ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN – SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN – SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( BẢNG A )

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)

Ngày thi: 06/10/2011

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a Giải phương trình sau: 4 x2     x 1 1 5 x  4 x2  2 x3 x4 với x R 

b Giải phương trình: 2sin2x 3 sin 2x 1 3 cos x 3 sinx

Câu 2: ( 5,0 điểm )

a Cho tam giác ABC vuông cân tại B , cạnh AB  2 Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa MA2  MB2  MC2 Tìm quỹ tích của điểm M.

b Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng 600, BM  6, CN  9 Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác ABC.

Câu 3: ( 4,0 điểm )

Cho dãy số   u xác định bởi n u  và 1 1 2

u   u  với mọi n  1

a Xác định số hạng tổng quát của dãy số   u n

1 2 3 2011

S u   u  u   u

Câu 4: ( 3,0 điểm )

Cho a b c , , là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện a2  b2  c2  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M  a b c    a b c    abc

Câu 5: ( 3,0 điểm )

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 3   2

2

3





 với x y , là các số thực.

……… Hết ……….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………;Số báo danh:…………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Môn: TOÁN ( BẢNG A ) Ngày thi: 06/10/2011

ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang )

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm

từng phần như hướng dẫn quy định

1

(5,0 điểm)

a ( 3,0 điểm )

1, 2

t x  x t Khi đó phương trình trở thành:

4t t47t2 5t4 6t2 9 t2 4t4 0 0,5

t2 32 t 22 0 t2 t 1 t2 t 5 0

(*)

2 2

1 0

5 0

t t

t t

   

 

  



0,5

 Với 3

2

t  thì t2 t 1 0 có một nghiệm là 1 5

2

t 

 Với 3

2

t  thì t2 t 5 0 có một nghiệm là 1 21

2

t 

0,5

2

t  thì

2

2

x   x     x  x  

1 3 2 5 2

x   

2

x  

0,5

2

t  thì

2

2

x   x     x  x  

1 19 2 21 2

x   

2

x  

0,5

b ( 2,0 điểm )

Phương trình đã cho được viết lại:

3sin2x2 3 sin cosx xcos2 x3 3 sin xcosx

0,5

 3 sinx cosx2 3 3 sinx cosx 0

0,5

3 sinx cosx 0

 1

3 sin cos 0 tan

6 3

x x  x  x  k, k Z

2

(5,0 điểm)

a (2,0 điểm )

 Chọn hệ trục tọa độ Bxy vuông góc sao cho tia Bx qua A và tia

By qua C Ta có: B0;0, A2;0, C0; 2 Giả sử M x y  ;  0,5

 MA2  MB2  MC2

2 x2 y2 x2 y2 x2 2 y2

 x2y2 4x4y 0

0,5

 Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm

2; 2

I  , bán kính R 2 2

0,5

 Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm I2; 2 , bán kính

2 2

R 

0,5

b ( 3,0 điểm )

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

 Xét trường hợp: BGC1200

Ta có: BC2 GB2GC2 2GB GC .cos1200 76

2

4

AC

Vậy AC2 = 112

0,5

2

4

AB

Vậy độ dài trung tuyến còn lại :



 Xét trường hợp: BGC600

Ta có : BC2 GB2GC2 2GB GC .cos600  28

2

4

AC

Vậy AC2 = 208

0,5

2

4

AB

Vậy AB2 = 148

0,5

Vậy độ dài trung tuyến còn lại :



0,5

Câu Đáp án Thang điểm 3

(4,0 điểm)

a 2,0 điểm

Dễ thấy u n 0, n N*

Đặt v n u n2 thì có: v n1 3v n 2 v n1 1 3v n1 0,5 Đặt x n v n1 thì ta có:

1 3

n n

x  x Từ đây suy ra  x là cấp số nhân với n x  , công bội 1 2

là 3

0,5

2.3n 2.3n 1 2.3n 1

0,5

b 2,0 điểm

2.3 2.3 2.3 2.3 2011

2 3 03132 3 2010 2011 0,5

2 3 2011 1

2011

3 1



4

(3,0 điểm)

Chứng minh được: a b c  2 3a2b2c2 3 0,5

Suy ra: a b c   3 và a b c  33a b c   0,5

3

8 3

a b c

M  a b c   abc      

0,5 + 0,5

Vậy GTLN của M là 8 3

3

0,5

Giá trị này đạt được khi 1

3

5

2

2

x x x y m





   



0,5

Đặt u x 22 ,x v x y  Dễ có: u 1

Hệ trở thành: u v. 2m 3

u v m

 





 



0,5

Suy ra:    

2

2

u

u



Xét hàm  

2 3 2

u

f u

u





 với u 1

 

 

2

/

2

4 3

2

u

 



0,5

Bảng biến thiên:

u 1 

 

/

f u +

 

f u 

2