Chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu

MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU CHỦ ĐỀ 1: HÌNH NÓN KHỐI NÓN Dạng 1: Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần Dạng 3: Tính thể t

MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

CHỦ ĐỀ 1: HÌNH NÓN KHỐI NÓN

Dạng 1: Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao

Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần

Dạng 3: Tính thể tích khối nón, khối liên quan nón

Dạng 4: Bài toán liên quan thiết diện với khối nón

Dạng 5: Hình nón nội tiếp-ngoại tiếp khối chóp

CHỦ ĐỀ 2: HÌNH TRỤ KHỐI TRỤ

Dạng 1: Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao

Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần

Dạng 3: Tính thể tích khối trụ, khối liên quan trụ

Dạng 4: Bài toán liên quan thiết diện

Dạng 5: Hình trụ nội tiếp-ngoại tiếp khối lăng trụ

CHỦ ĐỀ 3: KHỐI CẦU

Dạng 1: Tính bán kính khối cầu

Dạng 2: Tính diện tích mặt cầu

Dạng 3: Tính thể tích khối cầu

Dạng 4: Bài toán liên quan thiết diện, dây cung

Dạng 5: Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp đa diện

CHỦ ĐỀ 4: TỔNG HỢP NÓN-TRỤ-CẦU

Dạng 1: Toán tổng hợp nón-trụ-cầu

CHỦ ĐỀ 5: MIN-MAX NÓN-TRỤ-CẦU

Dạng 1: Toán Max-Min liên quan khối nón

Dạng 2: Toán Max-Min liên quan khối trụ

Dạng 3: Toán Max-Min liên quan khối cầu

CHỦ ĐỀ 6: TOÁN THỰC TẾ

Dạng 1: Toán thực tế liên quan mặt và khối nón

Dạng 2: Toán thực tế liên quan mặt và khối trụ

Dạng 3: Toán thực tế liên quan mặt và khối cầu

Dạng 4: Toán thực tế tổng hợp

 Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón

 Đường thẳng  gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2 gọi là góc ở đỉnh

2) Hình nón tròn xoay

Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình,

gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2)

 Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón

 Hình tròn tâm I , bán kính r IM là đáy của hình nón

3) Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:

 Diện tích xung quanh: S xq  .r l

 TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp P( ) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mp P( ) cắt mặt nón theo 2 đường sinh  Thiết diện là tam giác cân

+ Nếu mp P( ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là

mặt phẳng tiếp diện của mặt nón

 TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp( )Q không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mp Q( ) vuông góc với trục hình nón  giao tuyến là một đường tròn

Diện tích toàn phần hình nón:

+ Nếu mp Q( ) song song với 2 đường sinh hình nón  giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol

+ Nếu mp Q( ) song song với 1 đường sinh hình nón  giao tuyến là 1 đường parabol

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG SINH, BÁN KÍNH ĐÁY, ĐƯỜNG CAO, GÓC Ở ĐỈNH

Câu 1: Cho hình nón có đường sinh bằng 4 ,a diện tích xung quanh bằng 2

8 a Tính chiều cao của hình nón đó theo a

Câu 4: Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng đường kính đáy Diện tích đáy hình nón bằng 9

Khi đó đường cao hình nón bằng

3

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BABC  Cạnh bên a SA2a

và vuông góc với mặt phẳng ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp  S ABC là:

Câu 8: Cho hình nón có diện tích xung quanh là S xq và bán kính đáy là r Công thức nào dưới đây dùng

để tính đường sinh l của hình nón đã cho

A

π

xq

S l

2π

xq

S l r

Câu 9: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy Diện tích đáy của hình nón bằng 

Chiều cao của hình nón bằng

Câu 10: Khối nón có bán kính đáy bằng 2, chiều cao bằng 2 3 thì có đường sinh bằng:

Câu 11: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy r, chiều cao h và đường sinh l

Kết luận nào sau đây sai?

Câu 13: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng R, chiều cao bằng h , độ dài đường sinh bằng l

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A l R2h2 B Rl2h2 C h R2l2 D l R2h2

Câu 14: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB3a và AC4a Độ dài đường sinh l

của hình nón nhận được khi quay ABC xung quanh trục AC bằng

A l a B l 2a C l 3a D l5a

Câu 15: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy Diện tích đáy của hình nón bằng 9 Tính

đường cao h của hình nón

Câu 16: Cho nửa hình tròn tâm O , đường kính AB Người ta ghép hai bán kính OA , OB lại tạo thành

mặt xung quanh của hình nón Tính góc ở đỉnh của hình nón đó

Câu 17: Người ta cắt hết một miếng tôn hình tròn ra làm 3 miếng hình quạt bằng nhau Sau đó quấn và gò

3 miếng tôn để được 3 hình nón Tính góc ở đỉnh của hình nón

DẠNG 2: TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN

Câu 18: Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh l và bán kính đường tròn

Câu 20: Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón Diện tích

xung quanh của hình nón đó là:

A  a2 B 2 a  2 C 1 2

2 a D 3 2

4 a

Câu 21: Cho tam giác ABC vuông tại A, ABa,AC2a Quay tam giác ABC (kể cả các điểm bên

trong tam giác) quanh BC , ta thu được khối tròn xoay Tính diện tích bề mặt của khối tròn xoay

đó

A

2

65

Câu 23: Cho tam giác đều ABC quay quanh đường cao AH tạo ra hình nón có chiều cao bằng 2a Tính

diện tích xung quanh S xq của hình nón này

A S xq 6 a2 B

2

34

A S xq 2 a2 B S xq  a2 C S xq 8 a2 D S xq4 a2

Câu 25: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB3a, AC4a Gọi M là trung điểm của AC Khi qua

quanhAB, các đường gấp khúc AMB, ACB sinh ra các hình nón có diện tích xung quanh lần lượt

S

S 

Câu 26: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng a 2 Tính diện tích

xung quanh S xq của hình nón đó

A

222

xq

a

226

xq

a

223

xq

a

233

Câu 28: Cho một hình phẳng gồm nửa đường tròn đường kính AB2, hai cạnh BC , DA của hình vuông

ABCD và hai cạnh ED, EC của tam giác đều DCE (như hình vẽ bên) Tính diện tích S của mặt

tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục đối xứng của nó

Câu 29: Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a Tính

diện tích S toàn phần của hình nón đó: tp

2 82

tp

a S

222

2 a  a

Câu 31: Cho hình nón có đường sinh là a , góc giữa đường sinh và mặt đáy là , diện tích xung quanh của

hình nón là:

Câu 32: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại cân A, gọi I là trung điểm của BC , BC  Tính 2

diện tích xung quanh của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AI

A S xq 2 2 B S xq 4 C S xq  2 D S xq 2

Câu 33: Một hình nón có đường cao h 20 cm, bán kính đáy r 25 cm Tính diện tích xung quanh của

hình nón đó:

A 75 41 B 5 41 C 125 41 D 25 41

Câu 34: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi I là trung điểm của BC , BC  Tính 2

diện tích xung quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AI

Câu 35: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABa 3, AC Diện tích xung quanh của hình nón tròn a

xoay tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng AB là:

A S xq2 a2 B S xq 4 a2 C

232

Câu 37: – 2017] Một hình nón đỉnh S , đáy hình tròn tâm O và SO Một mặt phẳng h  P qua đỉnh S

cắt đường tròn  O theo dây cung AB sao cho góc AOB 90 , biết khoảng cách từ O đến  P

h



2106

Câu 39: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC  a, ACb,ABc,bc Khi quay tam giác vuông ABC

một vòng quanh cạnh BC,quanh cạnh AC,quanh cạnh AB, ta được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng S a,S b,S c. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 40: Cho tam giác đều ABC quay quanh đường cao AH tạo ra hình nón có chiều cao bằng 2a Tính

diện tích xung quanh S của hình nón này xq

A S xq6 a2 B

2

83

Câu 43: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Diện

tích xung quanh của hình nón bằng

4

A

2

π 22

a

B πa2 2 C

2

π 24

a

D

22π 23

a

Câu 44: – 2017] Cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên một hình nón Diện

tích xung quanh S của hình nón đó là:

A

2

34

2

S  a

Câu 45: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60

Hinh nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích xung quanh là:

A S  a2 B 2 

7 14

a S

274

Câu 50: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 2cm , góc ở đỉnh bằng o

60 Diện tích xung quanh của

hình nón là

A 3 cm  2 B 6 cm  2 C  cm2 D 2 cm  2

Câu 51: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng 1 Tính diện tích xung quanh của hình tròn

xoay sinh bởi đường gấp khúc ACA khi quay quanh trục AA

A  6 B  3 C  2 D  5

Câu 52: Cho hình nón đỉnh S biết rằng nếu cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam

giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 Diện tích xung quanh của hình nón là:

Câu 54: Cho tam giác ABC có AB  , 3 AC  , 4 BC  Cho tam giác quay quanh 5 AB và AC ta được

2 hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh tương ứng là S và 1 S Chọn câu đúng 2

A 1

2

35

Câu 56: Cho hình tam giác ABC vuông tại A có ABC 30 và cạnh góc vuông AC2a quay quanh

cạnh AC tạo thành hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng:

a

Câu 58: Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM 45 và cạnh IM  Khi quay a

tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn

xoay Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó bằng

A

2

22

Câu 59: Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn

đáy của hình nón Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng:

A 3 2

3  a B 3 a  2 C 3 2

2  a D 2 3 2

3  a

Câu 60: Hình nón  N có đỉnh S , tâm đường tròn đáy là O , góc ở đỉnh bằng 120 Một mặt phẳng qua S

cắt hình nón  N theo thiết diện là tam giác vuông SAB Biết rằng khoảng cách giữa hai đường

thẳngABvà SO bằng 3 Tính diện tích xung quanh S xqcủa hình nón  N

Câu 64: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh AB a, góc tạo bởi SAB và  ABC bằng  60

Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng

A

2

73

a



276

a



Câu 65: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 6,AC 8 Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn

xoay tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC

a

Câu 67: Cho tam giác ABC vuông cân tại A biết BCa 2 Gọi I là trung điểm của BC Tính diện tích

toàn phần của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho ABC quay quanh AI một góc 360

A   2

2 2 1  a B   2

2 2 12

a



2 12

a



222

a



C 2 2 a  2 D 2 a  2

Câu 69: Cho tam giác AOB vuông tại O , có  OAB 30 và ABa Quay tam giác AOB quanh trục AO

ta được một hình nón Tính diện tích xung quanh S xqcủa hình nón đó

xq

a

 Câu 71: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 , bán kính đáy bằng a Diện tích xung quanh của hình nón

bằng

A 2 a  2 B  a2 C  a2 3 D 4 a  2

Câu 72: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Diện

tích xung quanh của hình nón bằng:

a



D  a2

Câu 73: Cho hình nón đỉnh S và đường tròn đáy có tâm là O điểm A thuộc đường tròn đáy Tỉ số giữa

diện tích xung quanh và diện tích đáy là 2 Số đo của góc SAO là?

A 450 B 300 C 1200 D 600

Câu 74: C ho tam giác OAB vuông tại O có OA  , 3 OB 4 Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo

thành khi quay tam giác OAB quanh OA

A S 36 B S 20 C S 26 D S52

Câu 75: Cho tam giác ABC vuông cân tại A biết BCa 2 Gọi I là trung điểm của BC Tính diện tích

toàn phần của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho ABC quay quanh AI một góc 360

A   2

2 12

a



2 2 1  a

Câu 76: Hình lập phương ABCD.A B C D    có cạnh bằng a,Một hình nón tròn xoay có đỉnh là tâm của hinh

vuông ABC và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông D A B C D    Diện tích xung quanh của

hình nón đó là:

A

262

a 

232

a 

222

a 

233

a 

Câu 77: Cho tam giác ABO vuông tại O có góc  BAO 30 , ABa.Quay tam giác ABO quanh trục AO

ta được một hình nón có diện tích xung quanh bằng

Câu 79: Cho khối nón   có bán kính đáy bằng 3 và thể tích bằng 12 Tính diện tích xung quanh của

xq

a



Câu 81: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 45

Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh S , đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD

A 2 2 a  2 B 4 2 a  2 C

222

Câu 83: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A với AC3 ,a AB4a Tính theo a diện tích

xung quanhS của hình nón khi quay tam giác ABC quanh trục AC

Câu 86: Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình

nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và  SAO 30 , SAB 60 Diện tích xung quanh

của hình nón bằng

A S xq2 a2 3 B S xq  a2 3 C

233

Câu 88: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A với AC3a, AB4a Tính theo a diện tích xung

quanh S của hình nón khi quay tam giác ABC quanh trục AC

Câu 91: Cho tam giác ABC vuông tại B có AC2 ,a BC a, khi quay tam giác ABC quay quanh cạnh

góc vuông AB thì đường gấp khúc ABC tạo thành một hình nón tròn xoay có diện tích xung

quanh bằng:

A 4 a  2 B 2 a  2 C  a2 D 3 a  2

Câu 92: Đường cao của một hình nón bằng a a  0 Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có

Câu 93: Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng 3 và thiết

diện qua trục là tam giác đều bằng:

l



Câu 95: Một hình nón có bán kính đáy bằng 1 và có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân Tính

diện tích xung quanh của hình nón

A 2 B 1

Câu 96: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh ABa, ACa 3 Tính diện tích xung

quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC

A S xq  2a2 B S xq  3a2 C S xq 2 a2 D S xq  a2

Câu 97: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a, một hình nón có đỉnh là tâm của hình

vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A B C D    Diện tích xung quanh của

hình nón đó là

A

233

a



232

a



254

a



222

a



Câu 98: Thiết diện qua trục của một hình nón  N là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng a

, diện tích toàn phần của hình nón  N bằng:

a



1 22

a

1 32

Câu 100: Cắt hình nón  N bởi một mặt phẳng chứa trục của  N thu được thiết diện là một tam giác vuông

có diện tích bằng 4 cm2 Tính diện tích xung quanh S của hình nón xq  N

A S xq 8 2 cm2 B S xq 4 cm 2 C S xq 4 2 cm2 D S xq 8 cm 2

Câu 101: Cho hình nón ( )N có bán kính đường tròn đáy R 2 và độ dài đường sinh l 4 Tính diện tích

xung quanh S xq của hình nón ( ).N

A S xq 8 B S xq 4 C S xq 8 D S xq 16

Câu 102: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Tính diện tích xung quanh của khối nón có đỉnh là

tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A B C D   

A

258

xq

a



Câu 103: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông

ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A B C D    Kết quả tính diện tích toàn phần S tp của khối nón đó có dạng bằng 4a2 b c

 với b và c là hai số nguyên dương và b 1 Tính bc

Câu 104: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R có BAC75 , ACB60  Kẻ

BH  AC Quay ABC quanh AC thì BHC tạo thành hình nón xoay  N Tính diện tích xung

quanh của hình nón tròn xoay  N theo R

HÌNH NÓN KHỐI NÓN DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG SINH, BÁN KÍNH ĐÁY, ĐƯỜNG CAO, GÓC Ở ĐỈNH

Câu 1: Cho hình nón có đường sinh bằng 4 ,a diện tích xung quanh bằng 8 a2 Tính chiều cao của hình

Dễ thấy thiết diện qua trục hình nón là một tam giác đều cạnh l

Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón chính là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều nói

1.2

xq xq

Câu 4: Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng đường kính đáy Diện tích đáy hình nón bằng 9

Khi đó đường cao hình nón bằng

3

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi I là trung điểm cạnh SC

SA ABC SA AC SAC vuông tại A Suy ra: IAICIS

SA ABC SABC và BCAB (do ABC vuông tại B)

Suy ra: BCSAB nên BCSB SBC vuông tại B Do đó IBICIS

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Hình nón có bán kính đáy r 1, chiều cao 4

Câu 8: Cho hình nón có diện tích xung quanh là S xq và bán kính đáy là r Công thức nào dưới đây dùng

để tính đường sinh l của hình nón đã cho

A

π

xq

S l

 C l2πS r xq D

2π

xq

S l r



Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có S xq πrl

π

xq

S l r

 

Câu 9: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy Diện tích đáy của hình nón bằng 

Chiều cao của hình nón bằng

Hướng dẫn giải Chọn D

Theo đề bài, ta có BCAC 2R

Mà Sday  R2  R 1

Do đó BC  2

Tam giác MBC vuông tại M nên chiều cao hình nón BM  BC2MC2  4 1  3

Câu 10: Khối nón có bán kính đáy bằng 2, chiều cao bằng 2 3 thì có đường sinh bằng:

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có l r2h2 2  2

Câu 11: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy r , chiều cao h và đường sinh l

Kết luận nào sau đây sai?

h

r O

l S

A

B

Ta có tam giác SOB vuông tại O nên: h2r2 l2h2 l2r2

Câu 12: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 6cm , góc ở đỉnh bằng 60 Thể tích khối nón là:

A 27 cm  3 B 9 cm  3 C 9 3 cm  3 D 27cm3

Hướng dẫn giải Chọn C

Hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 nên thiết diện chứa trục của hình nón là tam giác đều có độ dài cạnh bằng 6cm

Thể tích khối nón là: 1 2  3

.3 3 3 9 3 cm3

Câu 13: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng R, chiều cao bằng h , độ dài đường sinh bằng l

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A l R2h2 B Rl2h2 C h R2l2 D l R2h2

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: l2 R2h2  l R2h2

Câu 14: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB3a và AC4a Độ dài đường sinh l

của hình nón nhận được khi quay ABC xung quanh trục AC bằng

A l a B l 2a C l 3a D l5a

Hướng dẫn giải Chọn D

Đường sinh của hình nón có độ dài bằng đoạn BC  AB2AC2 5a

Câu 15: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy Diện tích đáy của hình nón bằng 9 Tính

đường cao h của hình nón

Câu 16: Cho nửa hình tròn tâm O , đường kính AB Người ta ghép hai bán kính OA , OB lại tạo thành

mặt xung quanh của hình nón Tính góc ở đỉnh của hình nón đó

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi R, r lần lượt là bán kính của nửa hình tròn tâm O và hình nón

Hình nón có đường sinh lOAR và chu vi đường tròn đáy bằng nửa chu vi hình tròn tâm O ,

đường kính AB Do đó 2 r   R

2

R r

  Gọi I là tâm đường tròn đáy của hình nón

Xét OAI vuông tại I có :  2 1

sin

2

R AI AOI

     30AOI  

Do đó góc ở đỉnh của hình nón bằng 60

Câu 17: Người ta cắt hết một miếng tôn hình tròn ra làm 3 miếng hình quạt bằng nhau Sau đó quấn và

gò 3 miếng tôn để được 3 hình nón Tính góc ở đỉnh của hình nón

A

c

b C A

B

DẠNG 2: TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN

Câu 18: Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh l và bán kính đường tròn

đáy r

A S xq  r l2 B S xq 2 r l2 C S xq  rl D S xq 2 rl

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 20: Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón Diện

tích xung quanh của hình nón đó là:

A  a2 B 2 a  2 C 1 2

2 a D 3 2

4 a

Hướng dẫn giải Chọn C

Khi quay tam giác đều ABC xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón có

Đường sinh la; bán kính đáy

2 2

BC a

r  

Khi đó

Câu 21: Cho tam giác ABC vuông tại A, ABa,AC2a Quay tam giác ABC (kể cả các điểm bên

trong tam giác) quanh BC , ta thu được khối tròn xoay Tính diện tích bề mặt của khối tròn xoay

đó

A

2

65

Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của ABC.Ta có ABC vuông tại A

54

Ta có S xq 2 Rl2 2.3 12  

Câu 23: Cho tam giác đều ABC quay quanh đường cao AH tạo ra hình nón có chiều cao bằng 2a Tính

diện tích xung quanh S xq của hình nón này

a 2 H

C B

A S xq 6 a2 B

234

Xét ABH có

Ta có hình nón có góc ở đỉnh bằng 0  

60  ASB60 ISB30

Đường sinh bằng 2a suy ra SBSA2a

Bán kính đáy của hình nón là RIBSB.sinISB2 sin 30a   a

Diện tích xung quanh của hình nón là 2

2 2

S  Rl a a  a

Câu 25: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB3a, AC4a Gọi M là trung điểm của AC Khi qua

quanhAB, các đường gấp khúc AMB, ACB sinh ra các hình nón có diện tích xung quanh lần

S

S 

Hướng dẫn giải Chọn A

I

S

2 2

S

S 

Câu 26: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng a 2 Tính diện tích

xung quanh S xq của hình nón đó

A

222

xq

a

226

xq

a

223

xq

a

233

xq

a

S  

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi S là đỉnh hình nón, thiết diện qua trục là tam giác SAB

Ta có ABa 2SA  , suy ra l a SA ; a 2

2 2

AB a

r   Vậy

Câu 28: Cho một hình phẳng gồm nửa đường tròn đường kính AB2, hai cạnh BC , DA của hình

vuông ABCD và hai cạnh ED, EC của tam giác đều DCE (như hình vẽ bên) Tính diện tích S

của mặt tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục đối xứng của nó

Gọi S là diện tích của mặt cầu khi quay nửa đường tròn đường kính 1 AB 2 khi quay quanh trục đối xứng của nó  S1 2

Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ khi quay hình vuông ABCD cạnh 2 AB 2 quanh

Câu 29: Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a Tính

diện tích S toàn phần của hình nón đó: tp

2 82

tp

a S

222

tp

a S

2 42

tp

a S

Hướng dẫn giải Chọn C

a S

2 a  a

Hướng dẫn giải Chọn B

l

Đường sinh của hình nón  h2r2 5 41cm

125 41

xq

S  r  cm

Câu 34: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi I là trung điểm của BC , BC  2

Tính diện tích xung quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AI

Hướng dẫn giải Chọn B

Tam giác ABC vuông cân tại A và BC  nên 2 AB AC 2 và AI 1

Quay tam giác quanh AI ta có hình nón với độ dài đường sinh là AB  2, bán kính IB 1 Diện tích xung quanh của hình nón S xq  .IB AB.1 2 2

Câu 35: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABa 3, ACa Diện tích xung quanh của hình nón

tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng AB là:

A S xq 2 a2 B S xq 4 a2 C

232

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB ta thu được hình nón có: r ACa; lBC2a

Diện tích xung quanh của hình nón là

Câu 37: – 2017] Một hình nón đỉnh S , đáy hình tròn tâm O và SO Một mặt phẳng h  P qua đỉnh S

cắt đường tròn  O theo dây cung AB sao cho góc AOB 90 , biết khoảng cách từ O đến  P

h



2106

h



Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi I là trung điểm của AB

2 2 2 2 2 2 2

OH  SO OI OI  h h  h

33

h OI

  Tam giác OAB vuông cân tại O nên:

2 32

Diện tích xung quanh của hình nón  N là: S rl .2 5a a 2

10 a 



Câu 39: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC  a, ACb,ABc,bc Khi quay tam giác vuông ABC

một vòng quanh cạnh BC,quanh cạnh AC,quanh cạnh AB, ta được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng S a,S b,S c. Khẳng định nào sau đây đúng?

A S cS a S b B S a S c S b C S b S cS a D S b S a S c

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A của tam giác, đặt AH  h

h

B

A

Do c ,a hb nên hiển nhiênS a S c.

Vậy S a S cS b.

Câu 40: Cho tam giác đều ABC quay quanh đường cao AH tạo ra hình nón có chiều cao bằng 2a Tính

diện tích xung quanh S của hình nón này xq

A S xq6 a2 B

283

Xét ABH có

Diện tích xung quanh của hình trụ là S xq 2 rh2 a a.2 4 a2

Câu 42: Một hình nón có chiều cao bằng a 3 và bán kính đáy bằng a Tính diện tích xung quanh S xq

của hình nón

A S xq2a2 B S xq 2 a2 C S xq  3 a2 D S xq  a2

Hướng dẫn giải Chọn B

Đường sinh: 2 2

2

l h r  a Diện tích xung quanh là S xq rl2 a2

Câu 43: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Diện

tích xung quanh của hình nón bằng

A

2

π 22

a

B πa2 2 C

2

π 24

a

D

22π 23

a

Hướng dẫn giải Chọn A

2

π 22

a

 Câu 44: – 2017] Cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên một hình nón Diện

tích xung quanh S của hình nón đó là:

A

234

Hình nón có bán kính đáy

Câu 45: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60

Hinh nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích xung quanh là:

A 2

7 14

a S

274

A

H

Gọi O là tâm của đáy ABCD , M là trung điểm của BC

Hình nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD là hình nón tròn xoay tạo thành

khi quay tam giác SOM quanh SO Ta có:

a l

 

Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:

7

Ta có l h2r2  4232 5

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đó là S  rl3.5 15 

Câu 47: Cho hình nón có đường sinh l2a và hợp với đáy một góc 60 Diện tích xung quanh S của xq

Đường sinh l2a hợp với đáy một góc 60R a

Ta có 2 2

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là Sxq  rl.3.5 15 

Câu 49: Một hình nón có chiều cao bằng a 3 và bán kính đáy bằng a Diện tích xung quanh của hình

nón bằng:

A 3 a  2 B 3 a  2 C  a2 D 2 a  2

Hướng dẫn giải Chọn D

Diện tích xung quanh của hình nón là S xq  rl 2 a  2

Câu 50: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 2cm , góc ở đỉnh bằng 60o Diện tích xung quanh của

Diện tích xung quanh của hình nón là S xq  rl2  cm2

Câu 51: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng 1 Tính diện tích xung quanh của hình tròn

xoay sinh bởi đường gấp khúc ACA khi quay quanh trục AA

A  6 B  3 C  2 D  5

r

h

60

Hướng dẫn giải Chọn A

Tam giác ACA vuông tại A, hình nón tròn xoay sinh ra có bán kính đường tròn đáy

2

r AC , độ dài đường sinh l A C  3 nên S xq  rl  6

Câu 52: Cho hình nón đỉnh S biết rằng nếu cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam

giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 Diện tích xung quanh của hình nón là:

Ta có SAB vuông cân tại S 2

Gọi l là đường sinh của hình nón thì l r2h2  3242  5

Diện tích xung quanh của hình nón là S xq  rl3.5 15 

Câu 54: Cho tam giác ABC có AB  , 3 AC 4, BC  Cho tam giác quay quanh 5 AB và AC ta được

2 hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh tương ứng là S và 1 S Chọn câu đúng 2

A 1

2

35

S

S 

Hướng dẫn giải Chọn D

Nhận xét : tam giác ABC vuông tại A

Khi quay quanh AB ta được hình nón có bán kính là AC , đường sinh là BC S1 AC BC Khi quay quanh AC ta được hình nón có bán kính là AB , đường sinh là BC S2  AB BC

1

2

43

Hình chữ nhật ABCD có AC2a 2, ACB 45 nên ABCD là hình vuông cạnh 2a

Khi đó hình trụ  T có chiều cao là h2a, bán kính đáy R2a

TP

S   Rh  R   a

Câu 56: Cho hình tam giác ABC vuông tại A có ABC 30 và cạnh góc vuông AC2a quay quanh

cạnh AC tạo thành hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng:

A 4 2 3

3 a B 8 a2 3 C 16 a2 3 D 2 a  2

Hướng dẫn giải Chọn B

2

AC a; Suy ra AB2 3 ;a BC4a

Khi quay quanh cạnh AC ta được một hình nón

Có đường sinh l4a và bán kính đáy là 2 3a

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: S xq  Rl4.2 3a2 8 a2 3

Câu 57: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 2a và chu vi đáy bằng 2 a  Tính diện tích xung quanh

S của hình nón

A

2π3

a

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 58: Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I , góc IOM 45 và cạnh IM  Khi quay a

tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn

xoay Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó bằng

A

2

22

Chọn D

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường gấp khúc quay quanh OI sẽ tạo hình nón tròn xoay có bán kính

đáy và chiều cao lần lượt là IM  và h a IOa và độ dài đường sinh bằng la 2

Diện tích xung quanh của hình nón bằng: S xq  rl  a2 2

Câu 59: Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường

tròn đáy của hình nón Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Gọi tứ diện đều cạnh a là ABCD , O là tâm đường tròn đáy của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón là: S xq  rl .BO AD 2 3

3 2

a a

3  a



Câu 60: Hình nón  N có đỉnh S , tâm đường tròn đáy là O , góc ở đỉnh bằng 120 Một mặt phẳng qua

S cắt hình nón  N theo thiết diện là tam giác vuông SAB Biết rằng khoảng cách giữa hai

đường thẳngABvà SO bằng 3 Tính diện tích xung quanh S xqcủa hình nón  N

A S xq 27 3 B S xq 18 3 C S xq9 3 D S xq 36 3

Hướng dẫn giải Chọn B

Theo bài ra ta có tam giácSAB vuông tại S và OH  ; và 3 BSO 60

2 26

Câu 62: Cho khối nón có bán kính đáy r1cm và góc ở đỉnh 60 Tính diện tích xung quanh S xqcủa

Gọi SO và SA lần lượt là đường cao và đường sinh của hình nón Ta có  ASO 30

Trong tam giác SAO ta có: sin OA

A

Ta có S  rl4 3

Câu 64: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh AB a, góc tạo bởi SAB và  ABC bằng  60

Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng

A

2

73

a



Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi M là trung điểm AB và gọi O là tâm của tam giác ABC ta có :

Do đó góc giữa SAB và  ABC là  SMO 60

Mặt khác tam giác ABC đều cạnh a nên 3

Câu 65: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB6,AC 8 Tính diện tích xung quanh của hình nón

tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC

A S xq160  B S xq 80  C S xq120  D S xq 60 

Hướng dẫn giải Chọn D

Hướng dẫn giải Chọn C

Giả sử thiết diện của mặt phẳng đi qua trục của hình nón với hình nón là tam giác ABC , theo giả

thuyết bài toán, ta có ABC là tam giác đều cạnh a Do đó hình nón có

2 .a

Câu 67: Cho tam giác ABC vuông cân tại A biết BCa 2 Gọi I là trung điểm của BC Tính diện

tích toàn phần của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho ABC quay quanh AI một góc 360

A   2

2 2 1  a B   2

2 2 12

a



2 12

Vậy S tp S xqS đáy  rl r2

2 2

tp

a S

a



222

a



C 2 2 a  2 D 2 a  2

Hướng dẫn giải Chọn D

Tam giác SAB vuông cân tại S nên  ASO 45

Suy ra tam giác SAO vuông cân tại O

Khi đó: AO

2

SA

 a Diện tích xung quanh của hình nón: S .OA SA  .a a 2 2

2 a 

Câu 69: Cho tam giác AOB vuông tại O , có  OAB 30 và ABa Quay tam giác AOB quanh trục

AO ta được một hình nón Tính diện tích xung quanh S xqcủa hình nón đó

Hướng dẫn giải Chọn D

Hình nón có bán kính đáy bằng a nên đường kính bằng 2a Do đó hình nón này có góc ở đỉnh

bằng 60 thì độ dài đường sinh là l2a

Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng S xq  rl .2a a2 a2

Câu 72: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Diện

tích xung quanh của hình nón bằng:

Giả sử SAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ)

Tam giácSAB cân tại S và là tam giác cân nên SASB a

Do đó, AB SA2SB2 a 2 và 1 2

a

SOOA AB Vậy, diện tích xung quanh của hình nón:

Câu 73: Cho hình nón đỉnh S và đường tròn đáy có tâm là O điểm A thuộc đường tròn đáy Tỉ số giữa

diện tích xung quanh và diện tích đáy là 2 Số đo của góc SAO là?

A 450 B 300 C 1200 D 600

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có diện tích xung quanh của hình nón là S .OA SA

Diện tích đáy của hình nón là S  OA2

Câu 74: C ho tam giác OAB vuông tại O có OA  , 3 OB 4 Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo

thành khi quay tam giác OAB quanh OA

A S 36 B S 20 C S26 D S 52

Hướng dẫn giải Chọn A

Vì tam giác OAB vuông tại O có OA3,OB4 nên AB  5

Ta có S xq  Rl.OB AB .4.520

Và diện tích đáy là S  R2 .OB2 .42 16

Vậy S tp SS xq 36

Câu 75: Cho tam giác ABC vuông cân tại A biết BCa 2 Gọi I là trung điểm của BC Tính diện

tích toàn phần của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho ABC quay quanh AI một góc 360

A   2

2 12