Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao phạm minh tuấn

Tìm môđun nhỏ nhất của z... Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho.. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Áp dụng tính chất này ta có vế trái: Truy cập http://www.ta

Trang 1

h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o m /

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP z 1 z2 z 1 Tính giá trị của M.n

A 13 3

39

13 4

¾ Cách 1:

Re( )z là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z 1 z z 1

Đặt t z 1, ta có: 0 z d d 1 z 1 z 1 2 t > @ 0;2

2

z z z z z z z z z z z t

Xét hàm số: 2 > @

3 , 0;2

f t t t t Xét 2 TH:

4

Maxf t ; Minf t 3 13 3

.

4

M n

¾ Cách 2:

z r cosxisinx a bi

Do

2

1

z z z z

r a b

° ®

¯

P 2 2cos x 2cosx 1 , đặt t cosx > 1;1 @ f t 2 2 t 2t 1

TH1: 1;1

2

t ª º

3

2 2

2

maxf t f

f t

minf t f t

°

© ¹

¯

TH1: 1;1

2

ª º

« »¬ ¼

t

2 2

t

§ ·

4

Maxf t ; Minf t 3 13 3

.

4

M n

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Trang 2

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 22 z i2 Tính module số phức w M mi

A. w 2 314 B w 1258 C w 3 137 D w 2 309

¾ Cách 1:

2

P x

2

P x

z i x y x § · f x

f ' x 8 x 3 8 P 4x 11 0 x 0,2P 1,6 y 0,1P 1,7

Thay vào f x ta được: 2 2 33

0,2 1,6 3 0,1 1,7 4 5 0

13

P

ª

¬

¾ Cách 2:

( ) : 4 ' x 2y 3 P 0

Tìm P sao cho đường thẳng ' và đường tròn C có điểm chung

Vậy MaxP 33 ; MinP 13

w 33 13 i w 1258 Bài 3: Cho số phức z x yi x y, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i 5 và biểu thức P z 22 z i2 đạt giá trị lớn nhất Tính z

¾ Giải:

2 2

5

y

°

®°¯ ® ¯ Chú ý: BĐT Bunhiacopxky: 2 2 2 2

axbyd a b x y

Trang 3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a b

x y

Bài 4: Cho số phức z x yi x y, R thỏa mãn z 2 4i z 2i và m min z Tính module số phức w m x y i

¾ Cách 1:

z 2 4i z 2i x y 4

2 2

x y

t

min z 2 2 , Dấu “=” xảy ra khi 4 2 w 2 2 4 w 2 6

2

i

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: 2

2

x y

t

Dấu “=” xảy ra khi x y

¾ Cách 2:

z 2 4i z 2i y 4 x

z x y x x x t

min z 2 2 Dấu “=” xảy ra khi 4 2 w 2 2 4 w 2 6

i

Bài 5: Cho số phức z x yi x y, R thỏa mãn z i 1 z 2i Tìm môđun nhỏ nhất

của z

1 2

min z

¾ Cách 1:

z i 1 z 2i x y 1

Trang 4

x y

t

z x y t

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: 2

2

x y

t

Dấu “=” xảy ra khi x y

¾ Cách 2:

z i 1 z 2i y x 1

z x y x x §x · t

2

min z

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P z3 3z z z z Tính M m

A. 7

13

15 4

Sáng tác: Phạm Minh Tuấn

¾ Cách 1:

Ta có z2 1 z z 1

z3 3z z z z2 3 z2 t2 1 t2 1

2

1

t ¨ ¸ t

4

minP ; maxP 3 khi t 2

4

M n

¾ Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại

Trang 5

z

4

t

P z z z z Đến đây các bạn tự tìm max nhé

Bài 7: Cho các số phức a b c z, , , thỏa az2 bz c 0 az 0 Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho Tính giá trị của biểu thức

P z z z z z z

A. P 2 c

a

B. P c

2

c P

a

Khi đó P 4 z z1 2

Ta lại có: z z1 2 c P 4 z z1 2 4 c

Bài 8: Cho 3 số phức z z z1 , , 2 3 thỏa mãn z1 z2 z3 0 và z1 z2 z3 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. z1 z22 z2 z3 2 z3 z12 là số thuần ảo

B. z1z22 z2 z3 2 z3z12 là số nguyên tố

C. z1 z22 z2 z3 2 z3 z12 là số thực âm

D. z1 z22 z2 z3 2 z3 z12 là số 1

Chứng minh công thức:

9 z1z2 2 z2z3 2 z3z12 z12 z2 2 z3 2 z1 z2 z3 2

Ta có: z2 z z và z1 z2 z n z1 z2 z n Áp dụng tính chất này ta có

vế trái:

Trang 6

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1 z2 2 z2 z32 z3 z12 3 là số nguyến số

Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z 1 và z z 1

z

z ?

Phạm Minh Tuấn

Ta có: z2 1 z z.

Đặt z cosx i sin ,x x > 0;2 S @ z2 cos2x i sin 2x

2 2

1 cos 2

2

1

2

ª

«

«¬

x

x z

x

Giải 2 phương trình lượng giác trên với x > 0;2 S @ nên ta chọn được các giá trị

; ; ; ; ; ; ;

6 6 6 6 3 3 3 3

x

Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho Bài 10: Cho các số phức z z z1, ,2 3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1 z2 z3 1999 và

z z z z Tính 1 2 2 3 3 1

z z z z z z P

z z z

Trang 7

Giải:

2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1

P

Mặc khác:

2 1

1 2 2

2 2 3

3

1999

z

z z

z

°

°°

°

°¯

Suy ra

1999 1999 1999 1999 1999 1999

1999

1999 1999 1999

P

z z z

Ö P 1999

Bài 11: Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z z1 2 Tính Min, Max của r

3

z z

;

Áp dụng: Cho số phức z thỏa mãn

3 3 2

1 2 2

i

i Gọi M và n lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 3 3i Tính M m.

Trang 8

Áp dụng Công thức trên với 1 3 3 2 ; 2 1 2 , 3 3 3 ; 3

1 2 2

i

Bài 12: Dạng Tổng quát: Dạng: z z z1 2 z z z1 2 k với z1 a bi z; 2 c di z; x yi

Ta có:

2 2

2 1

4 2

Min z

z

và

1 2

k Max z

z

Chứng minh công thức:

1

2

k

z

1 2

k Max z

z

Mặc khác:

z z z z z z k ax by c ay bx d ax by c ay bx d

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

2 2

1 1

2

2 2

1

2 4

z

Áp dụng:

Trang 9

Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 1 4 Gọi m min z và M max z , khi đó M n.

bằng:

Cho số phức z thỏa mãn 2 2

4

Gọi m min z và M max z , khi

đó M n bằng:

Bài 13: Cho các số phức z z z thỏa mãn 1, 2, 3 1 2 3 1 3

2 2

z z z i Tính giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P z1 2 z2 2 z3 2

B. min 1

3

Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 3 2 2 2

Mặc Khác: 1 2 3 1 3 1 2 3 1 1 2 3 1

2 2

z z z i z z z z z z

Suy ra P t3 Dấu “=” xảy ra khi z1 z2 z3 1

Bài 14: Cho số phức z x yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn

3

1

1 2

z

Trang 10

3

1 2

z

2 2

P x y xy, Đặt t xy

2

1 0

x y

t § ·

4

¬ ¼

Bài 15: Cho các số phức z thỏa mãn z Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

P z z z

Ta có: z 1 z 1

P z z z z z z z t z z z z

Bài 16: Cho số phức z thỏa mãn 6 1

2 3

z i iz

d

Gọi M max z

2

3

max z

4

2

6

2 3

.

z i

iz

z

Bài 9: Có số phức z thỏa mãn hai điều kiện z 1...

6 6 3 3

x

Vậy có số phức thỏa điều kiện đề cho Bài 10: Cho số phức z z z1, ,2... z2 z3 1

Bài 14: Cho số phức z x yi với x, y số thực không âm thỏa mãn

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	0,97 MB