y2  z2 2x 4y 6z  5 0 Tiếp diện của (S) tại điểm M(  1;2;0) có phương trình là:

A 2x+y=0 B x = 0 C y = 0 D z = 0 Câu 6: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x2 và y = x3

y x

 , biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm M(0;1) và đồ

thị có giao điểm của hai tiệm cận là I(1;  1)

1

y x



 B.

2 2

x y x





  C

x 1 1

y x





 D

x 1 1

y x

ACA B là:

A

3 3 6

a

D

3 3 4

a

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

B

3 2 3

a

C

3 2 2

a

D

3 2 12

Đường thẳng d đi qua A(5;  3;5) cắt d 1 , d 2 tại B và C Độ dài đoạn thẳng BC là:

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm S(1;2;3) và các điểm A, B, C thuộc các

trục Ox, Oy, Oz sao cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều,

mặt bên SCD là tam giác vuông cân đỉnh S Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A

3 3 12

a

D

3 3 6

3 3

y x  x .Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng:

A 39 B 1 C 2 D 3 9 1 

Câu 32: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình 1 2   3

3 log x 3 1 log x 3 0

a



B 3 a 2 C 12 a 2 D 4 3 a 2

Câu 35: Đồ thị của hàm số y ax3bx2 cx d như hình vẽ sau:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

A a 0;b 0;c 0;d  0 B a 0;b 0;c 0;d 0

C a 0;b 0;c 0;d  0 D a 0;b 0;c 0;d  0

Câu 36: Phương trình x3 1 x2  0 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt

A 3 B 6 C 1 D 2 Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi

x y x



A y = 1 B y = 1, y = 1 C y = 1 D y = 0

Câu 39: Số phức z thỏa mãn z  z 0 Khi đó:

A z là số thuần ảo B Môđun của z bằng 1

C z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0 D Phần thực của z là số âm Câu 40: Cho số phức z = 1 + i Khi đó z bằng: 3

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Câu 44: Cần xẻ một khúc gỗ hình trụ có đường kính d = 40cm và chiều dài h = 3m thành một cái

xà hình hộp chữ nhật có cùng chiều dài Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu xấp xỉ là:



 B

os2 '

os2 1

c x

c x

e y e



 D

' os2

2sin 2 1

c x

x y

e





Câu 49: Cho hình nón (N) có đỉnh S, đường tròn đáy là (O) có bán kính R, góc ở đỉnh của hình

nón là  = 1200 Hình chóp đều S.ABCD có các đỉnh A, B, C, D thuộc đường trong (O) có thể tích là:

A

3

2 3 9

R

B

3 3 3

R

C

3

2 3 3

R

D

3 2 9

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Thực hiện: Ban chuyên môn Tuyensinh247.com Câu 1:

( )

u x y

- Phương pháp: + Áp dụng: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một

điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

- Phương pháp: + Lập phương trình đường thẳng  đi qua A và B + Lập phương trình mặt phẳng (Oyz)

+ Tìm tọa độ điểm M =   (Oyz)

- Phương pháp: + Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

+ Phương trình tiếp diện của (S) tại M  (S) đi qua M và nhận IM làm véctơ

- Đáp án D Câu 6:

- Phương pháp: + Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong được tính bằng công thức:

1 ( ) 2 ( )

b a

- Phương pháp: + Xét dấu biểu thức (x2 – 3x + 2) trên đoạn [1; 2] để bỏ dấu giá trị tuyệt đối + Tính tích phân bằng công thức ( ) ( )

b

b a a

- Phương pháp: + Vchóp = 1

3.Sđáy.h + S đáy = a2 (ABCD là hình vuông cạnh a) + Chiều cao h = SO = OB.tan600

3 2

- Phương pháp: + Xác định tọa độ hai điểm cực trị A và B của đồ thị hàm số + Giải phương trình: d(A, Oy) = d(B, Oy) ta tìm được m

Để hai cực trị cách đều trục tung thì d(A, Oy) = d(B, Oy)

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- Phương pháp: Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu:

- Phương pháp: Xác định 2 đường tiệm cận và tìm giao của đồ thị với trục Oy Từ đó có được

mối liên hệ giữa a, b, c, d

1

d c a

c b d

x y

- Phương pháp: + Tính tích phân

0 sin 2

 + Sau đó giải phương trình ta tìm được x

- Cách giải:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- Phương pháp: + Tìm hoành độ giao điểm của nửa đường tròn với parabol

+ Diện tích hình phẳng 1( ) 2( )

b a

1 2



Đặt x 2 sinudx 2 cosudu Khi x =  1

- Phương pháp: + Xác định tọa độ 2 điểm cực tiểu A và B của đồ thị hàm số

+ Tính độ dài các cạnh của tam giác AOB từ đó tính diện tích tam giác AOB

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- Phương pháp: + V = Sđáy h

+ ABCD là hình thoi nên

2 3 2

 

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- Phương pháp: + Viết phương trình mặt phẳng ( ) và (  ) lần lượt đi qua A, chứa d 1 và đi qua

A chứa d2+ Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (  ) và (  )  phương trình của d + Tìm tọa độ giao điểm B = d  d 1 và C = d  d 2 , rồi tính khoảng cách giữa B và C

- Cách giải:

Gọi (  ) và (  ) lần lượt là mặt phẳng đi qua A, chứa d1 và đi qua A chứa d2 + Đường thẳng d1 đi qua M1(1;-1;0) và có vtcp u1  (1; 1; 2) nên n u AM1, 1  (1; 3; 2)

 Phương trình (  ): x 3y 2z  4 0 + Đường thẳng d 2 đi qua M2(0;1;0) và có vtcp u2  (1; 2;1) nên

- Phương pháp: Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu:

- Phương pháp: + Xác định tọa độ điểm cực tiểu A của đồ thị hàm số

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và có hệ số góc k + Giải phương trình d(A,d) = 1 Từ đó tìm được k

- Cách giải:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- Phương pháp: + Vì A, B, C lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz nên có tọa độ là A(a;0;0),

B(0;b;0), C(0;0;c) Tìm tọa độ A, B, C dựa vào giả thiết SA  SB, SB  SC, SA  SC

  SA là chiều cao của hình chóp

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- Phương pháp: + Nếu cơ số a > 1:loga f x( )  loga g x( )  f x( ) g x( )  0 + Nếu 0 < a < 1: loga f x( )  loga g x( )   0 f x( ) g x( )

 Tập nghiệm của bất phương trình x3 3x2 9x 10  0 là   4,51; 092     2, 42;  

 Tập nghiệm của hệ bất phương trình là [  4; 1]

- Đáp án B Câu 25:

- Phương pháp: + Viết phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

+ Giải phương trình: khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang bằng 1, ta tìm được tọa độ điểm M

1

x y x

; 1

- Phương pháp: + Áp dụng: i2  1;i3i i2  i i; 4i i3  1

- Cách giải:

z                  1 i i2 i3 i9 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i

- Đáp án B Câu 27:

- Phương pháp: + Sử dụng công thức tính đạo hàm của 1 tích:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

3 2

- Phương pháp: + Gọi M(x0;y0;z0)  (P) Tìm tọa độ điểm M dựa vào giả thiết: M  (P) và MA

= MB = MC + Tính độ dài AB, BC, AC  S  ABC

+ Do M.ABC là hình chóp tam giác đều và MA = MB = MC nên chiều cao của hình chóp là

MH, với H là tâm  ABC Gọi I là trung điểm của BC

- Phương pháp: + Xác định tọa độ 2 điểm cực trị A và B của đồ thị hàm số, rồi tính khoảng

cách giữa 2 điểm A và B bằng công thức:    2  2

 Hai điểm cực trị là A(0;0) và B 3 3; 1  

Khoảng cách giữa hai điểm A và B là:

- Phương pháp: + Đặt ẩn phụ t = log3 x + Giải phương trình bậc 2 với ẩn t  x1, x2 và x1.x2

- Cách giải:

1 2   3

3 log x 3 1 log x 3 0

- Phương pháp: Dựa vào tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

- Phương pháp:+ S = 4 R2

- Cách giải:

Ta có: BCB B' a 2

B C'  2 ;a AC' a 3

Do A B' '  B BC'  và B BC' vuông cân tại B

 Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A BB C ' '

là trung điểm của A’C

3 2

a R

- Cách giải:

+ Nhìn hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số biểu diễn điểm cực tiểu trước, cực đại sau tức là y’ đổi dấu

từ (  ) sang (+) rồi sang (  ) nên a < 0 + Mà hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung nên phương trình ' 2

2 nghiệm trái dấu tức là a.c < 0 nên c > 0 + Mặt khác điểm uốn của đồ thị có hoành độ x > 0 tức là phương trình y''  6ax 2b 0 có nghiệm x > 0 hay 0 0

3

b

b a



  

- Đáp án D Câu 36:

- Phương pháp: + Đặt ẩn phụ t = x2(xác định điều kiện của t), ta đưa phương trình ẩn x về phương trình bậc 3 với ẩn là t

+ Vẽ đồ thị 2 hàm số y = f(t) và y = g(t) trên cùng hệ trục Oty Số giao điểm của 2 đồ thị hàm số

là số nghiệm của phương trình ẩn t

 Số nghiệm của phương trình ẩn x

1 0 1

x x

+ t – 1 = 0 (2)  t3 + t = 1

Xét 2 hàm số y = t3 + t và y = 1

Đồ thị 2 hàm số trên hệ trục Oty như hình vẽ sau:

Từ đồ thị ta thấy: 2 hàm số cắt nhau tại 1 điểm

 Phương trình (2) có 1 nghiệm thỏa mãn 0 ≤ t ≤ 1

 Phương trình (1) có 1 nghiệm thực thỏa mãn yêu cầu bài toán

- Đáp án C Câu 37:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- Phương pháp: Tìm đường tiệm cận ngang ta phải có giới hạn của hàm số ở vô tận

- Phương pháp: Đặt z = a + bi, tính z sau đó thay vào phương trình z  z 0 Từ đó tìm được

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- Phương pháp: + Đặt ẩn phụ t = 33x(t > 0) + Giải phương trình ẩn t, tìm t  x

Đặt t = 33x(t > 0) Bpt  1 2 2

'

1

3

AOO B B AOO AOO

 Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu là: V hình trụ - V hình hộp

- Cách giải:

Vhình trụ =  R2.h =  (0.2)2.3

Theo giả thiết: hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

có chiều cao AA’ = 3m nên để lượng gỗ bỏ đi ít nhất thì hình chữ nhật ABCD phải có diện tích lớn nhất

Do hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) nên AC = BD = R

- Phương pháp: + Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu

+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n  IA IB,  

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và nhận n  IA IB,   làm véctơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0 hay x – 2y – 3z – 2 = 0

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- Phương pháp: Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 bằng cách đặt S = x + y; P = xy (điều

kiện: S2 4P)  Điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm

- Đáp án B Câu 49:

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên ABCD

là hình vuông và SO là chiều cao của hình chóp

( )

u x y