Chủ đề: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất dẳng thức

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CUỐN SÁCH Phương pháp giải toán Hàm số

PHẦN V: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

A TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

C¸c Em häc sinh h·y tham gia häc tËp theo ph¬ng ph¸p " LÊy häc trß lµm trung t©m "

Díi sù hç trî cña Nhãm Cù M«n do Ths Lª Hång §øc vµ Nhµ gi¸o u tó §µo ThiÖn Kh¶i phô tr¸ch. 1

chủ đề 4

ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để

chứng minh bất đẳng thức

I Kiến thức cơ bản

Bài toán 1 Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

phơng pháp chung

Dùng đạo hàm chúng ta có thể xét đợc tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng thức Cụ thể:

Xét hàm số f(x) trên đoạn [a, b],

- Nếu f'(x)0, x[a, b]  hàm số f(x) đồng biến trên [a, b]

 f(x)f(a) hoặc f(x)f(b)

- Nếu f'(x)0, x[a, b]  hàm số f(x) nghịch biến trên [a, b]

 f(x)f(a) hoặc f(x)f(b)

Ví dụ 1 Cho 0<x<

2

 CMR:

a sinx<x

b tgx>x

Giải

a Xét hàm số f(x)=sinx-x với 0<x<

2



Đạo hàm:

f'(x)=cosx-1<0 với 0<x<

2

  hàm số f(x) nghịch biến trên (0,

2

 )

Do đó:

f(x)<f(0) với 0<x<

2

  sinx-x<0 với 0<x<

2

  sinx<x với 0<x<

2



b Xét hàm số f(x)=tgx-x với 0<x<

2



Đạo hàm:

f'(x)=

x cos

1

2 -1=tg2x>0 với 0<x<

2

  hàm số f(x) đồng biến trên (0,

2

 )

Do đó:

f(x)>f(0) với 0<x<

2

  tgx-x>0 với 0<x<

2



 tgx>x với 0<x<

2

 (đpcm)

Chú ý Đôi khi chúng ta không thể khẳng định đợc ngay rằng f'(x)0, x[a,

b] (hoặc f'(x)0, x[a, b]), ví dụ nh hàm số

f(x)=x-6

x3 -sinx với x>0 ta có

f'(x)=1-2

x2 -cosx rõ ràng không thể khẳng định đợc gì với x>0, trong các tr-ờng hợp nh vậy, một thủ thuật thông thtr-ờng đợc áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x

Ví dụ 2 (Đề 113) CMR

x-6

x3 <sinx với x>0.

Giải

Xét hàm số

f(x)=x-6

x3 -sinx với x>0.

Đạo hàm:

f'(x)=

1-2

x2 -cosx, f''(x)= -x+sinx,

f'''(x)= -1+cosx<0 với x>0  f''(x) nghịch biến với x>0

 f''(x)<f''(0) với x>0  f''(x)<0 với x>0  f'(x) nghịch biến với x>0

 f'(x)<f'(0) với x>0  f'(x)<0 với x>0  f(x) nghịch biến với x>0

 f(x)<f(0) với x>0 

x-6

x3 -sinx<0 với x>0 

x-6

x3 <x với x>0.

Chú ý Trong hai ví dụ 1, 2 chúng ta đã sử dụng nguyên tắc theo chiều thuận:

từ bất đẳng thức giữa a và b, dùng tính đơn điệu của hàm số f để chứng minh bất đẳng thức giữa f(a) và f(b) Bây giờ chúng ta đã sử dụng nguyên tắc theo chiều ngợc lại

Ví dụ 3 CMR sin200>

3

1 Giải

Ta có sin600=3sin200-4sin3200,

do đó sin200 là nghiệm của phơng trình

2

3 =3x-4x3 Xét hàm số f(x)=3x-4x3,

Đạo hàm: f'(x)= 3-12x2,

Bảng biến thiên

Ta có:

sin200,

3

1

(-2

1 , 2

1 ) là khoảng đồng biến của hàm số f(x), nên:

sin200>

3

1  f(sin200)>f(

3

1 ) 

2

3 >

27

23  27 3 >46  2187>2116

(lđ)

Chú ý Một số bài toán bất đẳng thức khi đa về xét hàm số cần phải quan tâm

tới các điểm cực trị

Ví dụ 4 (ĐHBK Hà nội - 1994) CMR nếu x+y=1 thì x4+y4

8

1 Giải

Từ x+y=1  y=1-x nên x4+y4=x4+(1-x)4

Xét hàm số f(x)=x4+(1-x)4

Đạo hàm: f'(x)= 4x3-4(1-x)3, f'(x)=0  x=

2

1 Bảng biến thiên

3

y' - 0 +

Từ đó suy ra f(x) 

8

1 , x và dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=

2

1

II.các bài toán chọn lọc

Bài 1 (ĐHKT Hà nội-98) CMR với x>0 ta có ex>1+x+

2

x2 .

bài giải

Xét hàm số f(x)= ex

-1-x-2

x2 .

Đạo hàm:

f'(x)= ex-1-x,

f''(x)= ex-1>0 với x>0  f'(x) đồng biến với x>0

 f'(x)>f'(0) với x>0  f'(x)>0 với x>0  f(x) đồng biến với x>0

 f(x)>f(0) với x>0  ex

-1-x-2

x2 >0 với x>0  ex>1+x+

2

x2 với x>0

Bài 2 (ĐHSP II-98) CMR trong mọi tam giác ABC nhọn ta đều có:

3

2 (sinA+sinB+sinC)+

3

1 (tgA+tgB+tgC)>

bài giải

Xét hàm số f(x)=

3

2 sinx+

3

1 tgx-x với 0<x<

2



Đạo hàm:

f'(x)=

3

2 cosx+

3

1

x cos

1

2 -1=

3

1 ( cosx+cosx+

x cos

1

2 ) -1

3

1 .3-1=0,

 hàm số f(x) đồng biến với 0<x<

2

  f(x)>f(0)



3

2

sinx+

3

1 tgx-x>0 với 0<x<

2

 Vậy:

3

2

(sinA+sinB+sinC)+

3

1 (tgA+tgB+tgC)-(A+B+C)

=(

3

2 sinA+

3

1 tgA-A)+ (

3

2 sinB+

3

1

tgB-B)+ (

3

2 sinC+

3

1

tgC-C)>0



3

2

(sinA+sinB+sinC)+

3

1 (tgA+tgB+tgC)>A+B+C



3

2

(sinA+sinB+sinC)+

3

1 (tgA+tgB+tgC)>  (đpcm)

Bài 3 (Đề 113 - ĐHD Hà nội-98) CMR với 0<x<

2

 thì 22sinx+2tgx> 1

2

x

bài giải

Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 22sinx+2tgx2 2 sin x tgx

2

2 =2 2 sin x tgx

2  (1)

Xét hàm số f(x)=2sinx+tgx-3x

Đạo hàm: f'(x)=2cosx+

x cos

1

2 -3

Nhận xét rằng với 0<x<

2



ta có:

2cosx+

x cos

1

2 -3> 2cos2x+

x cos

1

2 -3>2 2 -3>0

 f'(x)>0 với 0<x<

2

  hàm số f(x) đồng biến trên (0,

2

 )

 f(x)>f(0) với 0<x<

2

  2sinx+tgx-3x>0  2sinx+tgx>3x



2

1

(2sinx+tgx)>

2

x 3

 ( 2 sin x tgx )) 2

1

x

2

 2 2 sin x  tgx > 32x

2  2 22sinxtgx > 2 1

x

(2)

Từ (1) và (2) suy ra với 0<x<

2



ta có 22sinx+2tgx> 1

2

x

2  (đpcm)

Bài 4 (ĐHAN Đề 1 97): n là một số nguyên dơng lẻ 3 CMR với mọi số thực x0, ta luôn có:

(1+x+

! 2

x2 +

! 3

x3 + +

! n

xn )(1-x+

! 2

x2

-! 3

x3

+ -! n

xn )<1.

bài giải

Đặt:

f(x)= 1+x+

! 2

x2 +

! 3

x3 + +

! n

xn , g(x)= 1-x+

! 2

x2

-! 3

x3

+ -! n

xn

 F(x)=f(x)g(x)

Ta đi chứng minh F(x)<1 với x0

Ta có: f'(x)= 1+x+

! 2

x2 +

! 3

x3 + +

)!

1 n (

xn 1





=f(x) -

! n

xn ,

g'(x)=

-1+x-! 2

x2 +

! 3

x3 + +

)!

1 n (

xn 1





=g(x)

-! n

xn ,

 F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=[ f(x) -

! n

xn ]g(x)+f(x)[ g(x)

-! n

xn ]

=

-! n

xn [f(x)+g(x)]= - 2

! n

xn [1+

! 2

x2 + +

)! 1 n (

xn 1





] 













0 x khi 0 )

x

(

'

F

0 x khi 0 )

x

(

'

F

Bảng biến thiên

Vậy, F(x)<1 với x0

5

Bài 5 (Đề 26) CMR x(1-x2)

9

3

2 với mọi x(0, 1)

Từ đó chứng minh rằng: nếu a, b, c>0 và a2+b2+c2=1 thì

2 2

c b

a

b

c

3

bài giải

Xét hàm số f(x)= x(1-x2)

Miền xác định D=R.

Đạo hàm: f'(x)= 1-3x2  f'(x)=0  x=

3

1 Bảng biến thiên

3

9

3

Từ bảng biến thiên ta có f(x)= x(1-x2)

9

3

2 với mọi x(0, 1).

áp dụng: ta có

) x 1

(

x

1

2

3

2 x 1

x



 2

3

x2

(*)

Do đó:

2

2 c

b

a

b

c

a

b

c



 2

3

2

3

2

3 c

2

3

3 (a2+b2+c2)=

2

3 3

(đpcm)

III.Bài tập đề nghị

Bài tập 1 (Đề 78) CMR với 0<x<

2

 thì: 2sinx+2tgx2x+1

Bài tập 2 CMR với x>0 thì:

a (Đề 78) 2sinx+2tgx2x+1 b (Đề 143) lnx< x

d ex>

2 x x

x

x

 <ln(1+x)<x

f 1+2lnx<x2 g

sinx<x-! 3

x3 +

! 5

x5 .

h

cosx<x-! 2

x2 +

! 4

x4 .

i (Đề 101) ex>1+x+

! 2

x2 + +

! n

xn với mọi n nguyên dơng.

Bài tập 3 (Đề 8) Cho nN* CMR:

x

1  <

nc 2

1 với x(0, 1)

Bài tập 4 (Đề 102) CMR với 0<x<

4

 luôn có:

x sin ) x sin x (cos

x cos

2

Bài tập 5 (Đề 12) Với a+b0 và nN*, chứng minh rằng:

n

2

b a











 2

b

an n

Bài tập 6 (Đề 122) CMR nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 1 thì:

(1+x)n+(1-x)n<2n

Bài tập 7 Cho n số dơng a1, a2, ., an từng đôi một (ai, aj) (ij) có tích

ai.aj 1 Chứng minh rằng:

1

a 1

1

2

a 1

1

 + +

n

a 1

1

n 2

1a a a 1

n

7