CHUYÊN ĐỀ ÔN HSG CASIO LỚP 8 (bản chuẩn)

Nhóm đầu 9 chữ số đầu kể từ bê trái.. Rồi viết tiếp sau số d còn lại tối đa 9 chữ số rồi tìm số d lần hai.. Nếu còn nữa thì làm liên tiếp nh vậy... Tỡm số dư của cỏc phộp chia: Bài 5...

CHUYÊN ĐỀ ÔN HSG CASIO LỚP 8

DẠNG 1 TÍNH CHÍNH XÁC KẾT QUẢ PHÉP TÍNH

.Ph ¬ng ph¸p : Dùa vµo c¸c tÝnh chÊt sau:

1) Sè a1a2a3a4 a7a8 = a1a2a3a4 104 + a5a6a7a8

2) TÝnh chÊt cña phÐp nh©n: ( A + B)( C + D) = AC + AD +BC + BD

Tính XZ, XT,YZ,YT trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)

* Ngoài cách tính trên ta còn có cách tính khác như sau: Bấm máy tính thực

hiện phép nhân: 2032012 2042013 màn hình sẽ hiện kết quả là:

tất cả là 12+1=13chữ số).

Ta ghi lại chớn số đầu tiờn là: 414939492, như vậy kết quả của phộp nhõn

cũn thiếu bốn số cuối Ta tỡm chỳng bằng cỏch lấy bốn số cuối của mỗi thừa

số nhõn với nhau

32012.42013 kết quả là 4046132, ghi lại bốn số cuối 0156.

Vậy kết quả cuối cựng của phộp nhõn là: N = 4149394920156.

Nhận xột: Cỏch làm này ngắn hơn cỏch làm thứ nhất nhưng nú cú nhược

điểm là khụng thực hiện được khi kết quả của phộp nhõn quỏ lớn, thường là

từ 16 chữ số trở lờn

c, Đặt X = 2003, Y = 2004 Ta cú:

P = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY

Tớnh XY, 2XY trờn mỏy, rồi tớnh N trờn giấy như cõu a)

P = 401481484254012

ví dụ 2: tính chính xác kết quả của phép tính sau:

a) Tính chính xác A = 12578963 x 14375 b) Tính chính xác của số: B = 1234567892 c) Tính chính xác của số: C = 10234563 Giải: a) Nếu tính trên máy sẽ tràn màn hình nên ta làm nh sau: A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * Tính trên máy: 12578.14375 = 180808750  12578.103.14375 = 180808750000 * Tính trên máy: 963.14375 = 13843125 Từ đó ta có: A = 180808750000 + 13843125

= 180822593125

Vậy A = 12578963 x 14375 = 180822593125 b) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 Tính trên máy: 123452 = 152399025; 2x12345x6789 = 167620410 ; 67892 = 46090521 Vậy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000

+ 1676204100000

46090521

= 15241578750190521

d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3

= 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563

Tính trên máy:

10233 = 1070599167; 3.10232.456 = 1431651672

3.1023.4562 = 638155584; 4563 = 94818816

Vậy (tính trên giấy): C = 1070599167000000000 1431651672000000

+ 638155584000

94818816

= 107203145692240281

Vi

́ dụ 3 Tìm giá trị chính xác của 1038471 3

Giải:

Đặt a 1038; b 471

1038471  a.10 b  a.10  3 .10a .b 3 10 a b b

a3 10 9  3.a b2 10 6  3 10a b2 3 b3

Lập bảng giá trị ta có:

 32

 3 2

3

Tớnh trờn mỏy kết hợp với giấy ta cú: D = 1038471 3 =1119909991289361111

Vi

́ dụ 4 Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau:

20082008.20092009

Q 

Giải:

2008.10 2008 2009.10 2009

Vi

́ dụ 5 Tớnh keỏt quaỷ ủuựng ( khoõng sai soỏ ) cuỷa caực tớch sau:

a) P = 13032006 ì 13032007

b) Q = 3333355555 ì 3333377777

Giải:

a) Đặt a 1303; b 2006 , c 2007

Khi đó ta có: P = 13032006 ì 13032007 = a 10 4 b . a 10 4 c

= a2  10 8  (b c a )  10 4 b c.

Lập bảng giá trị ta có:

2 10 8

p, A = 2222288888.2222299999

q, A = 20082009 2

Bài 2 Tính kết quả đúng của các phép tính sau:

a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 c) C= 52906279178,48 : 565,432

Bài 3 Tớnh kờ́t quả đỳng của phộp tớnh sau:      

10 2 3

là phần nguyên của A cho

2/ K hi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số:’hi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số:

Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số ta ngắt ra thành hai nhóm Nhóm đầu 9 chữ số đầu( kể từ bê trái) tìm đợc số d nh phần 1) Rồi viết tiếp sau số d còn lại tối

đa 9 chữ số rồi tìm số d lần hai Nếu còn nữa thì làm liên tiếp nh vậy.

*Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b  0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho: a = bq + r và 0  r < |b|

* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm d trong phép chia a cho b:

a b (mod );m b c (mod )m  a c (mod )m

a b (mod );m c d (mod )m  a c b d   (mod )m

a b (mod );m c d (mod )m   ac bd (mod )m

Vậy số d là: r = 650119b) Ta phân tích: 815 = 88.87 Ta có: 88 1732(mod2004)

d, Tìm số dư của phép chia 20112013 cho 2012

Ghi vào màn hình : 9124565217 ÷ 123456 kết quả là: 73909,45128

Đưa con trỏ lên dịng biểu thức sửa lại là: 9124565217 – 123456x73909 ta được kết quả của số dư là: 55713

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 34567890987654321 cho sè 123456

Giải:

Lấy số 345678909 chia cho 123456 được số dư là 2109

Lấy 210987654 chia cho 123456 được số dư là 1350

Lấy 1350321 chia cho 123456 được số dư là 115761

́ dụ 5 a) Tìm số dư r khi chia 39267735657 cho 4321

b) dư r1 trong chia 186054 cho 7362

c) Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r1 , chia r1 cho 209 có số dư là r2 Tìm r1 và r2 ?

́ dụ 6.

a) Vieỏt quy trỡnh aỏn phớm ủeồ tỡm soỏ dử khi chia 20052006 cho 2005105 Tỡm soỏ dử khi chia 20052006 cho 2005105

b) Vieỏt quy trỡnh aỏn phớm ủeồ tỡm soỏ dử khi chia 3523127 cho 2047

Tỡm soỏ dử khi chia 3523127 cho 2047

c) Tỡm soỏ dử r cuỷa pheựp chia 2345678901234 cho 4567

Vậy số d của phép chia là: 956

Vớ dụ 7: Tỡm số dư của phộp chia 2345678901234 cho 4567.

Ta tỡm số dư của phộp chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203Tỡm tiếp số dư của phộp chia 22031234 cho 4567

Kết quả số dư cuối cựng là 26

Bài tập áp dụng:

Bài 1: a) Viết quy trình ấn phím để tìm số d khi chia 3523127 cho 2047.

b) Tìm số d đó.Tìm thơng và số d trong phép chia: 123456789 cho 23456

Bài 2: Tìm số d trong phép chia: a) 987654321 cho 123456789 Đáp số: r=9

Bài 3 Tỡm số dư của cỏc phộp chia:

Bài 5 Tỡm số dư của phộp chia:

a) 123456789 chia cho 123 b) 1905189002091969 cho 2009

DẠNG 3 TÌM ƯCLN VÀ BCNN

*Phơng pháp:

1.Với các số a và b nhỏ hơn 10 chữ số thì ta dùng tính chất rút gọn phân số

Để tìm ƯCLN, BCNN của hai số A và B ta rút gọn phân số A a

B b

Từ đĩ : ƯCLN (A; B) = A : a

BCNN(A; B)  A × B = A b

UCLN(A,B)

2 Víi c¸c sè avµ b lín h¬n 10 ch÷ sè th× ta dïng thuËt to¸n ¥LE:

T×m UCLN(a;b) víi a  b ta cã thuËt to¸n sau :

Sè d cuèi cïng kh¸c 0 lµ rn chÝnh lµ UCLN (a;b) hay : rn= UCLN (a;b)

Ví dụ1: Cho hai số A = 209865 và B = 283935, tìm ƯCLN(A, B) và BCNN(A,B) ?

VÝ dơ 3. Cho hai số A = 1234566 và B = 9876546

a) Tìm ƯCLN(A, B) và BCNN(A,B) ?

b) Gọi D = BCNN(A,B) Tính giá trị đúng của D3 ? Tính và ghi kết quả vào ô vuông

D3 =

VÝ dơ 4 T×m ¦CLN; BCNN cđa A = 209865 vµ B = 283935

ƯSCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 ÷ 6987 = 1356

Ta đã biết : ƯSCLN(a ; b ; c ) = ƯSCLN(ƯSCLN( a ; b ) ; c )

24614205 SHIFT STO A

ALPHA A : 10719433 = (1155/503) ALPHA A : 1155 = ( 21311)

Vậy UCLN(a;b) = 21311

*C 2:

+)Theo thuật toán Ơle tìm số d trong phép chia số a cho b ta đợc:

+) quy trình ấm máy liên tục: (Bạn đọc có thể dể dàng làm đợc và kết quả UCLN(a, b) =21311)

Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034 Tớnh giỏ trị đỳng của B2

Bài 2 Tỡm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531

Bài 3. Tỡm ệCLN vaứ BCNN cuỷa hai soỏ A = 1234566 vaứ B = 9876546

a) Tỡm ệCLN(A, B) ?

b) Tỡm BCNN(A,B) ?

Tớnh vaứ ghi keỏt quaỷ vaứo oõ

vuoõng Bài 6 Cho A = 1193984 ; B = 157993

Tìm chữ số x của số n = a n a n - 1 xa 1 a 0  m với m  N

* Phơng pháp: 1) Dựa vào các dấu hiệu chia hết của 2,3,4,5,6,7,8,9,11

2) Thay x lần lợt từ 0 đến 9 sao cho n m

Ví dụ 1: Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 1x2y3z4 chiahết cho 7

*Sơ l ợc lời giải:

- Số lớn nhất dạng 1x2y3z4 chia hết cho 7 sẽ là: 19293z4

Lần lợt thay z = 9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ta đợc số lớn nhất dạng 1x2y3z4 chia hết cho

7 là: 1929354,thơng là 275622

- Số nhỏ nhất dạng 1x2y3z4 chia hết cho 7 sẽ là: 10203z4

ệCLN(A, B) = BCNN(A,B) =

Lần lợt thay z = 9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ta đợc số nhỏ nhất dạng 1x2y3z4 chia hết cho

N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840

Vớ dụ 3: Tỡm chữ số x để 79506 47x chia hết cho 23.

Giải

Ấn -1 SHIFT STO A

Ghi ra màn hỡnh: A=A+1: (79506x1000 + 100A + 47) ữ 23

Ấn liờn tiếp nhiều lần dấu = và kiểm tra dũng kết quả, cho tới kết quả khi A = 9 thỡ dừng và chọn ra cỏc giỏ trị x ( A) thoả điều kiện chia hết.

Bài 5: a) Tỡm chữ số b biết rằng số 469283861b6505 chia hết cho 2005.

b) Tỡm chữ số a biết 469a8386196505 chia hết cho 2005.

c) Tìm số tự nhiên lớn nhất, nhỏ nhất (tơng ứng đặt là a, b) có dạng 2 3 6x yz t chiahết cho 29

DẠ ng 4 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

*Phơng pháp :

1) Tính trực tiếp (Thay trực tiếp các giá trị của x, y vào biểu thức rồi tính kết quả 2) Sử dụng sơ đồ Horner ( chỉ sử dụng khi bài toán yêu cầu tìm thơng và giá trị của đa thức tại x =  ( r = P() = b 0 )

*Trên máy tính: 1) - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M - Rồi thực hiện quy trình

2) -Tính nhờ vào biến nhớ AnsBài 1 Cho biểu thức: A = 3 3 3 2

Tớnh giỏ trị của biểu thức với:

a) x = 2,47; y = 1,78 b) x = -1,125 y = 2,17

c) x = 21

3 y = 15

27

Bài 2 Tính 5 4 3

E=7x -12x +3x -5x-7,17 với x= -7,1254Bài 3 Cho x=2,1835 và y= -7,0216 Tính

7x y-x y +3x y+10xy -9 F=

5x -8x y +yBµi 4 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:

VÝ dô 4: T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè: 1414 14

*S¬ l îc lêi gi¶i:

Ta cã: 74 - 1 = 2400  74 k - 1  100  714 14 - 1  100  714 14 cã 2 ch÷ sè lµ : 01 MÆt kh¸c : 1414= 214.714

Nhng: 214: 20 d 4 (v× : 212- 1 = (24 )3- 1 : (24 - 1) =15;  4.(212- 1 ): 20 )

Vµ : 714: 20 d 9 ( v× :74 k - 1 : 100  712-1 : 100  712: 20 d 1 714: 20 d 9 )VËy : 1414 : 20 d 4.9 = 36  1414 : 20 d 16  1414cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ:16

d) Tìm bớn chữ số tận cùng của số A= 415116213 -11

Gi¶i:

a) Ta có:

7 7 7 7 001 249 7 743(mod1000)

) 1000 (mod 001 7

) 1000 (mod 001 001 )

001 ( 249 )

249 ( 249 7

) 1000 (mod 249 7

10 3400 3411

3400

2 2

2 4 10

6624 6624

6624 )

8 ( 8

) 10000 (mod 6624 1824

4576 8

8 8

) 10000 (mod

4576 6976

8

) 10000 (mod 6976 1824

8

) 10000 (mod 1824 8

2 2

4 4

50 200

10 40 50

2 40

2 20

Và ta có : 8 36  8 10 3 8 6  1824 3  8 6  4224 2144 6256 mod10000    

Cuối cùng : 8 236  8 200  8 36  5376 6256 2256 mod10000    

Đ/S : 2256

Ba

̀i tập tự luyện

Bµi 1: a) Tìm hai chữ số tận cùng của 2081994

b) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của 7 3411 ĐS : 743

c) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của 8 236

Bµi 2: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất cĩ 10 chữ số Biết số đĩ chia 19 dư 13, chia 31 dư 12.b) Giả sử a là một số tự nhiên cho trước Để bình phương của a có tận cùng là 89 thì a phải có hai chữ số tận cùng là bao nhiêu ?

c) Tìm chữ số cuối cùng của 172008

Bµi 3:

a) Trình bày cách tìm và tìm số dư khi chia 21000 cho 25

b) Trỡnh baứy caựch tỡm vaứ tỡm 2 chửừ soỏ cuoỏi cuứng soỏ 62005

c) Tỡm số nhỏ nhất cú 10 chữ số sao cho số đú chia cho 17 dư 2 ,cho 29 dư 5

: d) Tỡm boỏn chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa soỏ a = 415116213 - 11

e) Trỡnh baứy caựch tỡm vaứ tỡm 2 chửừ soỏ cuoỏi cuứng soỏ 2 999

f) Trỡnh baứy caựch tỡm vaứ tỡm 2 chửừ soỏ cuoỏi cuứng soỏ 3 999

g) Tỡm 4 chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa soỏ a = 200221353 + 5 ?

Bài 4: a)Tìm số d của phép chia sau: 200708

:111007

b) Chứng minh rằng: 1) (2001200420032006) 10  ; 2)(7 7 7  2 3 72008) 400 c) Tìm chữ số tận cùng của số sau: 2007200820072008

d) Tìm hai chữ số tận cùng của số sau: 9 999 999

Bài 5: a) Trỡnh baứy caựch tỡm vaứ tỡm soỏ dử r cuỷa 3 7349 khi chia cho 19

b) Tỡm taỏt caỷ caực soỏ coự 10 chửừ soỏ coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 4 vaứ luyừ thửứa baọc naờmcuỷa moọt soỏ tửù nhieõn

Bài 6: a, Trỡnh baứy caựch tỡm vaứ tỡm soỏ dử khi chia 21000 cho 25

b, Trỡnh baứy caựch tỡm vaứ tỡm 2 chửừ soỏ cuoỏi cuứng soỏ 62005

c, Tỡm soỏ dử r khi chia 17762003 cho 4000

dạng liên phân số Mọi số hửu tỉ có một biểu diển duy nhất dới dạng liên phân số, nó

đ-ợc viết gọn là a ,a , ,a 0 1 n Vấn đề đặt ra là: hãy biểu diển liên phân số

0 1

n 1 n

1) TÝnh tõ díi lªn trªn: BÊm lÇn lỵt c¸c phÝm:

a   1 a a  a   1 a Ans a   1 a Ans 

2) TÝnh tõ trªn xuèng díi: BÊm lÇn lỵt c¸c phÝm:

 





Gi¶i:

Qui tr×nh bÊm trªn m¸y fx-500MS

*C¸ch 1: BÊm c¸c phÝm: 3 1a 2 2 1a Ans 1 1a Ans SHIFT a  b/c   b/c   b/c  b/c ( ) 23

16

*C¸ch 2: BÊm c¸c phÝm: 1 (1 a (2 (1 a ( 3 (1 a  b/ c  b/ c  b/ c 2 )))) 1623

 

Nhận xét:  Dạng toán tính giá trị của liên phân số thường xuất

hiện rất nhiều trong các kỳ thi nó thuộc dạng toán kiểm tra kỹ năng tínhtoán và thực hành Trong các kỳ thi gần đây, liên phân số có bị biến thể

đi đôi chút ví dụ như:

với dạng này thì nó lại thuộc

dạng tính toán giá trị biểu thức Do đó cách tính trên máy tính cũng nhưđối với liên phân số (tính từ dưới lên, có sử dụng biến nhớ Ans

Ví dụ 1 Cho

12 30

5 10 2003

1

1 1 1

o

n n

A a

a

a a

31

30 5

1 31

1 5

1 133

1 2

1 1

1 2 1 1 2

1 3

1 4 5

A 





 ;

10 1 7

1 6

1 5 4

B 





 ;

2003 2 3

4 5

8 7 9

C 





Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315

Riêng câu C ta làm như sau: Khi tính đến 2003: 1315

391 Nếu tiếp tục nhấn x 2003 = thìđược số thập phân vì vượt quá 10 chữ số

Vì vậy ta làm như sau:

391 x 2003 = (kết quả 783173) vậy C = 783173/1315

Bài 2 Tính và viết kết quả dưới dạng phân số

4 D=5+

4 6+

4 7+

4 8+

4 9+

10

Bài 3. Tính a,

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3 3

c,

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8 9

2 8

3 7

4 6

5 5

6 4

7 3

8 2 9

4 4

3 3

2 2

1 1

1 8

1 3

1 4

1 5

Bài 6 a) Viết quy trình tính:

3 381978

8

3 8

3 8

3 8

3 8

3

8

3 8

1 8

1 2

1 3 4





 , B =

1 1 4

1 3

1 2 2

1

a b









a b c d

Bài 10 Tỡm giỏ trị của x, y dưới dạng phõn số (hoặc hỗn số) từ cỏc phương trỡnh sau rồi

điền kết quả vào ụ vuụng :

N ếu x0 mà P(x0) = 0 thì x0 là nghiệm của P(x)

2) Khi chia đa thức P (x) cho (x -  ) luôn tồn tại một đa thức thơng Q(x) và số d

r Hay ta luôn có: P(x) = Q(x) (x - ) + r

* Chú ý: (Định lý Bezout)

1) N ếu x =  là nghiệm của P(x)  P(x) (x - )

2) Nếu x0 là nghiệm nguyên của P(x) thì x0 ước của a0

3) Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì P(x) = 0 có nghiệm là x = 1 ( Hay P(x) ( x - 1) )

4) Nếu tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) = 0 có

nghiệm là x = -1 (Hay P(x) ( x + 1) )

* Sơ đồ Horner: (đối với đa thức một biến)

Khi chia đa thức P(x) cho ( x -  ) thơng là: bn xn-1 + bn-1 xn-2 + + b2 x + b1và có số

Và có thương là: bn xn-1 + bn-1 xn-2 + + b2 x + b1

Da

̣ng 1 : Tìm d trong phép chia đa thức P(x) cho nhi thức ax + b

*Phơng pháp: Khi chia đa thức P (x) cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thơng Q(x)

và số d r Hay ta luôn có: P(x) = Q(x) (ax + b) + r

D ng 2: xác định tham số m để đa thức P(x)+m chia hết cho nhi thức ax+ b

*Phơng pháp: Khi chia đa thức P (x) + m cho (ax + b) luôn tồn tại một đa thức thơng

Q(x) và số d r Hay ta luôn có: P(x) = Q(x) (ax + b) +m + r

Để P (x) + m chia hết cho (ax + b) thì: m +r = 0  m =- r  m =- P(- b

a )

Ví dụ 1: Tìm a để đa thức A(x) = x 4  7x 3  2x 13x a 2   chia hết cho x+6

Giải: *Sơ lợc lời giải:

( )  ( ALPHA X ^ 4  7 ALPHA X x3  2 ALPHA X x 2  13 ALPHA X ) 

Ví dụ 2: Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 Tìm m để P(x) + m2 chia hết cho x + 3 ?

Giải: *Sơ lợc lời giải:

Ta có: d khi chia P(x) cho x + 3 là: r = P(-3) để P(x) + m2 chia hết cho x + 3