ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN THPT – SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN THPT – SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MƠN : TỐN- THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC Th i gian: 180 phút ờ (Đề thi gồm có 01 trang) Ngày thi : 18 /02 /2011

Câu 1: ( 3,0 điểm )

Cho hàm số y x= 3- 3x2+ mx (1) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (1) cĩ cực đại,

cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) :d x+2y− =9 0

Câu 2: ( 3,0 điểm )

Tính tích phân

2

2

( cos ) 4cos 3sin

x x dx I

π

π

+

=

+

∫

Câu 3: ( 2,0 điểm )

P x = + x+ x Xác định hệ số x trong khai triển ( )3 P x theo lũy thừa của x

Câu 4:( 3,0 điểm )

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cĩ tâm đường trịn ngoại tiếp là điểm (4;0)

I và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác là ( ) :d1 x y+ − =2 0 và ( ) :d2 x+2y− =3 0 Viết phương trình

các đường thẳng chứa cạnh của tam giác ABC

2 Cho I là tâm của đường trịn nội tiếp tam giác ABC cĩ AB c BC a CA b= , = , = Chứng minh rằng:

1

IA IB IC

bc + ca + ab =

Câu 5: ( 3,0 điểm )

1. Giải phương trình: 2sin 2x cos x+ 2 + =2 2 sin 2 cos( x x+sinx+2 cosx)

2 Cho , ,x y z Ỵ [0;1] Chứng minh rằng:

(2 2 2 2) ( 2 2 ) 81

8

Câu 6: ( 3,0 điểm )

Cho hình chĩp tứ giác đều S ABCD mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC bằng b ) Gĩc giữa mặt bên và mặt đáy hình chĩp bẳng α Tìm α để thể tích của khối chĩpS ABCD

nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ

Câu 7: ( 3,0 điểm )

Giải hệ :

 − = −







-Hết -Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:………… Chữ kí giám thị 1:……… Chữ kí giám thị 2:………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 -2011

MƠN : TỐN- THPT

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

MƠN: TỐN

Ngày thi : 18 /02 /2011

(Đáp án cĩ 04 trang)

Lưu ý: Đây chỉ là một trong những cách giải, nếu thí sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng.

Câu 1

( 3đ )

+ Ta cĩ y' 3= x2−6x m+

+ Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu ⇔ y' 0= cĩ hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆ = −' 9 3m> ⇔ <0 m 3

y x = y x  x−  + m− x+ m

+ Gọi M x y và 1( ; )1 1 M x y là hai điểm cực trị, suy ra 2( ; )2 2 x x là hai nghiệm của 1, 2

phương trình ' 0y = , nên 1 2

1 2

2

3

x x m

x x

+ =







+ Đường thẳng qua 2 điểm cực trị M1, M2 là 1

d y= m− x+ m

+ I là trung điểm M M , suy ra 1 2 I(1;m−2)

+ Do M M đối xứng qua ( )1, 2 d nên 1

6

1 2( 2) 9 0

m

d d

m

I d

m

 − − = −

⊥

0,25 0,5

0,5

0,25

0,5

0,5

0,5

Câu 2

( 3đ )

Tính

2

2

( cos ) 4cos 3sin

x x dx I

π

π

+

=

+

∫

+

+

+ Tính

0

0

I

Trong

0

2 2

4 in

xdx

s x

∫ , Đặt x= −t, đổi cận, CM

0

2 2

4 in

xdx

s x

π

=

−

2

xdx

s x

π

−

∫

Suy ra I1=0

+ Tính

2

2

cos

4 in

xdx I

s x

π

π

=

−

0,5

0,25

1,0

0,25

Trang 1/4

Đặt t=sinx, đổi cận ta có

1

1

1

I

−

∫

+ 1ln 3

2

I =

0,75

0,25

Câu 3

( 2đ )

P x = + x+ x = +x + x

P x =C +C x + x +C x + x + +C x + x

+ Hệ số của x chỉ xuất hiện trong 3 2 2( )2 3 3( )3

C x + x +C x + x

+ Hệ số x trong khai triển: 3 24C102 +C103.64=8760

0,5 0,5

0,5 0,5

Câu 4

( 3đ )

+ Tìm được (1;1)A

+ Gọi ∆ là đường thẳng qua I và song song với d Tìm được :1 ∆ + − =x y 4 0

+ Gọi M = ∆ ∩ ⇒d2 M(5; 1)− , M là trung điểm BC⇒đường thẳng BC đi qua M

và vuông góc với d 1

Tìm được (BC x y) : − − =6 0

+ Nhận xét ,B C là giao điểm của đường thẳng BC và đường tròn tâm I , bán kính

10

R IA= = có phương trình (x−4)2+y2 =10

+ Giải hệ tìm được tọa độ (3; 3), (7;1)B − C

+ Phương trình (AB) : 2x y+ − =3 0

Phương trình (AC y) : − =1 0

2 ( 1 điểm)

ABC

∆

+

2

sin 2

+ Tương tự : 2 tan tan

ab =

0,25 0,25

0,5

0,25 0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

Trang 2/4

1 ( 2 điểm)

+ 2 2 2 tan tan tan tan tan tan 1

Câu 5

( 3đ )

1 (1,5 điểm)

( )

2

os2x = 2 sin 2x.cosx - sin2x 2 sin x - sin2x 2 2cosx - 2

2 os 1 sin 2x 2 osx -1 2 sinx 2 osx -1 2 2 osx -1

2 osx +1 2 osx -1 2 osx -1 sin 2x - 2 sinx +2

1 osx = 1

2

2 sinx + cosx 2sinx.cosx - 1 = 0 2

c

c





⇔

−







4

x π k π

⇔ = ± +

x π kπ x π k π

2 (1,5 điểm)

+ Đặt a=2 ,x b=2 ,y c=2z, BĐT cần CM (a b c) 1 1 1 818

a b c

, , [1; 2]

a b c∈

+ Xét tam thức bậc hai f x( )=x2− +3x 2 có hai nghiệm x = 1, x = 2

( ) 0, [1, 2]

f x x

+ Mà

2 2 2

2 3

( ) 0

2

3

a a

a a

f a

b

c c

 + ≤



 − + ≤

≤



+ Từ đó : (a b c) 2 2 2 9

a b c

+ + + + + ÷≤

+ Áp dụng Côsi 9 (a b c) 2 2 2 2 (a b c) 2 2 2

0,75

0,25

0,5

0,25

0,25

0,5

0,5

Câu 6

( 3đ )

+ Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của BC AD , ta có SIJ, ∠ =α 0,25

Trang 3/4

+ Ta có AD BC/ / ⇒ AD/ / (SBC)⇒d A SBC( ,( ))=d J SBC( ,( )).

+ Trong tam giác SIJ vẽ đường cao JH Chứng minh được JH ⊥(SBC)

Suy ra ( ,(d J SBC))=JH b=

+ Trong tam giác vuông IHJ , ta có

2

2

+ Gọi O là tâm của đáy, thì tan tan

+

3

1

S ABCD ABCD

b

+ . min 2 1 min (sin2 cos ) max

sin cos

S ABCD

2

(cos (1 sinα α)) max

+ Xét hàm f x( )=x.(1−x2),(x=cosα∈(0;1))

+ Lập bảng biến thiên, tìm được

(0;1)

2 3

ax ( )

9

x

M f x

3

x=

S ABCD

b Min V = ⇔ α = ; 00 < <α 900

0,25

0,5

0, 5

0,25

0,25

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu 7

( 3đ )

Giải hệ

 − = −







+ Xét phương trình (1) ⇔2x+ =x 2y+y

Ta có ( ) 2f t = + ⇒t t f t'( ) 2 ln 2 1 0,= t + > ∀ ∈t R

Vậy ( )f t là hàm đơn điệu tăng trên R , mà ( ) f x = f y( ) nên x= y.

+ Thay y x= vào bất phương trình (2), ta có

2

2

1 2

2 1

2 2

x x

x x





 − ≥



 = ∨ = −





⇔  < − ∨ >



 ≤ ∨ ≥



2

⇔ ≤ − ∨ = ∨ ≥

0,5 0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

-

HẾT -Trang 4/4

Trang 4/4