ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP 11 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi:4/4/2013
Câu 1 a) Giải phương
trình:
b)Tính giới hạn sau
Câu 2 a) Cho khai
triển:
Chứng
minh đẳng thức sau:
b) Tính tổng:
Câu 3 a) Cho tam giác
ABC có độ dài các
đường cao và Tính diện tích
tam giác ABC.
b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4 Cho hình chóp SABC có và
tam giác ABC vuông tại B Biết
và góc giữa hai mặt phẳng (SAB),
(SAC) bằng với Tính độ dài SC theo a.
Câu 5 Cho dãy số thỏa
mãn:
Tìm
HẾT
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,
- Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 11
2 3 sin 1 cos 4cos sin 3
2sin 1
x
x
0
2 1 2.3 1 3.4 1 2012.2013 1 lim
x
L
x
1 x x x x a a x a x a x a x
C a C a C a C a C a C a
n n n
C C C S
n n
' 5; ' 2
BB CC 2
5
CBB
2
A B C
2cos 4 4cos 2 cos 2 cos 2
P C C A B
SC; ABC 3
AB a AC a 13 sin
19
a n
1
4
a
n n
n a n a n a a
lima n
Trang 2Câu Đáp án Điểm
1a)
3,0
điểm
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: 0,5
0,5
TH2:
0,5
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm 0,5 1b)
3,0
điểm
1,0
Áp dụng (1) ta thu được
1,0 2a)
2,5
điểm
Xét từ khai triển
trên nhân hai vế với
ta có:
(2)
1,0
5 2
6
x k
x l
2 3 sin 1 cos 4cos sin 3 0
2
x
x x x
2 3 sinx 2 3 sin cosx x 2cos 1 cosx x 3 0
2 3sin cos 3sin 2 3sin cos cos x x x x x x 0
3sin cos 3sin cos 2 0 3sin cos 0
3sin cos 2
6
x x x x k k
x x x x x
2
x k x k k
2 0
2 1 1 2.3 1 3.4 1 2012.2013 lim
2.3 1 1 3.4 1 2012.2013 2012.2013 1
x
L
x
0
1 1
x
ax a
a n
2011.2012
1 2 3 2012 2011.1006 2023066
2
L x x 1111
11 11 11 2 110
x x a a x a x a x
11
11 11 11 0
k
VT C x
11
x
1
C
11
0
k
VP C x a a x a x a x
x11
Trang 3vế phải bằng
Từ đó suy ra đẳng
thức cần chứng minh
2b)
2,0
điểm
Áp dụng 2 lần công thức (3)
ta được:
0,5
Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có 0,5
3a)
2,5
điểm
Xét hai trường hợp:
+) B và C không tù Khi đó
Suy ra
1
1,0
+) B hoặc C tù
Do nên và C tù
Còn (giống trường hợp 1)
Suy ra
0,5
3b)
2,5
điểm
(3)
( Do
và )
Dấu bằng trong (3) xảy ra khi hoặc
0,5
Từ đó
0,5
(4)
Dấu
bằng trong (4) xảy ra khi
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi
0,5 0,5 4) Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB.
Ta chứng minh được
1,0
C a C a C a C a C a C a
1 1
1 !
2 2
1
n n
n n
1
1
1
n n
n
n S
n n
BB BC
CBB
CC
BC
A
B
C
B’
C’ H
5
BB
A
sin ,cos
sin ,cos
B 2 B 25
2
5 5
A AB
2
S
1
0 cos
A B C C C
cos 2Acos 2B2cos A B cos A B 2cocCcos A B 2cosC
cos C 0
cos A B 1
A B 2
C
4 2cos 1 2 2cos 1 1 2cos
P C C C
8cos C 2cos C 1 2cosC
16cos C 8cos C 1 1 2cosC 4 4cos C1 1 2cos C 44
3
C
3
A B C
) ( ),
(SAB SA CHK
B
S
H K x
a
Trang 4điểm
Suy ra vuông
tại K và
Do đó
Đặt Trong tam giác vuông SAC ta có
Tương tự, trong tam giác
vuông SBC ta có
1,0
5)
2,0
điểm
Do đó
Vậy
0,5
Lưu ý: Mọi cách giải khác mà đúng đều cho điểm tương ứng
-HẾT -CHK
SA
CHK
0
x SC
3
3 1
1 1
2 2
2 2 2
2 2
x a CH
CS CA
2
2
2 2
2 2 2
x a
x a CK
2 2
sin
CK CH
2(3 ) 13
a x
a x
a
SC 6a
*
0,
n
a n
1
2
1
n
a a
*
n 1 1
4
n n
y a
y 1 1
2
n
n
n
n n
2 2
2 2
n
n n a
n n
lima n 4
