a Viết phương trình cạnh AB và tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh C.. b Tính góc ·BAC của tam giác ABC.. a Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC.. b Tính khoảng cách giữa
Trang 1TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐH,CĐ
NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I: (2,5 điểm)
1) Cho phương trình x2 - 2(m + 3)x + 2m2 - 2m = 0 , m là tham số
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 2(x1 +x2)+x x1 2 =52.
2) Giải hệ phương trình:
21 4 1
+ = +
− − = +
Câu II: (3,5 điểm)
1) Giải phương trình: 1 - sinx - cosx + sin2x + cos2x = 0
2) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 12
n
x x
−
÷
với x ≠ 0, biết n là số tự nhiên thỏa mãn
A −C = n+
3) Cho hàm số 3 1
1
x y x
−
= + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng d: y = 4x + 10
Câu III: (3,5 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(-5; - 1), C(7; 0)
a) Viết phương trình cạnh AB và tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh C
b) Tính góc ·BAC của tam giác ABC
2) Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2a, BAC· =600 , SA vuông góc với mp(ABC) và SA = a 3, (a > 0)
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC
Câu IV: (0,5 điểm)
Cho hai số thực x,y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 1 Tìm GTLN của biểu thức P=x 1− y2 + y 1−x2
………… Hết …………
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP 12 - LUYỆN THI ĐH,CĐ- THANH TƯỜNG
I-1
(1,5 đ)
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 là ∆’ > 0 0,25
⇔ - m2 + 8m + 9 > 0 ⇔ - 1< m < 9 (1) 0,25+0,25
Áp dụng Định lí Vi-ét ta có: 2(x1 +x2)+x x1 2 =52 ⇔ 2 2([ m+3)]+(2m2 −2 ) 52m = 0,25
⇔ 2m2 +2m−40 0= ⇔ m = 4 (thỏa mãn (1)) v m = - 5 (Loại do (1))
I-2
(1 đ)
Từ PT (1) ta có (x y) 20(1 1) 0 (x y xy)( 20) 0
x y
− + − = ⇔ − − =
⇔ x = y v xy = 20
0,25
Với x = y Từ PT(2) ta có 21 4 2 1 1 0 2 2
x
x
x
+ ≥
− − = + ⇔ − − = +
2
2
2 6x 20 0
x
x v x x
⇔ + − = ⇔ = = − ⇔ = Vậy hệ phương trình có nghiệm
2 2
x y
=
=
0,25
Với xy = 20 Từ PT(2) ta có 1 4 1 1 0 2
1 4 ( 1)
x
x x
+ ≥
− = + ⇔ − = +
2
≥ − ≥ −
⇔ ⇔
+ = = = −
⇔ x = 0 (Loại vì điều kiện (*))
Kết luận: Hệ phương trình có 1 nghiệm (x;y) = (2; 2)
0,25
II-1
(1,25đ)
Phương trình đã cho tương đương với 1 - (sinx + cosx) + 2sinx.cosx + 2cos2x - 1 = 0 0,25
⇔ 2cosx(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0 0,25
⇔ (sinx + cosx)( 2cosx - 1) = 0
⇔ sinx = - cos x (1) v 2cosx = 1 (2) 0,25 PT(1): tan 1 ,
4
x = − ⇔ = − +x π k kπ ∈Z
0,25
PT(2): cos 1 2 ,
x= ⇔ = ± +x π k π k∈Z
Kết luận:
4
x= − +π kπ
3
x= ± +π k π k∈Z 0,25
II-2
(1 đ)
PT: A n2 −C n2 =3n+9 (1) , Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ N
( 2)! 2!( 2)!
0,25
2
n n
n n− − − = n+ ⇔n − n− =
⇔ n = 9 v n = - 2 (Loại) 0,25 Với n = 9 ta có nhị thức Niutơn 2
9
1
2x x
−
÷
Giả sử số hạng không chứa x trong khai
9 3
1 (2 ) x ( 1) (2)
k
x
÷
với 0 ≤ k ≤ 9, k ∈ N
0,25
Số hạng này không chứa x khi 9 - 3k = 0 ⇔ k = 3
Kết luận: Số hạng không chứa x là: 3 6
C
Trang 3(1,25đ)
Với 3 1
1
x y x
−
= + Ta có 2
4 '
( 1)
y x
=
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 4x + 10 nên hệ số góc của tiếp tuyến k =
Ta có phương trình hoành tiếp điểm: 2
4 (x+1) = 4 ⇔ x = 0 v x = - 2. 0,25 Với x = 0 Ta có tọa độ tiếp điểm M(0; - 1) Phương trình tiếp tuyến là y = k(x -x0) + y0
Với x = - 2 Ta có tọa độ tiếp điểm N(- 2; 7) Phương trình tiếp tuyến là y = k(x -x0) + y0
hay y = 4(x + 2) + 7 ⇔ y = 4x + 15
III-1
(1,75đ)
Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương uuuurAB =uuurAB= − −( 6; 3) Phương trình chính tắc
của đường thẳng AB là: 1 2
x− = y−
Khoảng cách từ đỉnh C đến đường thẳng AB là:
1 ( 2)
d C AB
Ta có uuurAB= − −( 6; 3),uuurAC =(6; 2)− 0,25
·
,
AB AC
uuur uuur uuur uuur
0,25
6.6 ( 3).( 2) 2
2 ( 6) ( 2) 6 2
− + − −
III-2a
(1 đ)
* Trong tam giác vuông ABC
cosBAC AB AB 2 cos 60a a
AC
* BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC⊥(SAB)
* Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng góc
giữa hai đường thẳng SB và AB
Xét tam giác SAB vuông tại A
tanSBA SA a 3 SBA 60
= = = ⇒ =
Kết luận : ((SBC), (ABC)) =SBA· =600
0,25
0,25 0,25
0,25
S
A
B
C
60 0
2a
3
a
Trang 4(0,75đ)
* Dựng hình chữ nhật ABCD
Ta có AB// CD
Do đó AB//(SCD)
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau AB và SC là
d(AB,SC) = d(AB, (SCD)) = d(A,(SCD)
* Gọi H là hình chiếu của A lên SD
CD⊥AD, CD⊥SA ⇒ CD ⊥ AH (1)
AH ⊥ SD (2)
Từ (1) và (2) ta có AH ⊥ (SCD)
* Do đó d(A, (SCD)) = AH
* Ta có 1 2 12 12 12 12
D
AH = SA + A = SA + BC
Suy ra AH = 6
2
a
0,25
0,25
0,25
IV
(0,5 đ)
Áp dụng BĐT côsi cho a, b ≥ 0 ta có
2
a b
ab ≤ +
, đẳng thức xảy ra khi a = b
Do đó
Vậy maxP = 1 đạt được khi
, 0
1
1
x y
≥
= =
+ = ⇔
= =
= −
0,25
Chú ý:
I – Cách chấm một bài thi tự luận:
1) Học sinh dùng mực đỏ để gạch chân các chỗ sai trong bài thi.
2) Học sinh làm cách khác với đáp án , nếu đúng thì cho điểm tối đa câu đó !
3) Học sinh làm sai hoặc sót ở bước 0, 25 đ nào thì cắt 0, 25 điểm tại đó.
4) Một bài toán nếu bước trên(0,25 đ) sai và kết quả bước phía dưới (0,25 đ) liên quan đến bước trên thì cắt
điểm từ chỗ làm sai và các bước sau có liên quan.
5) Một bài toán nếu bước trên(0,25 đ) sai và bước phía dưới (0,25 đ) không liên quan đến bước phía trên nếu
đúng vẫn cho 0, 25 đ.
6) Học sinh cho điểm của từng câu Sau đó cộng điểm của các câu để có điểm của bài thi.
II – Phương pháp học tập:
ký hiệu toán học cho phép ), không được làm bài quá ngắn gọn hơn với đáp án.
2) Cần tích cực, chủ động đọc các tài liệu tham khảo, tự làm các đề thi thử, các đề tham khảo , các đề đã thi
để nâng cao trình độ kiến thức và kỹ thuật, kỹ năng trình bày một bài thi tự luận.
3) Học sinh cần tích cực tự học ở nhà, tránh tình trạng ỉ lại các giáo viên dạy ở trên lớp.
S
A
D
H
3
a
3
a
3
a
a
2a
60 0