áp dụng ph ơng trình ricati đối với bài toán điều khiển.. Tính điều khiển đ ợc là bài toán nghiên cứu các lớp hàm điều khiển chấp nhận đ ợc sao cho d ới tác động của nó hệ thống đ ợc điề
Trang 1khoa khoa hưđạiưhọcưọc tự nhiên
Báo cáo khoá luận tốt nghiệp:
tốiưưuưhoáưdạngưtoànưphương
ưđốiưvớiưhệưtuyếnưtínhư
trongưkhôngưgianưvôưhạnưchiều
Trang 2Bố cục của khóa luận bao gồm:
Mở đầu
nội dung
ChươngưI.ưsửưdụngưphươngưtrìnhưricatiư
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưđốiưvớiưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưtoànưphương.
1 Giới thiệu và đặt vấn đề
2 áp dụng ph ơng trình ricati đối với bài toán điều khiển
3 Một số kiến thức có liên quan
chươngưII.ưkếtưquảưcủaưbàiưtoánưđiềuưkhiển.
ChươngIII.ưvíưdụưvàưápưdụng.
1.ph ơng trình sóng
2.ph ơng trình truyền nhiệt
3.bài toán điều khiển trên biên
kết luận
Trang 3
mở đầu
Lý thuyết điều khiển là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng, mới đ ợc xuất hiện và phát triển trong mấy thập kỷ gần đây Là lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong thực tế, lý thuyết điều khiển toán học ngày nay đã trở thành một môn phổ biến trong nhiều tr ờng đại học tổng hợp và đại học kỹ thuật
Tính điều khiển đ ợc là bài toán nghiên cứu các lớp hàm điều khiển chấp nhận
đ ợc sao cho d ới tác động của nó hệ thống đ ợc điều khiển về các vị trí mà ta mong muốn Chẳng hạn, cho hệ điều khiển là hệ động lực đ ợc mô tả bởi các vị trí mong muốn cần điều khiển là những trạng thái cho tr ớc, bài toán
đặt ra là tìm điều khiển chấp nhận đ ợc u(t) sao cho d ới tác động của nó hệ thống đ
ợc điều khiển từ trạng thái x0, tới x1 trong một khoảng thời gian(tuỳ ý hoặc cố
định) Dựa vào mục đích điều khiển của hệ thống, ng ời ta đ a ra các khái niệm
khác nhau của bài toán điều khiển đ ợc nh điều khiển về không, đạt đ ợc từ một
trạng thái nào đó, điều khiển đ ợc hoàn toàn, điều khiển địa ph ơng,
Phát triển từ các bài toán tối u hóa cổ điển, nh bài toán biến phân, bài toán quy hoạch động, bài toán điều khiển tối u là bài toán tìm các quá trình tối u (nhằm đạt một mong muốn nào đó) cho các hệ động lực đ ợc mô tả bằng các ph
ơng trình toán học “Tối u hoá dạng toàn ph ơng đối với hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều”, là tr ờng hợp đặc biệt của bài toán tối u
) , , (
.
u x t f
x
1
0, x x
Trang 4Mục đích nghiên cứu của đề tài này là tìm kết quả của bài toán tối u dạng toàn ph ơng đối với hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều.Vì điều kiện không cho phép nên trong đề tài này chúng tôi chỉ nghiên cứu tr ờng hợp thời gian hữu han.
Nội dung nghiên cứu của đề tài đ ợc trình bày trong ba ch ơng:
ChươngưIưgiớiưthiệuưvềưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưtoànưphương;ưviệcưsửưdụngưphươngưtrìnhưRicatiư
đốiưvớiưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưtoànưphươngưvàưmộtưsốưkiếnưthứcưcóưliênưquanưphụcưvụưchoưquáư trìnhưnghiênưcứu.ư
ưưưưưưChươngưIIưchứngưminhưđượcưđốiưvớiưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưtoànưphươngưđ ưchoưthìưluônưtồnưã cho thì luôn tồn
tạiưvàưduyưnhấtưđiềuưkhiểnưtốiưưu;ưhơnưnữaưcònưchỉưraưcôngưthứcưtìmưđiềuưkhiểnưtốiưưuưvàưgiáư trịưtốiưưu.
ưưưưưưChươngưIIIưđưaưraưmộtưsốư ví ưdụưápưdụng,ưbaoưgồm:ưđốiưvớiưphươngưtrìnhưtruyềnưnhiệt,ưphư
ơngưtrìnhưsóng,ưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưtrênưbiên.
ưưưưưưưưưư
Trang 5ChươngưI
Sử dụng Ph ơng trình Ricati
đối với bài toán điều khiển toàn ph ơng
ư
ưưưưư ở chươngưnày,ưchúngưtôiưgiớiưthiệuưvềưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưtoànưphương;ưưưư
việcưsửưdụngưphươngưtrìnhưRicatiưđốiưvớiưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưtoànưphươngưvàư
mộtưsốưkiếnưthứcưcóưliênưquanưphụcưvụưchoưquáưtrìnhưnghiênưcứu
1.ưGiớiưthiệuưvàưđặtưvấnưđề.
Xét một hệ động lực đ ợc mô tả bởi ph ơng trình vi phân sau:
(1.1)
Trong đó A : D(A) H H ; B : U H là các toán tử tuyến tính liên tục Cho T > 0, bài toán đặt ra là cực tiểu hoá hàm mục tiêu:
J(u) = (1.2)
Trong đó : H H ; C: H Y là các toán tử tuyến tính liên tục
Đối với các toán tử A, B, C và đ ợc xét đến thỏa mãn giả thiết sau:
H
x y(0)
0
t Bu(t), +
Ay(t)
= (t) y'
0
P
( ) ( ) 0 ( ), ( ) 0
2 2
T y T y P ds
s u s
Cy
T
0
Trang 6(i) A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh trong H;
(ii) B L(H,H);
(iii) L(H) là đối xứng và không âm;
(iv) C L(H,Y)
Với các điều kiện (i) và (ii) trong Giả thiết 1.1 thỏa mãn, bài toán (1.1) có nghiệm trung gian y duy nhất xác định bởi công c
thức biến thiên hằng số:
(1.3)
Địnhưnghĩaư1.1.
Mỗi hàm số u* L2 [[0,T];U] đ ợc gọi là một điều khiển tối u nếu:
J(u*) J(u), u L2 [[0,T];U] (1.4) Trong tr ờng hợp đó nghiệm y* t ơng ứng của (1.1) đ ợc gọi là trạng thái tối
u và cặp ( ) gọi là cặp tối u.
Chúng ta cần phải tìm điều khiển tối u qua điều khiển ng ợc Vì vậy, việc tiếp
cận bài toán quy hoạch động đ ợc thực hiện theo hai b ớc sau:
0
P
tA e
t
A s t
tA x e Bu s ds e
t
y
0
)
) (
*
*, y
u
Trang 7Bướcư1: Giải ph ơng trình toán tử Ricati:
(1.5)
Trong đó A*, B*, C* t ơng ứng là các toán tử liên hợp của A, B, C
Bướcư2: Chứng minh rằng điều khiển tối u u* liên hệ với trạng thái tối u y* bởi công thức liên hệ ng ợc:
u*(t) = -B*P(T- t)y*(t), t (1.6)
Trong đó y* là nghiệm trung gian của ph ơng trình:
(1.7)
Và giá trị tối u đ ợc cho bởi: J * := <P(T)x, x>
t
A s t
e t
y
0
)
) (
0
*
*
*
) 0 (
'
P P
C C P PBB PA
P A P
0 ,T
Trang 82 ápưdụngưphươngưtrìnhưRicatiưchoưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưtoànưphương.
2.1.ưMộtưsốưkýưhiệu.
Trong phần này, chúng tôi đ a ra một số ký hiệu nhằm phục vụ cho việc giải
ph ơng trình Ricati ở phần sau
2.2.ưápưdụngưphươngưtrìnhưRicatiưđốiưvớiưbàiưtoánưđiềuưkhiển.
Cho A, B, C và là các toán tử thỏa mãn Giả thiết 1.1 Xét ph ơng trình Ricati:
(1.11)
Tr ớc hết với A L(H) thì (1.11) là t ơng đ ơng với ph ơng trình tích phân:
0
P
o
P P
C C P PBB PA
P A
P
) 0 (
t
sA sA
tA o
tA P e x e C Ce xds e
x t
P
0
*
*
*
) (
ds x e
s P BB s P e
t
A s t A
s t
0
) (
* )
( * ( ) ( ) (1.12)
Trang 9
Địnhưnghĩaư1.2.
i) Mỗi hàm số P ([a,b]; ) thỏa mãn ph ơng trình tích phân (1.12) đ ợc gọi là một nghiệm trung gian của ph ơng trình (1.11) trong đoạn [0,T]
ii) Mỗi hàm số P ([a,b]; ) thỏa mãn các điều kiện:
P(0) = ; với bất kỳ x, y D(A) thì < P(.)x,y > là khả vi trong [0,T]; đồng thời P thỏa mãn ph ơng trình:
(1.13)
đ ợc gọi là một nghiệm yếu của ph ơng trình (1.11) trong đoạn [0,T]
Mệnhưđềư1.1. Giả sử P ([a,b]; ) Khi đó P là một nghiệm trung gian của
ph ơng trình (1.11) nếu và chỉ nếu P là nghiệm yếu của ph ơng trình (1.11).
Từ đó ta giới thiệu bài toán t ơng tự sau:
(1.14)
Trong đó là xấp xỉ Yosida của A và R(n,A) là giải thức của A
0
P
s C
) (
s
C
) (
P t x y P t x y P t Ax y dt
d
; ) (
; ) (
; ) (
B*P(t)x;B*P(t)y Cx;Cy
o n
n n
n n n
n n
P P
C C P
BB P P
A P
A
P
) 0 (
*
*
* '
nI A
n R n
A n 2 ( , )
) (
s C
Trang 10Bài toán (1.14) là t ơng đ ơng với ph ơng trình tích phân sau:
(1.15)
Bổưđềư1.2 Giả sử Giả thiết 1.1 là thỏa mãn, cố định T > 0, đặt:
(1.16)
và cho thỏa mãn:
(1.17) Khi đó bài toán (1.11) và (1.15) có duy nhất một nghiệm P và trong hình cầu:
Ngoài ra:
trong (1.18)
Bổư đềư 1.3. Giả sử rằng Giả thiết 1.1 thỏa mãn Cho T > 0 và cho P, Q là hai nghiệm trung gian của bài toán (1.11) trong [0,T] Khi đó P = Q
t
sA sA
tA tA
n t x e P e x e C Ce xds
0
* 0
*
*
)
t
A s t n
n A s
t P s BB P s e xds
0
) (
* )
( * ( ) ( )
0
2
2M T P
2
1 2
; )
(
; ] , 0
P
P n
lim C s a,b;(H)
n
P
Trang 11Địnhưlýư1.4 Giả sử Giả thiết 1.1 thỏa mãn Khi đó bài toán (1.11) có duy nhất một nghiệm
trung gian và với mỗi n N thì bài toán (1.15) có duy nhất một
nghiệm trung gian thỏa mãn trong
với bất kỳ T > 0.
Xét một dãy của ph ơng trình Ricati:
(1.19)
Với giả thiết sau:
Giảưthiếtư1.2.
(i) Với bất kỳ k N; (A k , B k , C k , P k
o ) thỏa mãn Giả thiết 1.1;
(ii) Với và x H, đều trong [0,T];
(
(iii) Các dãy hội tụ mạnh t ơng ứng tới B, B*, C, C*,
gian của (1.11) (t ơng ứng là (1.19)) Khi đó với bất kỳ T > 0 ta có:
trong
)) ( );
; 0
C
C [ 0 ; ); (H)
lim C s([0,T]; (H )
k k
k k
k k k k k
k k
k k
P P
C C P
B B P A
P P
A P
0
*
*
*
) 0 (
) ( )
( )
( )' (
B k ; (B k) * ; C k ; (C k) * ; P0k P0
P
P k
lim C s([ 0 ,T]; (H )
k
k
lim
0
T
Trang 12Mệnhưđềư1.6 Cho ph ơng trình Ricati
Giả sử (A, Bi, Ci, ) thoả mãn Giả thiết 1.1 và
2
; 1
; )
0
*
*
* '
i P P
C C P B B P A P P A P
i i
i i i i i i i
i i
0 ,
i
P
* 1 1
* 2 2 2
* 2 1
* 1 0
, 2 0
,
Khi đó ta có:
3.ư
3.ưMộtưsốưkiênưthứcưcóưliênưquan.
3.1 Nửa nhóm liên tục mạnh
3.2 Giải thức của A
3.3 Định lý Hill-Yosida
3.4 Xấp xỉ Yosida của của A
0 )
( )
1 t P t t
P
Trang 13kết quả của bài toán điều khiển
Trong ch ơng này, đối với bài toán điều khiển (1.1)-(1.2), chúng ta sẽ
chứng minh rằng tồn tại và duy nhất điều khiển tối u
Hơn nữa giá trị tối u đ ợc cho bởi: J(u*) = <P(T)x,x>
Xét bài toán điều khiển (1.1)- (1.2) Giả sử Giả thiết 1.1 thỏa mãn
Tr ớc hết chúng ta xét ph ơng trình:
(2.1)
Ta nói rằng là một nghiệm trung gian của ph ơng trình (2.1) nếu
nó là nghiệm của ph ơng trình tích phân sau:
T
t t
y t T P B t
H x y
T t
t y t T P BB t
Ay t
y
) 0 (
, 0 ),
( ) (
) ( )
(
y C([ 0 ,T];H)
t
A s t
e t y
0
* )
) (
Trang 14
Bổư
Bổưđềư2.1 Giả sử Giả thiết 1.1 thỏa mãn Cho x H, khi đó ph ơng trình (2.1) có
duy nhất một nghiệm trung gian
Bổưđềư2.2 Giả sử Giả thiết 1.1 thỏa mãn, cho ,x Cho y là một
nghiệm của ph ơng trình trạng thái (1.1); P là nghiệm trung gian của ph ơng trình Ricati (1.11) Khi đó ta có đồng nhất thức sau:
(2.2)
Địnhưlýư2.3 Giả sử giả thiết 1.1 thỏa mãn và x H Khi đó tồn tại duy nhất cặp
tối u (u*,y*) Ngoài ra:
(i) là nghiệm trung gian của ph ơng trình (2.1)
(ii) đ ợc cho bởi công thức liên hệ ng ợc: ; (2.3) (iii) Giá trị tối u J(u*) đ ợc cho bởi:
J(u*) = <P(T)x,x> (2.4)
C
T U
L
0 , ; ) (
* C T U
u
T
t t
y t T P B t
u* ( ) * ( ) * ( ), 0 ,
T
x x T P ds
s y s T P B s u u
J
0
2
* ( ) ( ) ( ) , )
( )
(
0 , ; ) (
* C T H
y
Trang 15ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư ChươngưIII
ví dụ và áp dụng
Trongư chươngư này,ư chúngư tôiư ápư dụngư kếtư quảư đãư nghiênư cứuư ởư chư
ơngưIưvàưchươngưIIưchoưmộtưsốưtrườngưhợp.ưBaoưgồm:ưđốiưvớiưphươngưtrìnhư truyềnưnhiệt,ưphươngưtrìnhưsóngưvàưbàiưtoánưđiềuưkhiểnưtrênưbiên.ư
Trang 16Cho D là một tập mở trong R n với biên , xét ph ơng trình trạng thái:
(3.1)
trong đó là toán tử laplace: và c là hằng số thực.
Cho U = H = Y = L 2 (D); B = C = = I và ký hiệu A là toán tử tuyến tính trong H đ ợc
xác định bởi:
(3.2)
Vì A là tự liên hợp, nó là một hàm sinh vi phân của một nửa nhóm liên tục mạnh trong
H=L 2 (D) Hơn nữa tồn tại một hệ trực chuẩn trong và một dã cho thì luôn tồn y các số d ơng
sao cho với:
,
(3.3)
Đặt y(t) = y(t,.) ; u(t) = u(t,.) chúng ta viết (3.1) d ới dạng tóm tắt (1.1).
D
D trong x
y
D T
tren t
y
D T
trong t
u t
y c t
y
D t
) ( )
, 0 (
] , 0 ( 0
) , (
] , 0 ( )
, ( )
, ( ) (
) , (
n k
z x D
x
k
1
0
P
) ( )
( )
(
) (
1 0
2 D H D H
A D
y c
e k L2 (D)
k k
k k
Trang 17Chúng ta muốn cực tiểu hoá hàm giá:
(3.4)
Ta viết nó d ới dạng:
(3.5)
Theo Định lý 1.3 tồn tại duy nhất cặp tối u (u*,y*), trong đó y* là nghiệm của ph ơng trình:
(3.6)
Hơn nữa u * đ ợc cho bởi công thức và ph ơng trình ricati
sẽ là: (3.8) Với bất kì ta có
Trong đó là nghiệm của ph ơng trình vi phân th ờng:
(3.9)
T
D D
d T
y dtd
t u t
y u
J
0
2 2
2
) , ( )
, ( )
, ( )
0
2 2
) ( )
( )
( )
J
T
) ,.)(
( ) (
) , (
*
t
, 2
0
t P ( t ) ek pk( t ) ek
) (k N
k p
1 ) ( )
( 2
) ( ' t p t p2 t
D trong x
y
D T
tren t
y
D T
trong t
y t T P t
y c t
y
D t
) ( )
, 0 (
] , 0 ( 0
) , (
] , 0 ( )
,.)(
( ) (
) , ( ) (
) , (
Trang 18Kết luận
Đề tài nghiên cứu bài toán tối u dạng toàn ph ơng đối với hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều Kết quả chính của đề tài là: đối với hệ điều khiển đ ợc cho bởi (1.1) và hàm mục tiêu J(u) (dạng toàn ph ơng) đ ợc cho bởi (1.2) (trong đó A, B, C, thỏa mã cho thì luôn tồn n Giả thiết 1.1) bao giờ ta cũng tìm đ ợc điều khiển tối u
, và giá trị tối u qua hai b ớc:
Bướcư1: Giải ph ơng trình toán tử Ricati:
(1.5)
Trong đó A*, B*, C* t ơng ứng là các toán tử liên hợp của A, B, C.
Bướcư2: Chứng minh rằng điều khiển tối u u* liên hệ với trạng thái tối
u y* bởi công thức ng ợc:
(1.6)
Trong đó y* là nghiệm trung gian của ph ơng trình
(1.7)
Và giá trị tối u đ ợc cho bởi: (1.8)
.
0
P
) ( ) (
)
* t B P T t y t
0
*
*
*
) 0 (
'
P P
C C P PBB PA
P A P
) ( ) (
)
H x
y
t t y t T P BB A
t y
) 0 (
0 ),
( ) (
) (
P T x x u
Trang 19Kết quả này đ ợc áp dụng cho một số tr ờng hợp nh : đối với ph ơng trình sóng, ph ơng
trình truyền nhiệt, bài toán điều khiển trên biên,…
Từ kết quả nghiên cứu của đề tài cũng mở ra một vấn đề có thể nghiên cứu tiếp đó
là tr ờng hợp hệ điều khiển cho bởi:
H x
y
t t
Bu t
y t t
Ay t
y
) 0 (
0 );
( )
( ) ( )
( )
(