Một số phương pháp giải toán về tỉ lệ thức

Tôi đã dành thời gian của mình để tìm ra một số biện pháp để giúp đỡ các emtrong việc giải các bài toán dạng này.. 3Mục đích nghiên cứu -Học sinh vận dụng được định nghĩa, tính chất củ

PHẦN THỨ NHẤT

A MỞ ĐẦU 1)Lý do ch ọ n đề tài

Toán học là một môn khoa học tự nhiên, nó rèn luyện và phát triển tư duy chongười học, là môn học không thể thiếu trong nhà trường phổ thông Đồng thời nó còn

là môn học đặc biệt quan trọng trong nhà trường phổ thông, giúp học sinh rèn luyện

và phát triển tư duy, tính độc lập sáng tạo, tính suy luận khoa học Việc hình thànhnăng lực giải toán cho học sinh là THCS là một việc làm quan trọng bậc nhất đối vớimỗi người thầy Toán học được coi như là một môn học cơ bản, là nền tảng để các emphát huy được năng lực bản thân, góp phần tạo điều kiện để các em học tốt các mônkhoa học tự nhiên khác Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiếnthức cơ bản một cách có hệ thống mà còn phải được nâng cao phát triển để các em cóhứng thú say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô luôn đặt ra cho mình Tuynhiên để học tốt môn toán thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức,phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát

Năm học 2012-2013 và năm học 2013-2014 tôi được nhà trường phân cônggiảng dạy toán lớp 7 Các bài toán về tỉ lệ thức rất phong phú và đa dạng Các dạngtoán như chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, chia một số thành cácphần tỉ lệ với các số cho trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng Các dạngtoán thực tế như tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch Các bài toán hình học vận dụng tính chất của

tỉ lệ thức Tôi nhận thấy đa số các em thường gặp khó khăn trong các bài toán vềdạng này, các em thường ngại khó, không giám làm và khi làm cũng rất sợ sai Để

giải quyết vấn đề trên tôi quyết định chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là “ Một số phương pháp giải các bài tóan về tỉ lệ thức”

2) Lịch sử của sáng kiến kinh nghiệm

Năm 2008 khi đang học Cao đẳng sư phạm Quảng trị, tôi được nhà trườngphân công đi thực tập tại trường THCS Hải Chánh – Hải Lăng – Quảng Trị Trongsuốt thời gian thực tập của mình tôi được phân công dạy thực tập toán 7- chương “Sốhữu tỉ - Số thực” Tôi nhận thấy đa số các em gặp khó khăn trong giải toán về tỉ lệthức Tôi đã dành thời gian của mình để tìm ra một số biện pháp để giúp đỡ các emtrong việc giải các bài toán dạng này Sau khi ra trường tôi được nhà trường phâncông dạy toán 7, đây cũng là điều kiện thuận lơi để tôi tiếp tục tìm ra nhiều phươngpháp giúp các em giải các bài toán về tỉ lệ thức

3)Mục đích nghiên cứu

-Học sinh vận dụng được định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức khi giải bài toán về tỉ

lệ thức Các dạng bài tập như chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, chiamột số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước và tìm hai số biết tích và tỉ số củachúng Các dạng toán thực tế như tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch

- Rèn luyện cho học sinh giải các dạng bài tập cơ bản Từ đó hướng dẫn, bồidưỡng các em làm các bài tập nâng cao Hình thành kỉ năng giải toán về tỉ lệ thức chocác e nhằm nâng cao hiệu quả của các tiết dạy ở trên lớp

- Giới thiệu và tranh thủ sự góp ý của đồng nghiệp để hoàn chỉnh sáng kiến kinh

nghiệm để nhân rộng và đưa vào áp dụng cho các năm sau

4.Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu:

- Những chuyển biến sau khi áp dụng

- Bài học kinh nghiệm

b) Phương pháp:

*Sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- phương pháp quan sát

- Phương pháp đàm thoại, nghiên cứu vấn đề

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo

- Phương pháp kiểm tra, thực hành

5 Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu.

Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về tỷ lệ thức trong SGK toán 7 tập 1 Đối tượng khảo sát: HS lớp 7A, 7E, 7G trường THCS Lao Bảo

-6.Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.

- Sau khi thực hiện đề tài thì tôi nhận thấy:

+ Đa số các em đã giải toán dạng này một cách thành thạo, các em đã nhận ra đượcdạng toán một cách nhanh nhẹn

+ Kỉ năng giải toán về tỉ lệ thức được nâng cao hơn nhiều, việc biến đổi khi giải toán

ít sai sót hơn nhiều

PHẦN THỨ HAI B.NỘI DUNG I.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.

- Trong năm học 2012-2013 tôi được nhà trường phân công giảng dạy ba lớp7A, 7E, 7G Ba lớp này có sự khác biệt về năng lực học tập (Lớp 7A là lớp của các

em đồng bào dân tộc, lớp 7E là lớp có năng lục học tập trung bình, lớp 7G là lớpchọn) nên việc lựa chọn phương pháp phù hợp là rất khó khăn cho giáo viên Bêncạnh đó nhiều học sinh còn tự thỏa mãn về khả năng của mình, các em không chịukhó làm các bài tập nâng cao, không chịu khó tìm tòi những kiến thức mới

Nhiều em vận dụng sai tính chất dãy tỉ số bàng nhau

VD: (Bài 62 trang 31 – SGK NXBGD – 2003): Tìm hai số x, y biết:

.5y

189

.2x

910

905

.2

xy5

y2x

k2xk

5

y2x

3k

* Với k = 3  x = 2.3 = 6

y = 5.3=15

* Với k = -3  x = 2.(-3) = -6

y = 5.(-3) = -15Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)

(Học sinh mắc sai lầm do chưa hiểu rõ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Qua một thời gian tôi đã tiến hành điều tra cơ bản và thu được kếtquả như sau:

+ Lớp 7A: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 60%,

số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếmkhoảng 10%

+ Lớp 7E: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 30%,

số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếmkhoảng 50%

+ Lớp 7G: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 20%,

số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếmkhoảng 60%

II.Nguyên nhân:

Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tựgiác học tập, chưa có kế hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, họccòn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu sâu kiến thứctoán học, không tự ôn luyện thường xuyên một cách hệ thống,không chịu tìm tòi kiến thức mới qua sách nâng cao, sách thamkhảo, còn hiện tượng dấu dốt, không chịu học hỏi bạn bè, thầy cô Đứng trước thực trạng trên tôi thấy cần phải làm thế nào đểkhắc phục tình trạng trên nhằm nâng cao chất lượng học sinh, làmcho học sinh thích học toán hơn Vậy tôi thiết nghĩ đề tài của tôi

nghiên cứu về vấn đề này là bước đi đúng đắn với tình trạng và sứchọc của học sinh hiện nay

III Biện pháp giải quyết vấn đề nghiên cứu.

Để đạt được hiệu quả khi giải các bài toán nói chung và giảicác bài toán về tỷ lệ thức nói riêng Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức,tôi đã cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về định nghĩa, các tính chất

cơ bản, tính chất mở rộng của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau, của đại lượng tỉ lệthuận và đại lượng tỉ lệ nghịch, sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán cùngloại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lờigiải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đếnphức tạp

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Lưu ý: Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ”

trước số hạng dưới của tỉ số đó Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một khảnăng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ số mớibằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có dạng thuậnlợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán

 chú ý: khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: a x  b y c z Ta cũng viết:

x : y : z = a : b : c

2 Các giải pháp thực hiện:

Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sót trongquá trình giải toán Ví dụ các em hay sai nhất trong cách trình bày lời giải , sự nhầmlẫn giữa dấu “=” với dấu “=>”

b) Ta có : 0,3 : 2,7 =0,3 1

2,7  9 và 1,71 : 15,39 = 1,71 1

15,39 9Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39

thành một tỉ lệ thức :

10 :15;16 : ( 4);14 : 21; 5 :15;12 : ( 3); 1, 2 : 3, 6   

Bài 2: Có thể lập đợc một tỉ lệ thức từ 4 trong các số sau không

(mỗi số chọn một lần) Nếu có lập đợc bao nhiêu tỉ lệ thức?

a) 3; 4 ;5 ;6 ;7 b) 1; 2; 4; 8; 16 c) 1; 3; 9; 27; 81;243

Dạng II: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.

Bài toán 1:Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

Giải:

( Bài toán này các em có thể sử dung kiến thức tìm một thànhphần cha biết của tỉ lệ thức : Nếu biết 3 trong 4 số hạng của tỷ lệthức ta tìm đợc số hạng còn lại trong tỷ lệ thức

b

d a c

c

d a b

a

c b d

d

c b

y x

Theo giả thiết: x y 20 2k 3k 20 5k 20 k 4

Do đó: x2 .4 8

y3 .4 12

KL: x  8 , y  12

Cách 2: ( Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

4 5

20 3 2

2

y x

y x

y x

 ,

5 3

z y

 và 2 x  3 y  z  6

Giải:

C¸ch 1: Tõ gi¶ thiÕt:

12 9 4 3

y x y x





 (1) ;

20 12

5 3

z y z

y





(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

20129

z y x

322036

318

22012

3

z y

z y

5

3.34

34

3

z

z y

x y x

3.320

9.263

2x yz  z  z z  z   z 

5

60.3

y x

 vµ x.y  40

Gi¶i:

y x

 với x ta đợc: 8

5

40 5 2

2





xy x

+ Với x  4 ta có 10

2

5.45

Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên Songtôi đã nhắc các em lu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thứcgiữa hai tích hoặc đến tính chất của đẳng thức Từ đó các em

có hớng giải và chọn lời giải cho phù hợp

Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai

tích ta có lời giải sau:

Ta có: 3x = 5y 

24

y 40

x hay 8

1 3

y 8

1 5

x 3

y 5

yhay3

1.5

z3

1.8

y5

z8

zyx15

z24

y40

Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức Các em

đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8 Từ đó các em có lờigiải của bài toán nh sau:

Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120

Từ 3x = 5y = 8z 

120

1.z8120

1.y5120

1.x

79

15815

2440

zyx15

z24

y40

Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1

th-ơng Điều đó đã hớng cho các em tìm ra cách giải sau:

12079158

8

15

131

zyx

81z

51y

31

1



z = 240 30 8

Vậy x = 80; y = 48; z = 30

Qua ba hớng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán

và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic Cũng

từ đó giúp các em phát huy thêm hớng giải khác và vận dụng đểgiải các phần b và c

Để giải đợc phần b có điều hơi khác phần a một chút yêu cầucác em phải có t duy một chút để tạo lên tích trung gian nh sau:

+ Từ 2x = 3y  2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y (1)

+ Từ 5y = 7z  5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z (2)

 Từ (1) và (2) ta có: 10x = 15y = 21z

210 15 60 15

1 7 21

1 5 10

1 3

y 7 z 5 x 3 21

1 z 15 1 y 10



z = 840 40

21

1

 Vậy x = 84; y = 56; z = 40

Kết quả thu đợc: Các em đã tìm hớng giải cho phần c và tự cho đợc

2y5

1x

2y2

1x

x - 2 = 3  y = 5

 9k + 3 = 12

 k = 1Vậy x = 5 1 + 1 = 6

y = 3 1 + 2 = 5

z = 2 1 + 2 = 4Với các phơng pháp cụ thể của từng hớng đi các em đã vậndụng để tự

giải phần (b) và của bài toán 5

Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng:

zyx

1z

3yxy

2zxx

1zy

Đối với bài toán 6 có vẻ hơi khác lạ Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ

đâu? đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải t duy cóchọn lọc để xuất hiện

x + y + z Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiệndãy tỷ số bằng nhau và đã có lời giải của bài toán nh sau:

Giải:

Điều kiện : x, y, z  0

z y x

) z y x (

2 z

y x

3 y x 2 z x 1 z

y z

3 y

x y

2 z

x x

1 z

+) x y 3 2 0,5 z 3 2

 -2,5 - z = 2z

Bµi tËp vËn dông:

Bµi 1: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng:

a)

216

10

z y

x



 vµ 5xy 2z 28 b)

43

y x

 ,

7 5

z y

 vµ 2x3y z 124

c)

5

44

y x

z x

z

y z

22

z y x

§Ó chøng minh tØ lÖ thøc:

D

C B

A

 ta thêng dïng mét sè ph¬ng ph¸psau:

d

c b

a d

a d

b a a

d c c b

(

Nh vậy để chứng minh:

c

d c a

b

k b k

b

b k b a

b

.

) 1 (

d

k d k

d

d k d c

d

.

) 1 (

k Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k

Cách 3: Từ tỉ số

d

b c

a d

c b

d c d c

b a c

a d c

b a

Tõ

c

d a

b d

d a

b a

b a

b d

c b

b

a c

d a

C¸ch 6: Tõ tØ lÖ thøc a d b c

d

c b

a





c a

d a c

b c

a

d a c a c b c

a c

a

a d c c b a c

.

.

).

( ).

b a c

d c a

Tãm l¹i tõ mét tØ lÖ thøc ta cã thÓ suy ra tØ lÖ thøc kh¸cb»ng c¸ch chøng minh theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau cã thÓ sö dôngtrong bµi tËp.

Bµi to¸n 2: Cho tû lÖ thøc

cd

ab d

c

b a







2 2

2 2

a

 hoÆc

c

d b

c

b a







2 2

2 2

(

0 ) (

) (

0 ) (

) (

0 )

(

0 )

(

) (

) (

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

bc da db bc

ad

ac

cd b ab d ab

c cd

a

cd d c

ab d ab c cd b cd

a

cd d c

d c

ab cd

b a

c

d b

a bd

ac bd

ac

d

c b

a bc

ad bc

VËy

d

c b

a cd

ab d

c

b a

2 2

hoÆc

c

d b

c

b a cd

ab d

c

b a

2

2

2 2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2 2

2

2

2

) (

) (

b a d

c

b a cd d

c

ab b

a d

2 2

2

2 2 2

2

2

2

) (

)

( 2

b

a d

c

b

a cd d

c

ab b

a d

b a d

c

b a

XÐt trêng hîp :

d c

b

a d c

b a

b d

c d c

b a b a d

a d c d c

b a b a d

2

d

c b

a d

b c

a b d c

b a d

c

b a

a c

b d

a

 Chøng minh r»ng: 2 2

2 2

d c

b

a cd

C¸ch 1: Tõ gi¶ thiÕt: ad bc

d

c b

d c

b a cd

kb d

dk

b bk cd

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

1

1 )

(

) (

d

b k

d

k b d

k d

b k b d

dk

b bk d

c

b a

2 2

d c

b a cd

2 2

2

d c

b a d

b c

a cb

ab d

b c

a d

c b

d c

b a cd

a

 H·y chøng minh

a)

d c

d

c b

d5c

2b4a3

b5a2

Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệthống hoá kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụngvào dạng toán để tìm hớng giải cụ thể

Cách 1: Sử dụng phơng pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng

dc

dcba

ba1

k

1

k)1k(d

)1k(

dddk

1k)1k(b

)1k(bbbk

bbk

Cách 2 : Sử dụng phơng pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và

tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải nh sau:

Từ

d

c b

a

 

d

b c

a

 (hoán vị các trung tỷ)

=

d c

b

a d c

b a

d

c b a

Tõ gi¶ thiÕt: ad bc

d

c b

d c b a

b a

Bµi to¸n 5 Cho

d

cb

2

)dc

(

)ba

cb

ad

cb

Từ

d

c b

a

 

d

b c

2 2

2

2 2

2 2

2

dcd2c

bab2acd2

ab2d

bb

acd

abd

bc

a

 Hãy chứng minh

c

a c b

b

a

2 2

2 2

Cách 1: Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức rồi thay thế vào

vế trái, sau đó biến đổi vế trái bằng vế phải

) c a (

a c ac

ac

a c b

b

a

2

2 2 2

2 2

Cách 2: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng

thức ta có lời giải sau:

Vì cần có a2; b2 nên ta nhân từng vế của

c

bb

a

c b

b a c

b b

a c

b c

b b

a b

a

2 2

2 2 2

2 2

ab

b

a

2 2

2 2

a

 Chứng minh rằng ta có các tỉ lệthức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

1)

d c

d c b

a

b

a

5 3

5 3 5

2 2 2

d c

b

a d

c

b a

d c b

b a cd

b b

c b

c b a

a

 thì

d

a d

b

b a







2 2

2 2

Bài 4: Cho

d c

d

c b a

b a



Bài 5: Cho tỉ lệ thức

d c

d c

b a

b a

73

132

73

132

a



Với các phơng pháp trên, trong phơng pháp giảng dạy học sinhgiỏi môn toán 7 đã làm cho các em t duy rất tốt, rèn luyện đợc ýthức tự tìm tòi độc lập suy nghĩ để nhớ kỹ, nhớ lâu và sáng tạokhi giải toán đạt hiệu quả cao Đó chính là công cụ giải toán củamỗi học sinh Ngoài ra phơng pháp này còn là công cụ đặc biệtquan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lợng tỷ

lệ thuận, đại lợng tỷ lệ nghịch, dạng toán chia tỉ lệ

Dạng 4 Các bài toán về đại lợng tỷ lệ thuận, đại lợng tỷ lệ nghịch, chia tỉ lệ.

Bài toán 1 Số học sinh khối 6; 7; 8; 9 của một trờng THCS lần lợt tỉ

Bài toán 2: Học sinh lớp 7A đợc chia thành ba tổ, cho biết số học

sinh tổ 1, tổ 2, tổ3 tỉ lệ với 2; 3; 4 Tìm số học sinh mỗi tổ củalớp 7A biết số học sinh lớp 7A là 45 học sinh

Giải:

Gọi số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lợt là x, y, z ( x, y, z � N* )

Theo đầu bài ta có :

8 x 7

8



 (1) và x+ y + z = 136 (1)Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN ( 8; 5 ) = 40 ta có: