ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

————————————

Câu 1 (3,0 điểm).

1 Cho Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

2 Cho biểu thức

Tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.

Câu 2 (1,5 điểm).

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng:

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho ba đường tròn và (kí hiệu chỉ đường tròn có tâm là điểm X) Giả sử tiếp xúc ngoài với

nhau tại điểm I và lần lượt tiếp xúc trong với tại Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I cắt

đường tròn lần lượt tại các điểm Đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm , đường thẳng cắt

lại đường tròn tại điểm

1 Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và đường thẳng vuông góc với đường thẳng

2 Kẻ đường kính của đường tròn sao cho vuông góc với (điểm nằm trên cung không chứa

điểm ) Chứng minh rằng nếu không song song thì các đường thẳng và đồng quy

Câu 5 (1,0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh,

đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm

của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh

làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

 

3 2

1 3 3

x

f x

x x



 

Af  f   f  f  

2

1

P

x

x y; 

x y 3 x y  62

, , ,

a b c d

2012

abc bcd cda dab a b c d       

a21 b21 c21 d21 2012

  O1   , O X O2

  O1 , O2

  O M M1A A AM     1O O, , 'O O,1 11O22

II ĐÁP ÁN:

1 1 1,5 điểm

Nhận xét Nếu thì

Thật vậy, ta

có

0,5

suy ra Vậy, nhận xét được chứng minh Ta có

0,5

Theo nhận xét trên ta có:

0,5

2 1,5 điểm

Điều kiện: Khi đó ta có

Rút gọn biểu thức ta được 0,5

Ta có , ta coi đây là phương trình bậc hai của Nếu vô lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình trên có 0,5

Do P nguyên nên bằng 0 hoặc 1

+) Nếu không thỏa mãn

+) Nếu không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn

0,5

Nếu phương trình

Với thay vào phương trình ban đầu ta được:

suy ra phương trình có nghiệm

0,5

Với thay vào phương trình ban đầu ta được:

phương trình này

vô nghiệm do Vậy phương trình đã cho có

nghiệm

0,5

Ta có:

0,5 0,5

4

1 2,0 điểm

1

x y 

f x  f y 

 

3 3

1 1

x x



3 3

1

x x

f x f y f x f x



f  

 

         

0, 1

x x

2 1

x P

x x





Px PP  P012P  x4x x P P P0x 2 020

     

P  12

P12  0 P 1 x1

0

P

P









x y   2 x yx y x x yxy  {1; 2}66 x y x 3

1

x 

y13 (y5)2 x y ; y3 (1; 3)y25y8  0 y3

2

x 

y23 (y4)2 y  y135y24y 8 0

x y ;  (1; 3)

2012 abc bcd cda dab a b c d      

 ab 1 c d cd 1 a b 2

ab 12 a b2 cd 12 c d2

a b2 2 a2 b2 1 c d2 2 c2 d2 1 a2 1 b2 1 c2 1 d2 1

a21 b21 c21 d212012

S

2

O

Q P

A'

A