Khóa Luận tốt nghiệp Phân lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính

Ở phần này đưa ra một số khái niệm về ổn định nghiệm của hệ vi phân.Ở phần này, chúng tôi đi vào nghiên cứu theo hai hướng chính: Tương đương vi phân và tương đương Tôpô.. Tồn tại ít nhấ

TRƯỜNG ĐH SP I KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHÂN LỚP

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TUYẾN TÍNH

Ở phần này đưa ra một số khái niệm về ổn định nghiệm của hệ vi phân.

Ở phần này, chúng tôi đi vào nghiên cứu theo hai hướng chính:

Tương đương vi phân và tương đương Tôpô Qua đó, tìm ra mối liên hệ giữa chúng.

PHẦN MỘT: Kiến thức chuẩn bị

Trong phần này, chúng tôi đã hệ thống lại các kiến thức về :

- Không gian tuyến tính , không gian Mêtric, không

gian định chuẩn

- Khái niệm toán tử tuyến tính.

- Hệ vi phân.

- Phân loại ánh xạ trên R.

- Luồng trên đường thẳng và luồng trên Rn

Chúng ta, đi vào khái niệm luồng.

1.Luồng trên đường thẳng

2 Luồng trên Rn:

Tương tự như trong trường hợp định nghĩa luồng trên đường

thẳng ta có định nghĩa luồng trên mặt phẳng và luồng trên

Rn

Hệ (1) tồn tại duy nhất nghiệm trên Z.

Ta giả sử rằng nghiệm y(t) của hệ (1) thác triển nghiệm vô hạn được về phía bên phải.

2.2.2 Định nghĩa hệ nghiệm ổn định

khi t  +∞ nếu  > 0, t o  I + , (t o,) > 0 với sao cho :

2.2.3.Định nghĩa không ổn định

2.2.4 Định nghĩa ổn định tiệm cận.

2.2.5 Ổn định toàn thể.

2.3 Sự ổn định của hệ vi phân tuyến tính.

2.3.1 Định nghĩa hệ ổn định.

2.3.2 Định nghĩa hệ ổn định tiệm cận, ổn định đều

2.4 Sự ổn định của hệ tuyến tính thuần nhất

2.5 Hệ với ma trận hằng.

2.6 Các điểm kì dị đơn giản.

PHẦN BA Phân lớp hệ phương trình vi phân

3.1 Phân loại các điểm kì dị.

Trong phần này, chúng tôi chỉ xét đến những hệ mà phương tình đặc trưng không

có nghiệm bội Và biểu diễn quỹ đạo nghiệm trong R 3

3.2 Tương đương tuyến tính, tương đương vi phân và tương đương Tôpô.

Vì bất cứ sự phân lớp nào cũng tạo nên một mối quan hệ tương đương Tồn tại ít nhất 3 quan hệ tương đương có thể có đối với hệ tuyến tính chúng tương đương với quan điểm đại số, vi phân và tôpô.

3.2.1.Định nghĩa:

Cho{f t },{g t } , : R n  R n là những luồng

Luồng {f t } được gọi là tương đương với luồng {g t } nếu tồn tại một song ánh

h: R n  R n biến {f t }  {g t }

Sao cho hof t = g toh Điều đó nói rằng những luồng {f t } biến thành luồng {g t } Khi

ta thay đổi toạ độ của h

3.2.2.Tương đương tuyến tính, tương đương vi phân và tương đương Tôpô.

3.2.2.1.Tương đương tuyến tính

Ta nói luồng {ft}là tương đương tuyến tính với luồng {gvới luồng t} nếu ánh xạ h

là một đẳng cấu tuyến tính

Ta nói luồng {ft}là tương đương vi phân với luồng {gvới luồng t} nếu ánh xạ h là một vi phôi

3.2.2.3 Tương đương Tôpô

Ta nói luồng {ft}là tương đương vi phân với luồng {g}là tương đương vi phân với luồng t} nếu ánh xạ h là một đồng phôi

Các ví dụ:

Ví dụ Chứng minh rằng:

Tương đương tuyến tính kéo theo tương đương vi phân và tương đương

vi phân kéo theo tương đương Tôpô

Chú ý rằng : ánh xạ h liên kết quỹ đạo của {ft} với quỹ đạo luồng {gt}

Chứng minh

 Thật vậy : Giả sử luồng {f t } tương đương tuyến tính với luồng {g t } Suy ra tồn tại một đẳng cấu tuyến tính h biến luồng {f t } thành luồng {g t }.

Mặt khác, do h là đẳng cấu tuyến tính nên h là vi phôi

Do h là vi phôi nên {f t } tương đương vi phân với {g t }.

 Giả sử {f t } tương đương vi phân với {g t }

Suy ra tồn tại vi phôi h : R n  R n

h{f t } {g t }

Do vi phôi h luôn là đồng phôi nên {f t } tương đương Tôpô với {g t }.

Như vậy, ta có thể minh họa bằng sơ đồ sau:

Tương đương tuyến tính  Tương đương vi phân Tương đương Tôpô

Ví dụ 3

Ta khẳng định rằng quan hệ tương đương tuyến tính , vi phân, Tôpô thực sự là quan hệ tương đương có nghĩa là : f ~ f; f ~ g  g

~ f; f ~ g;g ~ k  f ~ g Ta kiểm tra các điều kiện của quan hệ

tương đương trên cho khái niệm tương đương tuyến tính Tương đương vi phân và tương đương topo làm tương tự Giả sử có hai luồng {f t } , {g t } tương đương tuyến

2 o {f t } ~ {g t } {g t } ~ {f t }

Do {f t } ~ {g t } h: R n  R n h{f t } {g t }

Nhận xét

Quan hệ tương đương mà ta đưa ra ở trên thực chất là quan

hệ tương đương theo nghĩa đại số Tức là thoả mãn các tính chất :

1.Tính phản xạ.

2 Tính đối xứng.

3 Tính bắc cầu.

3.3 Sự phân lớp hệ vi phân

Chúng ta đi nghiên cứu tiêu chuẩn tương đương của các hệ phương trình qua các định lý

3.3.3 Phân lớp Tôpô

Định lý: Hai hệ phương trình tuyến tính mà phần thực của các giá trị riêng khác 0 tương đương Tôpô khi và chỉ khi các giá trị

riêng có phần thực âm, dương ở hai hệ là như nhau.

Điều này có nghĩa là: m + (A) = m - (B)

R n tương ứng với phần thực của các giá trị riêng thu hẹp của A trên R m+ ,R m-

Bổ đề 3:Cho A là một toán tử tuyến tính : R n  R n mà phần thực của tất cả các giá trị riêng dương thì hệ: x’ = Ax , x R n tương đương Tôpô với hệ chuẩn x’ = x , x R n

3.6 Chứng minh định lý phân lớp Tôpô

Từ ba bổ đề 1, 2, 3 Ta có kết luận sau: Mọi hệ tuyến tính x’ = Ax mà những phần thực của các giá trị riêng của toán tử A khác không là tương đương TôPô với hệ yên ngựa nhiều chiều chuẩn

(Nếu toán tử A có các giá trị riêng có phần thực âm thì PT: x’= Ax tương đương

bất biến bị hút về yên ngựa.

Bây giờ, ta chứng minh phần thứ hai của định lý phân lớp TôPô.

Ta chứng minh hai hệ tương đương TôPô thì nhận cùng số những giá trị riêng có phần thực âm ( dương).

Số m- chính bằng số chiều của đa tạp bất biến hút như nhau đối với các nút yên ngựa

tương đương TôPô.

Chú ý rằng tất cả các đồng phôi h, chuyển luồng của nút yên ngựa này thành luồng của nút yên ngựa khác cần phải biến đổi đa tạp bất biến hút của một trong chúng thành đa tạp bất biến hút bởi yên ngựa khác (Vì sự chuyển qua giới hạn 0 khi t được bảo tồn bởi một đồng phôi) Vì vậy, đồng phôi h được thực hiện như một đồng phôi của đa tạp bất biến hút của một yên ngựa trên sự bất biến hút của yên ngựa khác.

Kết luận

Đề tài:“PHÂN LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH”

Đề cập đến việc phân lớp hệ phương trình vi phân qua luồng của chúng, sự ổn định nghiệm của hệ vi phân.

Ta có thể tóm tắt các kết quả của đề tài như sau :

 Xây dựng khái niệm luồng trên đường thẳng và luồng trên R n

 Đưa ra các khái niệm về sự ổn định nghiệm của hệ vi phân Cụ thể : hệ vi phân tuyến tính thuần nhất và hệ vi phân với ma

LỜI KẾT

Em xin tỏ lòng cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Văn Cần – Thạc sĩ toán – Khoa khoa học tự nhiên – trường ĐH Hồng Đức đã tận tình hướng dẫn dìu dắt em hoàn thành khóa luận này Em cũng xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trong khoa Khoa Học Tự Nhiên đã tạo điều kiện cho em trong quá trình thực hiện khóa luận.

Em xin chân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo đã dìu dắt em trong suốt 4 năm học vừa qua, đó là những đóng góp cơ sở để em thực hiện khóa luận này.

x o g t x o = e kt x o

(1)

đổi tuyến tính của một đường thẳng Nhóm này còn được gọi là nhóm một tham biến của những phép biến đổi tuyến tính.

những phép biến đổi tuyến tính Những chuyển động của những điểm dưới tác động của luồng này là nghiệm của phương trình (1) (Quay lại)

Ta cần phải chứng minh các giá trị riêng của chúng là như nhau.

đương tuyến tính nên tồn tại 1 đẳng cấu tuyến tính h : h(x) = y

các giá trị riêng.

(1) tương đương tuyến tính với hệ (2).

Do giả thiết các giá trị riêng của toán tử A , B là như nhau và hơn nữa

chúng là đơn nên chúng được phân tích thành tích trực tiếp của những

hệ 1 và 2 chiều đồng nhất nên chúng tương đương tuyến tính.(Quay lại)