- Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 10 chữ số... Nêu quy trình bấm phím để được kết quả.. Kết quả làm tròn đến chữ số lẻ thứ hai... Áp dụng: Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Trang 1Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Thời gian làm bài: 150 phút - Ngày thi: 17/12/2008.
Chú ý: - Đề thi gồm 5 trang
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
- Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 10 chữ số
Điểm toàn bài thi (Họ, tên và chữ ký)Các giám khảo
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) Bằng số Bằng chữ
GK1
GK2
Bài 1: (5 điểm) Tớnh giỏ trị của biểu thức:
a) A = 20013+ 20023+ 20043+ 20053+ 20063+ 20073+ 20083+ 20093 (Kết quả chớnh xỏc)
b)
3
x tgx gy c y B
x
=
biết 2sin 3cos 2, 211
Bài 2: (5 điểm) Cho đa thức g x ( ) 8 = x3− 18 x2+ + x 6
a) Tỡm cỏc nghiệm của đa thức g x ( )
b) Tỡm cỏc hệ số a b c , , của đa thức bậc ba f x ( ) = + x3 ax2+ + bx c, biết rằng khi chia đa thức ( )
f x cho đa thức g x ( ) thỡ được đa thức dư là r x ( ) 8 = x2+ 4 x + 5
c) Tớnh chớnh xỏc giỏ trị của f (2008)
Bài 3: (5 điểm)
a/ Tớnh tổng cỏc ước dương lẻ của số D = 8863701824
A =
cosy =
a) Cỏc nghiệm của đa thức ( ) g x là:
x1 = ; x2 = ; x3 =
b) Cỏc hệ số của đa thức ( ) f x :
a = ; b = ; c =
c) f (2008) =
Trang 2b/ Tìm các số aabb sao cho aabb = + ( a 1 ) ( a + × − 1 ) ( b 1 ) ( b − 1 ) Nêu quy trình bấm phím để được kết quả
Bµi 4: (5 điểm)
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho khi lập phương số đó ta được số tự nhiên có 3 chữ số cuối đều là
chữ số 7 và 3 chữ số đầu cũng đều là chữ số 7: n3= 777 777 Nêu sơ lược cách giải
Bµi 5: (5 điểm)
Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất và số tự nhiên M lớn nhất gồm 12 chữ số, biết rằng M và N chia cho các
số 1256; 3568 và 4184 đều cho số dư là 973 Nêu sơ lược cách giải
Bµi 6: (4 điểm) Tìm số dư trong phép chia (197334)63 cho 793 và số dư trong phép chia (197334)2008 cho 793
a/ Tổng các ước dương lẻ của D là:
b/ Các số cần tìm là:
Quy trình bấm phím:
n =
Sơ lược cách giải:
Sơ lược cách giải:
Trang 3Bài 7: (6 điểm) Cho dãy hai số un và vn có số hạng tổng quát là:
( 5 2 3 ) ( 5 2 3 )
4 3
n
4 5
n
Xét dãy số zn = 2 un+ 3 vn (n ∈ N và n ≥ 1)
a) Tính các giá trị chính xác của u u u u1, , , ;2 3 4 v v v v1, , ,2 3 4
b) Lập các công thức truy hồi tính un+2 theo un+1 và un; tính vn+2 theo vn+1 và vn
c) Từ 2 công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính un+2, vn+2 và zn+2 theo
1, , 1,
u + u v + v (n = 1, 2, 3, ) Ghi lại giá trị chính xác của: z z z z z3, , , ,5 8 9 10
Bài 8: (3 điểm) Trong đợt khảo sát chất lượng đầu năm, điểm của ba lớp 9A, 9B, 9C được cho trong bảng
sau:
a) Tính điểm trung bình của mỗi lớp Kết quả làm tròn đến chữ số lẻ thứ hai
b) Công thức truy hồi tính un+2 =
Công thức truy hồi tính vn+2 =
;
Quy trình bấm phím:
Số dư trong phép chia 63
(197334) cho 793 là: r1=
Số dư trong phép chia 2008
(197334) cho 793 là: r2 =
Trang 4b) Nếu gọi X số trung bình cộng của một dấu hiệu X gồm các giá trị x x x1, 2, 3, , xk có các tần
số tương ứng là n n n1, 2, 3, , nk, thì số trung bình của các bình phương các độ lệch của mỗi giá trị của dấu hiệu so với X :
2
1 2 3
k k x
k
s
=
+ + +×××+
gọi là phương sai của dấu hiệu X và 2
s = s gọi là độ lệch chuẩn của dấu hiệu X
Áp dụng: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của dấu hiệu điểm của mỗi lớp 9A, 9B, 9C Kết quả
làm tròn đến chữ số lẻ thứ hai
Bài 9: (5 điểm) Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi.
Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là
5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải
Bài 10: (7 điểm) Cho 3 đường thẳng ( ); ( ); ( ) d1 d2 d3 lần lượt là đồ thị của các hàm số
2
3
y = x + y = x − và y = − + 2 x 3 Hai đường thẳng ( ) d1 và ( ) d2 cắt nhau tại A; hai đường thẳng ( ) d2 và ( ) d3 cắt nhau tại B; hai đường thẳng ( ) d3 và ( ) d1 cắt nhau tại C
a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C (viết dưới dạng phân số)
b) Tính gần đúng hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A của tam giác ABC và tọa độ giao điểm D của tia phân giác trong góc A với cạnh BC
c) Tính gần đúng diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC Kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân
(Cho biết công thức tính diện tích tam giác: ( )( )( ) ,
4
abc
S p p a p b p c S
R
cạnh ; p là nửa chu vi, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác; đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ
là cm)
MTCT9 - Trang 4
Số tháng gửi là:
Quy trình bấm phím:
a) Điểm trung bình của lớp 9A, 9B, 9C:
A
X ≈ ; XB ≈ ; XC ≈
b) Phương sai và độ lệch chuẩn của lớp 9A: sa2 ≈ ; sa ≈
Phương sai và độ lệch chuẩn của lớp 9B: 2
b
s ≈ ; sb ≈
Phương sai và độ lệch chuẩn của lớp 9A: sc2 ≈ ; sc ≈
a) Tọa độ các điểm A, B, C là:
b) Hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A là:
a ≈
Tọa độ giao điểm D:
c) Diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:
Trang 5M«n : MÁY TÍNH CẦM TAY
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm:
1
72541712025
5
sin x = 0,735; cos y = 0, 247
0.040227236
2,0
2833.646608
2
Theo giả thiết ta có: f x ( ) = q g x ( ) 8 + x2+ 4 x + 5, suy ra:
a b c
Giải hệ phương trình ta được: 23 33 23
a = b = c =
Cách giải: Nhập biểu thức 3 23 2 33 23
nhập số 2008 = ta được số hiện ra trên màn hình: 8119577169. Ấn phím
− nhập 8119577169 = được − 0.25 Suy ra giá trị chính xác:
(2008) 8119577168.75
1,5
1,0
1,5
Trang 6a) 8863701824=2 101 11716× × 2
Tổng các ước lẻ của D là:
1 101 1171 1171 + + + + 101 1171 1171 + = 139986126
1,0 1,0
5
b) Số cần tìm là: 3388
Cách giải:
aabb = a + a + b b + = a + b = a b +
( a + 1 ) ( a + × − 1 ) ( b 1 ) ( b − = 1 ) 112( a + 1 ) ( b − 1 )
Do đó:
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 100 11 ( 1 ) ( 1 )
Nếu a = ⇒ 0 10 b = 11, điều này không xảy ra
Tương tự, nếu b = ⇒ 1 100 a + = 1 0, điều này không xảy ra
Quy trình bấm máy:
100 ALPHA A + ALPHA X − 11 ( ALPHA A + 1 ) ( ALPHA X
− 1 ) ALPHA = 0
SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 1 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 =
cho kết quả X là số lẻ thập phân
SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 2 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 =
cho kết quả X là số lẻ thập phân
SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 3 = Nhập tiếp giá trị đầu cho X là 2 =
cho kết quả X = 8;
tiếp tục quy trình cho đến khi A = 9
Ta chỉ tìm được số: 3388
1,0
1,0
2,0
1,0
4
Hàng đơn vị chỉ có 33 = 27 có chữ số cuối là 7 Với cac số a 33 chỉ có
3
53 = 14877 có 2 chữ số cuối đều là 7
Với các chữ số ( )3
53
a chỉ có 7533 có 3 chữ số cuối đều là 7
Ta có: 3777000 91.xxxx ≈ ; 37770000 198 ≈ xxxx ,
777 10 × ≈ 426, xxx ;
3 777 10 × 6 ≈ 919, xxx ; 777 103 × 7 ≈ 1980, xxx ;
777 10 × ≈ 4267, xxx ;
Như vậy, để các số lập phương của nó có 3 số đuôi là chữ số 7 phải bắt đầu bởi
các số: 91; 198; 426; 91x; 198x; 426x; (x = 0, 1, 2, , 9)
Thử các số:
91753 = 77243 ; 198753 = 785129 ; 426753 = 77719455
Vậy số cần tìm là:
n = 426753 và 4267533 = 77719455348459777
1,5
1,5
2,0
5
5 Gọi x là số khi chia cho các số 1256; 3568 và 4184 đều có số dư là 973 Khi
đó,
Do đó, x − 973 là bội số chung của 1256; 3568 và 4184
Suy ra: x − 973 = mBCNN (1256,3568, 4184) 292972084 = m
Dùng máy Vinacal Vn-500MS để tìm BCNN của 3 số đó:
SHIFT LCM( 1256 , 3568 , 4184 ) SHIFT STO A
1,0 1,0
5
Trang 7Theo giả thiết:
11
11
x kA
k
341 < ≤ k 3413
Vậy: N = 342 A + 973 100196441389 = và
M = 3413 A + 973 999913600797 =
1,0 2,0
6
197334 SHIFT STO A
SHIFT MOd( ALPHA A , 793 ) = cho kết quả: 670
SHIFT MOd( ALPHA A x2 , 793 ) = cho kết quả: 62
SHIFT MOd( ALPHA A ^ 3 , 793 ) = cho kết quả: 304
(Lưu ý: A4 vượt quá 16 chữ số, kết quả không còn chính xác nữa)
SHIFT MOd( ALPHA 304 × 62 , 793 ) = cho kết quả: 609 Tức là:
5 609 (mod 793)
A ≡
SHIFT MOd( ALPHA 606 x2 , 793 ) = cho kết quả: 550 Tức là:
10 550 (mod 793)
Tương tự: A30 ≡ 5503 ≡ 428 (mod 793); A60 ≡ 4282 ≡ 1 (mod 793)
Vậy: A63 ≡ A3 ≡ 304 (mod 793) Đáp số: 304
+ Ta có: 2008 = 33×60 + 28, nên: 2008 ( )60 33 20 8
A = A × A × A
( )60 33 33
1 1 (mod 793)
550 367 (mod 793)
( )4
Suy ra: A2008≡ × 1 3672 ≡ 672(mod 793) Đáp số: 672
2,0
2,0
5
7
1 1, 2 10, 3 87; 4 740.
u = u = u = u =
1 1, 2 14, 3 167, 4 1932
v = v = v = v = .
Công thức truy hồi của un+2 có dạng: un+2 = aun+1+ bun+2 Ta có hệ phương
trình:
Do đó: un+2 = 10 un+1− 13 un
Tương tự: vn+2 = 14 vn+1− 29 vn
Quy trình bấm phím:
1 SHIFT STO A 10 SHIFT STO B 1SHIFT STO C 14 SHIFT STO D
2SHIFT STO X (Biến đếm)
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA E ALPHA =
10 ALPHA B − 13 ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA
B ALPHA : ALPHA B ALPHA = ALPHA E ALPHA : ALPHA F
ALPHA = 14 ALPHA D − 29 ALPHA C ALPHA : ALPHA C ALPHA
= ALPHA D ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA F ALPHA :
ALPHA Y ALPHA = 2 ALPHA E + 3 ALPHA F = = = (giá trị
của E ứng với un+2, của F ứng với vn+2, của Y ứng với zn+2) Ghi lại các giá trị
như sau:
z 1218810909, z 13788770710
1,0
1,0 1,0
1,0
2,0
5
Trang 8Điểm trung bình của lớp 9A là: XA ≈ 7,12; Phương sai: sA2 ≈ 5,58; và độ
lệch chuẩn là: sA ≈ 2,36
Điểm trung bình của lớp 9B là: XB ≈ 7,38; Phương sai: sB2 ≈ 4,32; và độ
lệch chuẩn là: sB ≈ 2, 07
Điểm trung bình của lớp 9C là: XC ≈ 7,39; Phương sai: sC2 ≈ 4,58; và độ
lệch chuẩn là: sC ≈ 2,14
1,0
1,0
1,0
3
9
Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng gửi với lãi suất
0,9% tháng, thì số tháng gửi tiết kiệm là: a + 6 + x Khi đó, số tiền gửi cả vốn
lẫn lãi là:
6
5000000 1.007 × a× 1.0115 1.009 × x = 5747478.359
Quy trình bấm phím:
5000000 × 1.007 ^ ALPHA A × 1.0115 ^ 6 × 1.009 ^ ALPHA X −
5747478.359 ALPHA = 0
SHIFT SOLVE Nhập giá trị của A là 1 = Nhập giá trị đầu cho X là 1 =
SHIFT SOLVE Cho kết quả X là số không nguyên
Lặp lại quy trình với A nhập vào lần lượt là 2, 3, 4, 5, đến khi nhận được giá
trị nguyên của X = 4 khi A = 5
Vậy số tháng bạn Châu gửi tiết kiệm là: 5 + 6 + 4 = 15 tháng
2,0 2,0
1,0
5
( 3; 4 ,) 15; 3 ; 2 19;
8 4 5 5
A − − B − C−
tan 3 tan
3
A = − − −
÷
Góc giữa tia phân giác At và Ox là:
µ
tan tan 3 tan
A
a − −
Bấm máy:
tan ( 0.5 ( SHIFT tan-1 3 + SHIFT tan-1 ( 2 ab/c 3 ) ) ) SHIFT
STO A cho kết quả:
1.309250386
a ≈
+ Đường thẳng chứa tia phân giác At là đồ thị của hàm số: y ax b = + , At đi
qua điểm A ( 3; 4) − − nên b = 3 a − 4
+ Tọa độ giao điểm D của At và BC là nghiệm của hệ phương trình:
x y
ax y a
+ =
− = − +
Giải hệ pt bằng cách bấm máy nhưng nhập hệ số a2
dùng ALPHA A và nhập hệ số c2 dùng (−) 3 ALPHA A + 4, ta được kết
1,5
1,0
1,5
7
Trang 9quả:
D (0,928382105; 1,143235789)
c)
AB = + + −
Tính và gán cho biến A
BC = + + +
CA = − + +
Tính và gán cho biến C
( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C ) ÷ 2 SHIFT STO D (Nửa
chu vi p)
Diện tích của tam giác ABC:
( ( ALPHA D ( ALPHA D − ( ALPHA A ) ( ALPHA D −
( ALPHA B ) ( ALPHA D ) ) SHIFT STO E
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
4
abc R S
ALPHA A ALPHA B ALPHA C ÷ 4 ÷ ALPHA E SHIFT STO F
1,0
1,0 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC: S
r p
Diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC là:
S = π R − π r = π R − r
SHIFT π ( ALPHA E x2 − ( ALPHA E ÷ ALPHA D ) x2 = Cho
kết quả S ≈ 46, 44 ( cm2)
1,0
