TRÌNH CHIẾU LUẬN VĂN “Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón”

Chương 2: Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón. 2.1. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và T co suy rộng trong không gian b mêtric Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và T co suy rộng trong không gian b mêtric 2.2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón Mục này nghiên cứu, xem xét một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric và không gian mêtric nón còn đúng cho không gian b mêtric nón nữa hay không?

Trang 1

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG

TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN

NGUYỄN XUÂN LONGLớp Cao học 23 - Toán Giải tíchCán bộ hướng dẫn: PGS TS Đinh Huy Hoàng

Trang 2

Lời nói đầu

• Lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề được nhiều nhà toánhọc quan tâm và nghiên cứu Sự phát triển của lý thuyết điểm bất động gắnliền với tên tuổi của các nhà toán học lớn như Brouwer, Banach, Shauder,Kakutani,

• Kết quả quan trọng đầu tiên phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động

là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach (1922)

• Năm 2007, các nhà toán học Trung Quốc: Huang Long Guang và ZhangXian ([6]) đã thay giả thiết hàm mêtric nhận giá trị trong tập hợp các sốthực không âm bởi nhận giá trị trong một nón định hướng trong không gianBanach và đưa ra khái niệm không gian mêtric nón

• Sau đó, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả về

sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric nón Những người thuđược nhiều kết quả theo hướng này là: J S Ume, R A Stoltenbeg, C S

Trang 3

Lời nói đầu

•Khái niệm không gian b-mêtric được đưa ra và nghiên cứu bởi S Czerwik[5] Trong [7], N Hussain và các cộng sự đã mở rộng lớp không gian b-mêtric và mêtric nón bằng cách đưa ra khái niệm không gian b-mêtric nón

và chứng minh một số tính chất tôpô và sự tồn tại điểm bất động trong lớpkhông gian này

• Năm 2013, M Kir và H Kiziltunc [8] đã chứng minh sự tồn tại điểm bấtđộng của các ánh xạ co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong không gianb-mêtric

• Mới đây (2014), Z Mustaja và các cộng sự [9] đã mở rộng các kết quảcủa Kannan, Chatterjea, Choudhury [4] và A Razani, Parvanneh [10] về sựtồn tại điểm bất động của ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, T -co yếusuy rộng kiểu Kannan, Chatterjea trong không gian mêtric cho không gianb-mêtric

Trang 4

Lời nói đầu

•Một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là, các kết quả tương tự về sựtồn tại điểm bất động trong không gian b-mêtric, đặc biệt là kết quả của Z.Mustafa và các cộng sự [9] có thể mở rộng được cho không gian b-mêtricnón hay không?

• Vì thế chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là:“Về sự tồn tại điểm bấtđộng của ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón”

Trang 5

Cấu trúc luận văn

• Chương 1 Không gian b-mêtric nón

• Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ

T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón

Trang 6

Chương 1 Không gian b-mêtric nón

Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không

gian b-mêtric nón làm cơ sở cho việc trình bày chương 2

1.1 Một số kiến thức chuẩn bịMục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gianmêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục,

1.2 Nón trong không gian BanachTrình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của nón trongkhông gian Banach

1.3 Không gian b-mêtric nónTrình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của không gianb-mêtric nón,

Trang 7

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian

mêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục,

1.2 Nón trong không gian BanachTrình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của nón trongkhông gian Banach

Trang 8

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian

mêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục,

1.2 Nón trong không gian Banach

Trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của nón trong

không gian Banach

Trang 9

Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của khônggian b-mêtric nón làm cơ sở cho việc trình bày chương 2

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gianmêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục,

Trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của nón trongkhông gian Banach

1.3 Không gian b-mêtric nón

Trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của không gianb-mêtric nón,

Trang 10

Luận văn đã đưa ra các nội dung

• Khái niệm không gian mêtric [1], Khái niệm không gian b-mêtric [5];

• Đưa ra chú ý không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gianb-mêtric khi s = 1;

• Đưa ra ví dụ về không gian b-mêtric [9] và ví dụ chỉ ra rằng có nhữngkhông gian b-mêtric nhưng không phải là không gian mêtric;

• Đưa ra các định nghĩa dãy hội tụ, dãy Cauchy, không gian b-mêtric đầy

đủ trong không gian b-mêtric và một số nội dung khác cần thiết trongLuận văn

Trang 11

• Đưa ra Định nghĩa và một số ví dụ nón trong không gian Banach;

• Đưa ra Bổ đề 1.2.4 và Bổ đề 1.2.5 trong [4] phục vụ cho chứng minh cácđịnh lí trong chương 2

Trang 12

1.3 Không gian b-mêtric nón

• Đưa ra định nghĩa không gian b-mêtric nón [7];

• Đưa ra định nghĩa dãy hội tụ, dãy Cauchy, không gian b-mêtric nón đầy

đủ trong không gian b-mêtric nón [7];

•Đưa ra định nghĩa ánh xạ liên tục, hội tụ dãy, hội tụ theo dãy con và điểmbất động của ánh xạ f trong không gian b-mêtric

Trang 13

Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy

rộng trong không gian b-mêtric nón

Chương này trình bày một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động

của các ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong khônggian b-mêtric

Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bấtđộng của các ánh xạ co và T -co suy rộng trong không gian b-mêtric

2.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong khônggian b-mêtric nón

Trang 14

Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy

rộng trong không gian b-mêtric nón

Chương này trình bày một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động

của các ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong không

gian b-mêtric

Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất

động của các ánh xạ co và T -co suy rộng trong không gian b-mêtric

Trang 15

Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón

Chương này trình bày một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất độngcủa các ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong khônggian b-mêtric

Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bấtđộng của các ánh xạ co và T -co suy rộng trong không gian b-mêtric

Trang 16

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric

Trang 17

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng

trong không gian b-mêtric

Trang 18

Trang 19

Trang 20

2.1.2 Định lí

Giả sử (X , d ) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, f và

T : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:

i) T đơn ánh và liên tục;

ii) Tồn tại ϕ ∈ Φ1 sao cho với mọi x , y ∈ X , ta có

d (Tfx , Tfy ) ≤ α1sd (Tx , Ty ) + α2[d (Tx , Tfy ) + d (Ty , Tfx )]

+α3s[d (Tx , Tfx ) + d (Ty , Tfy )] − ϕ(d (Tx , Ty )), (1)

trong đó α1, α2, α3 là các hằng số không âm sao cho

Trang 21

1) Với mỗi x0 ∈ X , dãy {Tfnx0} hội tụ;

2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có một điểm bất động duy nhất;

3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi x0 ∈ X , dãy {fnx0} hội tụ tớiđiểm bất động của f

Trang 22

Trong Định lí 2.1.2, nếu ta lấy T : X → X là ánh xạ đồng nhất, tức

T (x ) = x , với mọi x ∈ X Đặt α1 = 1

s2, α2 = α3 = 0 Khi đó, ta nhậnđược Hệ quả sau

2.1.3 Hệ quảGiả sử (X , d ) là không gian b-mêtric đầy đủ với hằng số s ≥ 1 và ánh xạ

f : X → X thỏa mãn

d (fx , fy ) ≤ 1

sd (x , y ) − ϕ(d (x , y )), ∀x , y ∈ Xtrong đó ϕ ∈ Φ1 Khi đó, f có duy nhất điểm bất động

Trang 23

Trong Định lí 2.1.2, nếu ta lấy T : X → X là ánh xạ đồng nhất, tức

T (x ) = x , với mọi x ∈ X Đặt α1 = 1

s2, α2 = α3 = 0 Khi đó, ta nhậnđược Hệ quả sau

Trang 24

Trong Định lí 2.1.2, nếu ta thay ϕ(d (Tx , Ty )) bởi ϕ(λd (Tx , Ty )), thì ta

nhận được Hệ quả sau

2.1.4 Hệ quảGiả sử (X , d ) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, f và

Trang 25

Trong Định lí 2.1.2, nếu ta thay ϕ(d (Tx , Ty )) bởi ϕ(λd (Tx , Ty )), thì tanhận được Hệ quả sau

2.1.4 Hệ quả

Trang 26

3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi x ∈ X , dãy {fnx } hội tụ tới

Trang 27

2.1.5 Hệ quả

Trang 28

2.1.5 Hệ quả

d (Tfx , Tfy ) ≤ β1sd (Tx , Ty ) + β2[d (Tx , Tfy ) + d (Ty , Tfx )]

+ β3s[d (Tx , Tfx ) + d (Ty , Tfy )] (12)

Khi đó,

Trang 29

Trong Hệ quả 2.1.5, nếu ta đặt α = β1s và lấy β2 = β3 = 0 thì điều kiện

T : X → X là hai ánh xạ Khi đó, nếu T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãycon, còn f là ánh xạ T -co thì f có điểm bất động duy nhất

Trang 30

Trong Hệ quả 2.1.5, nếu ta đặt α = β1s và lấy β2 = β3 = 0 thì điều kiện(2.15) trở thành

d (Tfx , Tfy ) ≤ αd (Tx , Ty ), ∀x , y ∈ X ,

trong đó α ∈ [0,1

s) Ta có Hệ quả sau2.1.6 Hệ quả

T : X → X là hai ánh xạ Khi đó, nếu T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãycon, còn f là ánh xạ T -co thì f có điểm bất động duy nhất

Trang 31

2.1.7 Hệ quả

Giả sử (X , d ) là không gian mêtric đầy đủ, f và T : X → X là hai ánh

xạ thỏa mãn các điều kiện sau:

i) T đơn ánh và liên tục;

ii) Tồn tại các hằng số không âm α1, α2, α3, α4, α5, sao cho

α1+ α2+ α3+ α4+ α5 < 1và

d (Tfx , Tfy ) ≤ α1d (Tx , Ty ) + α2d (Tx , Tfy ) + α3d (Ty , Tfx )

+ α4d (Tx , Tfx ) + α5d (Ty , Tfy ), ∀x , y ∈ X (13)

Trang 32

2.1.7 Hệ quả

Khi đó,

Trang 33

2.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón

2.2.1 Định lí

Giả sử (X , d ) là không gian b-mêtric nón đầy đủ với hằng số s ≥ 1, f và

Trang 34

Trang 35

trong không gian b-mêtric nón

Trong Định lí 2.2.1, nếu ta đặt α1 = β1, α2 = α3 = β2, α4 = α5 = β3

thì ta nhận được Hệ quả sau

2.2.2 Hệ quảGiả sử (X , d ) là không gian b-mêtric nón đầy đủ với hằng số s ≥ 1, f và

T : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau

Trang 36

Trong Định lí 2.2.1, nếu ta đặt α1 = β1, α2 = α3 = β2, α4 = α5 = β3thì ta nhận được Hệ quả sau

2.2.2 Hệ quả

Giả sử (X , d ) là không gian b-mêtric nón đầy đủ với hằng số s ≥ 1, f và

T : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau

Trang 37

Trang 38

Nếu trong Định lí 2.2.1, lấy T : X → X là ánh xạ đồng nhất (Tx = x ,

với mọi x ∈ X ) thì ta nhận Hệ quả sau

2.2.3 Hệ quảGiả sử (X , d ) là không gian b-mêtric nón đầy đủ với hằng số s ≥ 1,

f : X → X là ánh xạ sao cho tồn tại các hằng số không âm α1, α2, α3, α4,

Trang 39

Nếu trong Định lí 2.2.1, lấy T : X → X là ánh xạ đồng nhất (Tx = x ,với mọi x ∈ X ) thì ta nhận Hệ quả sau

2.2.3 Hệ quả

Giả sử (X , d ) là không gian b-mêtric nón đầy đủ với hằng số s ≥ 1,

f : X → X là ánh xạ sao cho tồn tại các hằng số không âm α1, α2, α3, α4,

Trang 40

Trang 41

Nếu trong Định lí 2.2.1, lấy s = 1, tức (X , d ) là không gian mêtric đầy

đủ thì ta nhận được Hệ quả sau

2.2.4 Hệ quảGiả sử (X , d ) là không gian mêtric đầy đủ, f và T : X → X là hai ánh

xạ thỏa mãn các điều kiện sau

Trang 42

Nếu trong Định lí 2.2.1, lấy s = 1, tức (X , d ) là không gian mêtric đầy

đủ thì ta nhận được Hệ quả sau

2.2.4 Hệ quả

Giả sử (X , d ) là không gian mêtric đầy đủ, f và T : X → X là hai ánh

xạ thỏa mãn các điều kiện sau

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	451,72 KB