LUẬN VĂN “Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón”.

Lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu. Người ta đã tìm thấy sự ứng dụng đa dạng của lý thuyết điểm bất động trong toán học và nhiều ngành kỹ thuật khác. Sự phát triển của lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn như Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani,… Kết quả quan trọng đầu tiên phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach (1992). Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian khác nhau. Một trong những hướng mở rộng đó là thay đổi điều kiện trong định nghĩa mêtric, từ đó thu được lớp không gian rộng hơn lớp không gian mêtric. Sau đó, người ta nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động trong lớp các không gian vừa định nghĩa,…

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN XUÂN LONG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG

TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Vinh - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN XUÂN LONG

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG

TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS ĐINH HUY HOÀNG

Vinh - 2017

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 61.2 Nón trong không gian Banach 91.3 Không gian b-mêtric nón 13

xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T-co suy rộng trong không

gian b-mêtric 172.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T-co suy rộng trong không

gian b-mêtric nón 26

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề được nhiều nhà toánhọc quan tâm và nghiên cứu Người ta đã tìm thấy sự ứng dụng đa dạng của lýthuyết điểm bất động trong toán học và nhiều ngành kỹ thuật khác Sự pháttriển của lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi của các nhà toán họclớn như Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Kết quả quan trọng đầu tiênphải kể đến trong lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co trong khônggian mêtric đầy đủ của Banach (1922) Người ta đã mở rộng nguyên lý này chonhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian khác nhau Một trong những hướng

mở rộng đó là thay đổi điều kiện trong định nghĩa mêtric, từ đó thu được lớpkhông gian rộng hơn lớp không gian mêtric Sau đó, người ta nghiên cứu sự tồntại điểm bất động trong lớp các không gian vừa định nghĩa, Năm 2007, cácnhà toán học Trung Quốc: Huang Long Guang và Zhang Xian ([6]) đã thay giảthiết hàm mêtric nhận giá trị trong tập hợp các số thực không âm bởi nhận giátrị trong một nón định hướng trong không gian Banach và đưa ra khái niệmkhông gian mêtric nón Sau đó, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đạt đượcnhiều kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric nón Nhữngngười thu được nhiều kết quả theo hướng này là: J S Ume, R A Stoltenbeg,

C S Wong, H L Guang và Z Xian, Khái niệm không gian b-mêtric đượcđưa ra và nghiên cứu bởi S Czerwik [5] Trong [7], N Hussain và các cộng sự

đã mở rộng lớp không gian b-mêtric và mêtric nón bằng cách đưa ra khái niệmkhông gian b-mêtric nón và chứng minh một số tính chất tôpô và sự tồn tạiđiểm bất động trong lớp không gian này Năm 2013, M Kir và H Kiziltunc[8] đã chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu Kannan

và kiểu Chatterjea trong không gian b-mêtric Mới đây (2014), Z Mustaja vàcác cộng sự [9] đã mở rộng các kết quả của Kannan, Chatterjea, Choudhury

[4] và A Razani, Parvanneh [10] về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cokiểu Kannan, Chatterjea, T-co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea trongkhông gian mêtric cho không gian b-mêtric Một vấn đề được đặt ra một cách

tự nhiên là, các kết quả tương tự về sự tồn tại điểm bất động trong không gian

b-mêtric, đặc biệt là kết quả của Z Mustafa và các cộng sự [9] có thể mở rộngđược cho không gian b-mêtric nón hay không? Để tập dượt nghiên cứu khoahọc và lĩnh hội về lý thuyết điểm bất động, chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu cáctính chất của không gianb-mêtric nón là sự tồn tại điểm bất động trong khônggian này Vì thế chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Về sự tồn tại điểmbất động của ánh xạ T-co suy rộng trong không gian b-mêtricnón”

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận luận văn gồm 2 chương

Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bảnkhông gian mêtric nón và không gian b-mêtric nón

Chương 2 đưa ra một vài kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của cácánh xạ T-co suy rộng trong không gian b-mêtric và không gian b-mêtric nón,

đó là các Định lí 2.1.2, 2.2.1 và các Hệ quả của hai định lí này

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình của PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcđến Thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, Ban chủnhiệm khoa Toán - Trường Đại học Vinh

Tác giả xin cảm ơn quý Thầy cô giáo tổ Giải tích trong khoa Toán - TrườngĐại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gianhọc tập

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạnhọc viên Cao học K23 - Chuyên ngành Toán Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ vàđộng viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mongnhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn!

Nghệ An,tháng 6 năm 2017

Tác giảNguyễn Xuân Long

Chương 1

Không gian b-mêtric nón

Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian

b-mêtric nón làm cơ sở cho việc trình bày chương 2

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric,không gianb-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục, cần dùng trong luậnvăn

iii) d(x, z) ≤ d(y, x) + d(y, z)

Tập X cùng với một mêtric d được gọi là không gian mêtric và được kíhiệu bởi (X, d) hặc X

1.1.2 Định nghĩa ([5]) Giả sử X là tập hợp khác rỗng và số thực s ≥ 1.Hàm d : X × X → [0, ∞) được gọi là b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X, ta cói) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

ii) d(x, y) = d(y, x);

iii) d(x, z) ≤ s[d(y, x) + d(y, z)] (bất đẳng thức tam giác)

Tập X cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric với

hệ số s, nói gọn là không gian không gian b-mêtric và được kí hiệu bởi (X, d)

2) Giả sử X = R và trên R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm

d : X × X → [0, ∞) bởi

d(x, y) = |x − y|2, ∀x, y ∈ R.

Khi đó, d là mêtric với s = 2 (theo 1), nhưng d không phải là mêtric trên R vì

d(1, −2) = 9 > 5 = d(1, 0) + d(0, −2).1.1.5 Định nghĩa ([5]) Giả sử {xn}là dãy trong không gian b-mêtric(X, d).Dãy {xn} được gọi là b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) tới x ∈ X và được kí hiệubởi xn → x hoặc limn→∞xn = x nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên n0

sao cho d(xn, x) < ε với mọi n ≥ n0 Nói cách khác, xn → x khi và chỉ khi

d(xn, x) → 0 khi n → ∞

Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên

n0 sao cho d(xn, xm) < ε với mọi n, m ≥ n0

Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đềuhội tụ

1.1.6 Định nghĩa Giả sử E là không gian véc tơ trên trường K = R hoặc

K = C Hàm p : E → R được gọi là chuẩn trênE nếu thỏa mãn các điều kiệnsau:

i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0;

ii) p(λx) = |λ| p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K;

iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E

Số p(x) được gọi là chuẩn của véctơ x ∈ E Ta thường kí hiệu chuẩn của x

là kxk Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi làkhông gian định chuẩn

1.1.7 Mệnh đề Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức

d(x, y) = kx − yk, ∀x, y ∈ E,xác định một mêtric trên E

Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn

Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtricsinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach

1.1.8 Định lí Giả sử E là không gian định chuẩn thì

i) x ≤ x, với mọi x ∈ X;

ii) x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y, với mọi x, y ∈ X;

iii) x ≤ y và y ≤ z suy ra x ≤ z, với mọi x, y, z ∈ X

Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ

tự bộ phận và kí hiệu (X, ≤) hoặc X

1.1.10 Định nghĩa ([2]) Giả sử ”≤” là một quan hệ hai ngôi trên X và

A ⊆ X

i) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới ) của A nếu

a ≤ x (tương ứng x ≤ a), với mọi phần tử a ∈ A;

ii) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng)xủa A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng

là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x).Khi đó, ta kí hiệu x = sup A (tương ứng x = inf A)

1.2.1 Định nghĩa ([4]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực

R Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu

Vậy P là một nón trên E.

3) Giả sử C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên

[a, b] Ta đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn

kf k = supx∈[a,b]|f (x)|, ∀f ∈ C[a,b].Trên C[a,b] có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định bởi

f, g ∈ C[a,b],

f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b].Đặt P = {f ∈ C[a,b] : 0 ≤ f } Khi đó P thỏa mãn ba điều kiện

Cho P là một nón trong không gian Banach E Trên E ta định nghĩa quan

hệ thứ tự 00 ≤00 xác định bởi P như sau: x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P

Ta viết x < y nếu x ≤ y và x 6= y; và viết x  y nếu y − x ∈ intP, trong

đó intP là phần trong của P

1.2.3 Định nghĩa ([4]) Cho P là một nón trong không gian Banach E Nón

P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho với mọi

x, y ∈ E và 0 ≤ x ≤ y, ta có kxk ≤ Kkyk Số thực dương K nhỏ nhất thỏamãn điều kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P

1.2.4 Bổ đề ([4]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E, a, b, c ∈ E,

{xn}, {yn} là các dãy trong E và α là số thực dương Khi đó

(i) Nếu a  b và b  c thì a  c;

(ii) Nếu a ≤ b và b  c thì a  c;

(iii) Nếu a  b, c  d thì a + c  b + d;

(iv) α intP ⊂ intP;

(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP, tồn tại 0 < γ < 1 sao cho kγxk < δ;

(vi) Với mỗi c1 ∈ intP và c2 ∈ P, tồn tại d ∈ intP sao cho c1  d và

c2  d;

(vii) Với mỗi c1, c2 ∈ intP, tồn tại e ∈ intP sao cho e  c1 và e  c2;(viii) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;

(ix) Nếu a ≤ λa với a ∈ P, 0 < λ < 1 thì a = 0;

(x) 0 ≤ xn ≤ yn với mỗi n ∈ N và limn→∞xn = x, limn→∞yn = y thì

0 ≤ x ≤ y

Chứng minh (i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP Nếu a  b

và b  c thì b − a ∈ intP và c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a

∈ intP + intP ⊂ intP Vậy a  c

(ii) Để ý rằng intP + P = S

x∈P(x + intP ) là tập mở và P nón nên suy ra

x + intP ⊂ P Do đó P + intP ⊂ intP Nếu a ≤ b và b  c thì b − a ∈ P và

c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay c − a ∈ intP.Vậy a  c

(iii) Ta có a  b và c  d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP, suy ra

b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP, do đó a + c  b + d

(iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên α intP ⊂ intP

(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP, chọn số tự nhiên n > 1 sao cho δ

suy ra −c2 ∈ mB(0, δ) và mc1− c2 ∈ intP Đặt d = mc1− c2 Khi đó, d thỏamãn (vi).

(vii)Chọn δ0 > 0sao choc1+B(0, δ0) ⊂ intP,c2+B(0, δ0) ⊂ intP trong đó

B(0, δ0) = {x ∈ E : kxk < δ0} Do tính hút của B(0, δ0) nên tồn tại m > 0 saocho c1 ∈ mB(0, δ0), c2 ∈ mB(0, δ0), suy ra −c1 ∈ mB(0, δ0), −c2 ∈ mB(0, δ0)

và mc1− c1 ∈ intP, mc2− c2 ∈ intP Đặt e = m1c1− c1+ mc2 − c2 Khi đó,

Chứng minh Giả sử {xn} là dãy trong P và xn → 0 Với mọi c ∈ intP, vì

intP là tập mở nên tồn tạiδ > 0 sao choc+BE(0, δ) ∈ intP, trong đó BE(0, δ)

là hình cầu mở tâm 0, bán kính δ trong E Do đó, nếu x ∈ E mà kxk < δ thì

c − x ∈ intP Với δ > 0 xác định như trên, tồn tại n0 ∈ N sao cho

kxk < δ,∀n ≥ n0.Suy ra c − xn ∈ intP với mọi n ≥ n0 Do đó, xn  c với mọi n ≥ n0

1.3 Không gian b-mêtric nón

Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của khônggian b-mêtric nón

Từ đây trở về sau, ta luôn giả thiết E là không gian Banach thực, P lànón của E với intP 6= ∅, ≤ và  là hai quan hệ thứ tự trên E được xác địnhbởi P

1.3.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử X là tập khác rỗng và hàm d : X × X → E.Hàm d được gọi là b-mêtric nón trên X nếu tồn tại s ≥ 1 sao cho với mọi

2) Tồn tại những không gian b-mêtric nón mà không phải là không gianmêtric nón

3) Trong định nghĩa 1.3.1, nếu ta lấy E = R và P = [0, ∞) thì ta nhận đượcđịnh nghĩa không gian b-mêtric Như vậy không gian b-mêtric là một trườnghợp đặc biệt của không gian b-mêtric nón

1.3.3 Ví dụ ([7]) Lấy E = R2, P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0}, X = R và

d : X × X → E là hàm xác định bởi

d(x, y) = (|x − y|β, α(|x − y|β), ∀(x, y) ∈ X × X,trong đó α và β là hai hằng số, α ≥ 0, β > 1

Khi đó,(X, d)là không gianb-mêtric nón với tham số s ≥ 2β > 1nhưng (X, d)

không phải là không gian mêtric nón

Chứng minh Để chứng minh (X, d) là không gian b-mêtric nón, ta sẽ lần lượtkiểm tra ba điều kiện b-mêtric nón của hàm d Ta có

i) Hiển nhiên |x − y|β ≥ 0 và α|x − y|β ≥ 0 với mọi x, y ∈ R, α ≥ 0, β > 1

suy ra được d(x, y) = (|x − y|β, α|x − y|β) = (|y − x|β, α|y − x|β) = d(y, x),với mọi x, y ∈ R, α ≥ 0, β > 1

iii) Với mọi x, y, z ∈ R, ta có

1.3.4 Định nghĩa ([7]) Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric nón, x ∈ X và

{xn} là dãy trong X

i) Dãy {xn}được gọi là dãy hội tụ tới xvà được kí hiệu bởi limn→∞xn = x

hoặc xn → x nếu với mọi c ∈ intP, tồn tại số tự nhiên nc sao cho

d(x, xn)  c, với mọi n ≥ nc;ii) Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ intP, tồn tại số tựnhiên nc sao cho

d(xn, xm)  c, với mọi m, n ≥ nc;iii) Không gianb- mêtric nón (X, d)được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchytrong X đều hội tụ

1.3.5 Bổ đề Giả sử {xn} là dãy trong không gian b-mêtric (X, d) và

2s với mọi n ≥ nc Do đó, với mọi n và m ≥ nc, ta có

|d(xn, xm)| ≤ s[d(xn, x) + d(xm, x)]  c

Do đó, {xn} là dãy Cauchy

ii) Giả sử xn → x và xn → y Khi đó, với mọi c ∈ intP, tồn tại nc ∈ N sao

cho với mọi n ≥ nc, ta có

iii) Với mỗi y ∈ X, theo bất đẳng thức tam giác, ta có

d(x, y) ≤ s[d(x, xn) + d(xn), y], n = 1, 2,

Từ đó suy ra với mọi n = 1, 2, , ta có

1

sd(x, y) − d(x, xn) ≤ d(xn, y) ≤ sd(xn, x) + sd(x, y).Mặt khác, vìxn → x nên với mọic ∈ intP, tồn tạin0 ∈ N sao chod(xn, x)  c

1

sd(x, y) − c ≤ d(xn, y) ≤ sd(x, y) + c, ∀n ≥ n0

1.3.6 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric và f : X → X

i) Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu mọi dãy {xn} trong X mà xn → x ta

có f xn → f x

Ở đây và sau này ta viết f x thay cho f (x) với mọi x ∈ X

ii) Ánh xạ f được gọi là hội tụ dãy nếu với mọi dãy {xn} trong X mà{f xn}

hội tụ thì dãy {xn} hội tụ

iii) Ánh xạ f được gọi là hội tụ dãy con nếu với mọi dãy {xn} trong X mà

{f xn} hội tụ suy ra tồn tại dãy con {xnk} của {xn} mà {xnk} hội tụ.iv) Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f x = x

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng

trong không gian b-mêtric

Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất độngcủa các ánh xạ co và T-co suy rộng trong không gian b-mêtric

2.1.1 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric f và T : X → X làhai ánh xạ

i) Ánh xạ f được gọi là T-co nếu tồn tại hằng số α ∈ [0,1

s) sao cho

d(T f x, T f y) ≤ αd(T x, T y), ∀x, y ∈ X.ii) Ánh xạ f được gọi là T-co suy rộng nếu tồn tại các hằng số α1, α2, α3,

Ta kí hiệu Φ1 = {ϕ : [0, +∞) → [0, +∞)| ϕ liên tục, không giảm và

ϕ(t) = 0 ⇔ t = 0}.2.1.2 Định lí Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số

s ≥ 1, f và T : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:

i) T đơn ánh và liên tục;

ii) Tồn tại ϕ ∈ Φ1 sao cho với mọi x, y ∈ X, ta có

d(T f x, T f y) ≤ α1sd(T x, T y) + α2[d(T x, T f y) + d(T y, T f x)]

+α3s[d(T x, T f x) + d(T y, T f y)] − ϕ(d(T x, T y)), (2.1)trong đó α1, α2, α3 là các hằng số không âm sao cho

1) Với mỗi x0 ∈ X, dãy {T fnx0} hội tụ;

2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có một điểm bất động duy nhất;3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi x0 ∈ X, dãy {fnx0} hội tụ tớiđiểm bất động của f

Chứng minh 1) Lấy x0 ∈ X và xác định dãy {xn} bởi

xn+1 = f xn = fnx0, ∀n = 0, 1, 2,

Đặt yn = T xn, với mọi n = 0, 1, 2, Đầu tiên, ta chứng minh d(yn, yn+1) → 0

khi n → ∞