chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS

Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại một điểm H và H gọi là trực tâm của tam giác ABC.. Ba đường trung trực của ba cạnh BC, CA, AB cắt nhau tại một điểm O và điểm O gọi là tâm đường t

Một số tính chất cơ bản của Hình học và các mô hình Hình học quen thuộc

Nguyễn Thanh Dũng - GV Toán trường THPT chuyên Chu Văn An

Lời tựa!

Mô hình hình vẽ Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC

Đây là một trong các mô hình hay gặp, nếu bài toán không cho AB<AC thì theo tư duy hình ảnh thông thường ta hay vẽ AB<AC

Yếu tố cơ bản của Hình học Một trong các yếu tố cơ bản, sơ khai nhất và cũng

huyền bí nhất là tâm ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm, tâm nội tiếp, đường thẳng Euler, đường tròn Euler Các bài toán thường khai thác trên những yếu tố này rồi đưa đến các

kết quả khác nhờ cách xây dựng thêm đường thẳng, đường tròn, giao điểm từ đó thu được các bài toán khác

Mô hình cơ bản là những mô hình thường gặp như tam giác ABC cho đường tròn tâm O, trực tâm H, trọng tâm G Cùng với hình dáng cũng như tính chất của chúng, chúng

tạo thành các mô hình quen thuộc và cơ bản Việc nắm được các mô hình giúp ta hiểu rõ hơn bài toán cũng như mối liên hệ với các bài toán khác Phần cuối tài liệu có trình bày

một mô hình hay gặp là mô hình đường tròn Euler

Bất biến hình học Một số tính chất hình học luôn đúng với mọi tam giác và ta hay

dùng nó để giải quyết các bài toán khác thường được gọi là yếu tố bất biến Việc nhận ra bất biến và nắm được những tính chất này là vấn đề rất quan trọng để giải một bài toán

Hình học cũng như sáng tạo ra các bài toán khác

Động trong mô hình Với các mô hình thì động (cách vẽ khác nhau) như lại sinh ra

tính chất như nhau (bất biến) Tức là khi di chuyển các điểm hoặc vẽ khác đi thì tính chất vẫn đúng Hơn nữa, khi vẽ hai vị trí khác nhau mà tính chất vẫn đúng thì có thể khẳng

định khá chắc chắn tính chất đó đúng Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp (O), vẽ các đường cao BE, CF Thế thì, ta luôn có AOEF với mọi cách vẽ tùy ý tam giác ABC

Kỹ thuật Hình học và năng lực phán đoán hình vẽ như là “đoạn thẳng bằng nhau”,

“góc bằng nhau”, “tứ giác nội tiếp”… là quan trọng trong giải một bài toán Hình học Tuy nhiên không nên quá quan trọng vào kỹ thuật giải bài mà nên chú tâm nhiều hơn vào cảm giác mô hình để, phán đoán tính chất, đây là mức độ cao và cần thiết khi học Hình học

Lời giải Hình học dài hay ngắn thì điều gì là hay, điều gì không hay? Phải nói rằng

một lời giải ngắn gọn, đẹp mắt thường được yêu thích, tuy nhiên rằng việc đó có giúp ta hiểu tốt hơn bài toán không lại là một điều khác Một lời giải dài, dùng qua nhiều tính chất quen thuộc hoặc có thể phát hiện tính chất mới cũng thực sự là điều đáng quý Vì vậy, lời giải dài hay ngắn, hay hoặc chưa hay thì phải xem xét lời giải thật kĩ với góc nhìn tích cực

Người học Hình học và người làm Hình học Một điều đáng chút ý là khi làm xong

một bài toán ta đúc kết được gì? Kết quả đó từ đâu ra? Vận dụng kết quả đó vào bài toán khác như thế nào? Mô hình, tính chất có trong đó quen thuộc hay là mới? Giải quyết một bài toán đơn lẻ theo tư duy, các suy luận ngược, xuôi, giả định xảy ra xem thu được kết quả gì, từ đó dẫn đến làm việc gì là điều quan trọng Nhưng sau đó hãy cố gắng tìm hiểu thật cẩn thận, cặn kẽ, tìm cội nguồn sâu xa của nó, liên kết nó tới các bài toán khác

Từ đó giúp ta hiểu sâu hơn, rộng hơn và tổng quan hơn về Hình học phẳng

A

O

Trên đây là một vài quan điểm Hình học của cá nhân tôi cũng như những kính nghiệm có được qua một thời gian tiếp cận và làm Hình học chuyên sâu Mong rằng những điều kể trên cùng với các kiến thức cơ bản và bài tập trong phần nội dung phía sau sẽ giúp ích tốt hơn cho bạn đọc Rất mong nhận được sự phản hồi tích cực từ bạn đọc, thân ái!

MỤC LỤC

I Giới thiệu về tam giác và đường tròn……… 3

II Giới thiệu về Góc trong đường tròn và các tính chất quen thuộc………… 7

III Một số tính chất cơ bản của hình học phẳng và các bài toán……… 10

1) Trực tâm và tính chất liên quan……… 10

2) Tâm nội tiếp, bàng tiếp và tính chất liên quan……… 15

3) Đối xứng trục và tính đối xứng (tương tự) của hình vẽ……… 23

4) Tiếp tuyến của đường tròn và sự liên hệ với tứ giác nội tiếp………… 30

5) Trung tuyến tam giác vuông……… 36

6) Mô hình Euler và sự kết nối của các bài toán……… 38

7) Kí hiệu, quy ước, tài liệu tham khảo 43

I Giới thiệu về tam giác và đường tròn cùng các tính chất cơ bản

1 Định lí Ta-lét trong tam giác Cho tam giác ABC Nếu BC B C|| ' ' thì ta có các tỉ lệ

thức sau đây xảy ra:

' ' (1)

2 Định lí Ta-lét đảo Nếu một trong các tỉ lệ thức (1), (2), (3) xảy ra thì B’C’||BC

3 Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Trường hợp 1 (cạnh- cạnh- cạnh) Cho hai tam giác ABC, A’B’C’;

Trường hợp 3 (góc-góc) Nếu AA B, B thì ABC A B C' ' '.

Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì: Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ

số đồng dạng, tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng, tỉ số hai đường

trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng, tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng, tỉ số

C' B'

A

B

C'

C B

A B'

A

A'

5 Tính chất tam giác vuông Trong tam giác ABC với M là một điểm trên cạnh BC Thế

thì, MA=MB=MC khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại A

6 Các hình cơ bản trong mặt phẳng

a) Hình thang- hình thang cân b) Hình bình hành

c) Hình chữ nhật d) Hình thoi e) Hình vuông

7 Đa giác và diện tích đa giác

a) Đa giác lồi là một đường gấp khúc khéo kín sao cho đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó Đa giác đều là đa

giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: S ab

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: 2

S a

Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao: 1( )

2

S a b h

Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S ah

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo: 1 2

1 2

S d d

8 Các điểm đặc biệt và đường đặc biệt trong tam giác

a) Đường trung tuyến và trọng tâm Các trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng

tâm G và ta có tính chất sau: AG=2GM, BG=2GN, CG=2GP hoặc là

2

AG  BG CG 

N M

A

M B

A

C

b) Đường cao và trực tâm Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại một điểm H và H

gọi là trực tâm của tam giác ABC

c) Đường trung trực và tâm đường tròn ngoại tiếp Ba đường trung trực của ba cạnh

BC, CA, AB cắt nhau tại một điểm O và điểm O gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC Tam giác ABC gọi là nội tiếp đường tròn (O)

d) Đường phân giác Cho tam giác ABC với phân giác trong là AD, phân giác ngoài là

AE củaBAC khi và chỉ khi DB AB EB.

e) Đường phân giác và tâm đường tròn nội tiếp Ba đường phân giác AD, BE, CF cắt

nhau tại một điểm I và I gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn (I) gọi là

đường tròn nội tiếp tam giác

9 Tính chất Hình học quen thuộc hay sử dụng

E

F

C B

A

N P

D

E F

I

C B

A

a) Tính đối xứng của trực tâm tam giác Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao

AI, BJ, CK cắt (O) tại M, N, P Thế thì

+ M, N, P đối xứng với H qua các cạnh, nghĩa là IH=IM, JH=JN, KH=KP

+ H là tâm nội tiếp tam giác IJK

b) Tính chất tâm nội tiếp Cho tam giác ABC nội tiếp (O), gọi I là tâm đường tròn nội

tiếp Đường thẳng AI cắt (O) tại M Khi đó MB=MC=MI

c) Đường thẳng Euler Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi G, H lần lượt là

trọng tâm và trực tâm và M là trung điểm của BC Thế thì,

+ AH=2OM

+ Ba điểm G, H, O thẳng hàng và GH=2GO Đường thẳng G-H-O gọi là đường thẳng

Euler

II Giới thiệu về Góc trong đường tròn và các tính chất quen thuộc

A) Đường tròn- Các loại góc của đường tròn

1) Góc ở tâm bằng hai góc nội tiếp cùng nhìn một cung: BOC2BAC

2) Hai góc nội tiếp cùng nhìn một cung thì bằng nhau BACBDC

I

J

K P

G H

3) Góc ở trong đường tròn bằng nửa tổng hai cung mà góc đó chắn:

7) Hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ở ngoài đường tròn thì bằng nhau

8) Đường thẳng nối tâm O và điểm M nằm trên dây cung AB Thế thì, OM ABM

là trung điểm của AB

9) Trong tam giác vuông đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền Do đó, tam giác vuôn luôn nội tiếp đường tròn với đường kính là cạnh huyền

10) Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC (hay còn nói là tam giác ABC nộ tiếp

đường tròn (O), thì O là giao ba đường trung trực của ba cạnh

P

M A

B

C D m

n

B O

M O

9 10

B) Tứ giác nội tiếp

1) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi tổng hai góc đối bằng 1800 ( 0

5) Định lí phương tích cho tứ giác nội tiếp Cho tứ giác ABCD, gọi I là giao điểm hai

đường chéo và J là giao điểm hai cạnh bên

a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA.IC=IB.ID

b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi JA.JD=JB.JC

B O

A

N P

A

B

C D

O A

C

J I

A

B

C D

Chứng minh a) Nếu ABCD nội tiếp thì IABIDC và AIBDIC, suy ra

  cùng với AIBDIC

suy ra AIB DICIABIDC nên ABCD nội tiếp

b) chứng minh tương tự

III Một số tính chất cơ bản của hình học phẳng và các bài toán

1 Trực tâm và tính chất liên quan

Tính chất 1.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) với H là trực tâm tam giác

ABC và A 1 , B 1 , C 1 là giao của AH, BH, CH với (O) Gọi M, N, P là giao của AO, BO, CO với đường tròn ngoại tiếp (O) D, E, F là chân đường cao đỉnh A, B, C và A’, B’, C’ là trung điểm của BC, CA, AB tương ứng Khi đó:

a) A 1 , B 1 , C 1 đối xứng với H qua các cạnh BC, CA, AB tương ứng và AB1 AC1;BC1 BA1

;CA CB (tính đối xứng của trực tâm)

b) M, N, P đối xứng với H qua trung điểm các cạnh BC, CA, AB

c) H là tâm nội tiếp tam giác DE F (DEF gọi là tam giác trực tâm của tam giác ABC)

d) AOEF BO; FD CO; DE

e) AO, BO, CO là các đường trung trực của tam giác A 1 B 1 C 1

f) Đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAB và (O) có bán kính bằng nhau và

chúng là ảnh đối xứng với (O) qua các trục đối xứng BC, CA, AB tương ứng

A1

A' O A

a) Tứ giác AFDC nội tiếp nên BAD BCH, hơn nữa BAD BCA1 nên suy ra

CH MB Do vậy tứ giác BHCM là hình bình hành nên HM cắt BC tại trung điểm A’ của

BC, nghĩa là M đối xứng với H qua trung điểm BC Trường hợp còn lại tương tự

c) Từ các tứ giác HFBD, HECD, BFCE nội tiếp ta có FDH  FBH  FCE EDH,

suy ra HD là phân giác góc FDE Tương tự HE là phân giác góc FED nên suy ra H là tâm nội tiếp tam giác DEF

     , hơn nữa tứ giác BFEC nội tiếp nên

e) Tứ giác BFCE nội tiếp nên ABE ACFAB1AC1OA là trung trực của B 1 C 1

Trường hợp còn lại tương tự nên suy ra AO, BO, CO là các trung trực của tam giác A 1 B 1 C 1

f) Từ tính chất a ta thấy hai tam giác HBC và A 1 BC đối xứng với nhau qua BC nên đường tròn ngoại tiếp của chúng đối xứng với nhau qua BC Hơn nữa (O) ngoại tiếp A 1 BC nên suy ra đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC và (O) có bán kính bằng nhau và chúng là ảnh đối xứng của nhau qua BC Trường hợp còn lại tương tự

g) Từ tính chất b ta suy ra OA’ là đường trung bình tam giác AHM nên ta có AH  2OA' Trường hợp còn lại tương tự

Bài toán 1.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt

nhau tại H ( với D, E, F nằm trên BC, CA, AB) Lấy các điểm M , N sao cho E, F là trung điểm của AM, AN

a) Chứng minh rằng HM=HN

b) Chứng minh nằm điểm B, H, C, M, N nằm trên một đường tròn

c) Gọi K là điểm đối xứng với O qua đường thẳng BC Chứng minh rằng KM=KN

Chứng minh

a) Vì EA=EM hơn nữa HE vuông góc với AM nên HE là trung trực của AM, AN tức là HA=HM Tương tự, HF là trung trực của AN nên HA=HN Do vậy, HM=HN

b) Vì HE là trung trực của AM nên HMCHAE (1) Mặt khác, 0

90

BEABDA nên tứ

giác BDEA nội tiếp Do đó, HCBHAE (2) (cùng chắn cung DE) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCM nội tiếp Tương tự, tứ giác BHCN nội tiếp Do đó 5 điểm B, H, C, M, N nằm

trên cùng một đường tròn

c) Dễ thấy BOCK là hình thoi Gọi T, S là giao của đường thẳng AH, OK với BC với (O) Thế thì, HOKT là hình thang Vì DH=DT, SO=SK nên OHTK là hình thoi, suy ra KB=KC=OB=KH, tức là K là tâm đường tròn ngoại tiếp BHC Kết hợp với ý b) ta được

điều phải chứng minh

Bài toán 1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với 0

90

BAC Các đường cao

BD, CE cắt nhau tại H, các tia BD, CE cắt (O) tại M, N tương ứng

a) Chứng minh rằng AM=AN

b) Chứng minh rằng MN=BC khi và chỉ khi 0

60

BAC

c) Gọi I là một điểm bất kì trên đường thẳng AB, đường thẳng IH cắt đường thẳng AC tại

J Gọi K là giao điểm của NI với MJ Tìm quỹ tích điểm K khi I di động trên đường thẳng

AB

Chứng minh

T

K D

N

M S

a) Theo tính đối xứng trực tâm EN=EH,

DM=DM nên suy ra AN=AH=AM

Bài toán 1.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AM cắt (O) tại F,

đường thẳng AO cắt BC tại N và cắt (O) tại G

a) Dễ thấy 0

90

AFG , suy ra BC||FG, nên

tứ giác BCGF là thang cân, suy ra

nội tiếp nên KBM KAM KCN; KAN

(2) Từ (1), (2) ta được KMNKNM 

KAMKAN

c) Ta có KABBCA (tiếp tuyến và dây), vì BAM NAC, do đó KAM KABBAM

   Kết hợp với K chung suy ra hai tam giác KAM, KNA đồng dạng, suy ra KA/KN=KM/KA, suy ra KA 2 =KM.KN

Nhận xét Các bài toán trên xoay quanh tính chất đối xứng, góc liên hợp tại trực tâm Ta

hoàn toàn có thể khai thác nhiều bài toán khác từ tính chất cơ sở số 1

Bài toán 1.4 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H và

AB<AC Đường thẳng AH cắt lại (O) ở D Gọi P, Q là điểm đối xứng với D qua AB, AC Các đường thẳng AP, AQ cắt lại (O) ở M, N

a) Chứng minh rằng C, H, M thẳng hàng; B, H, N thẳng hàng

b) Chứng minh rằng H, P, Q thẳng hàng

c) Chứng minh rằng BM=BP, CN=CQ

d) Chứng minh rằng PQOA

e) Gọi K là giao của BP với CQ Chứng minh rằng K nằm trên đường tròn (O)

Chứng minh a) Gọi I là giao AH với BC và J là giao của DP với AB, thế thì

F

O A

b) Cách 1 Gọi L là giao của DQ với AC Vì IJ, JL là đường trung bình các tam giác DPH, DQH nên HP||IJ, HQ||IL Dễ thấy DJBI, DCLI nội tiếp nên

Bài toán 1.5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có góc A nhọn Gọi H là trực tâm

tam giác ABC, lấy một điểm M cố định trên đường tròn (BHC) và nằm trong tam giác ABC sao cho M không trùng với B, C, H Gọi E, F, N lần lượt là điểm đối xứng với M qua

AB, AC, BC Chứng minh rằng tứ giác AENF nội tiếp

Gọi D là điểm đối xứng của H qua BC, theo tính chất đối xứng 1.1.a) thì D nằm trên (O)

Do đó đường tròn (BHC) đối xứng với (DBC) ( )O qua BC Vì M thuộc (BHC) nên N nằm trên (O) Theo tính chất đối xứng thì BE=BM=BN nên B là tâm đường tròn (ENM),

AMBAMCBMCBAC Dễ thấy BMCBHC 0

180 BAC EAF; 2BAC

   nên suy ra ,

ENF  BAC EAF Do đó, Tứ giác AENF nội tiếp

2 Tâm nội tiếp, bàng tiếp và tính chất liên quan

Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I) và 3 đường tròn bàng tiếp (I A), (I B), (I C)

tương ứng với các đỉnh A, B, C Kí hiệu các cạnh BCa CA, b , ABc và nửa chu vi tam giác là

Tính chất 2.1: Gọi D, E, F là tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh BC, CA, AB

tương ứng và M, P, Q là tiếp điểm của đường tròn (I A) với BC, AB, AC Thế thì

a) Côn thức các đoạn tiếp tuyến đường tròn nội tiếp

290

2

A BIC

B CIA

C AIB

I A I A

Tính chất 2.3 Gọi M là giao của AI với đường tròn ngoại tiếp (O) của tam giác ABC

Thế thì, MB=MC=MI Hơn nữa, giao điểm của AI với đường tròn tâm M bán kính MI

I B I C là các phân giác ngoài của góc B, C, nghĩa là I A là tâm bàng tiếp góc A

Tính chất 2.4 Góc vuông sinh ra từ tâm nội tiếp và tâm bàng tiếp

a) Giả sử rằng phân giác BI cắt EF tại M Thế thì, 0

90

BMC

b) Giả sử đường tròn bàng tiếp (I A) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, Q, P Gọi S

là giao điểm của MP với I C A Thế thì,

I

I A M

O A

B

C

M E

F

D

I

C B

A

S

P

Q M

I A

C B

A

ABAC Các đường phân giác góc trong của góc A, B cắt đường tròn tương ứng tại M,

E Gọi I là giao điểm của AM, BE

M

O

C A

a) Đây là tính chất 2.3

b) Từ ý a) ta có EA=EI, FA=FI nên EF

là trung trực của AI suy ra AI PQ Hơn nữa, AI là phân giác góc PAQ nên

suy ra AI là trung trực của PQ Do đó, MP=MQ

c) Cách 1 Ta có 0 0

2

A BIC   (theo tính chất 2.2) và

BOCBIC , suy ra BIOC nội tiếp Hơn nữa, dễ thấy BOCK nội tiếp, tức là 5 điểm B, I,

O, C, K cùng nằm trên đường tròn, tức là BICK nội tiếp

Bài toán 2.2 Cho tam giác ABC vuông tại A, không cân và nội tiếp đường tròn (O) Các

đường phân giác góc B, C cắt nhau tại I Kẻ ID, IE, IF vuông góc với AB, BC, CA

Đường thẳng AI cắt lại (O) tại M

a) Chứng minh rằng MD=MF

b) Chứng minh rằng góc DEF có số đo không đổi khi A di chuyển trên (O)

c) Giả sử góc B=600 Đường thẳng qua I vuông góc với AI cắt BC tại N Chứng minh rằng IM=IN

Chứng minh

Q P

B

a) I là tâm nội tiếp nên AI là phân giác góc A Dễ thấy tứ giác IDAF là hình vuông nên

IA là trung trực của DE, suy ra AM là trung trực của DE

b) Dễ thấy các tứ giác IDBE, IFCE nội tiếp Nên góc DEF DEIIEF DBIDCI

IMCABC nên

tam giác IMC đều Do đó, IM=IC (1) Vì 0 0

BIK  BNI IBCBIN

Bài toán 2.3 Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn

(I) tiếp xúc với AB, AC tại F, E Gọi M là giao của BI với EF

B

Nhận xét Mô hình này có thể sử dụng để làm bài toán sau đây

Bài 2.3.1 (HSG- Lớp 9- Lạng Sơn 2014-2015) Cho góc xOy có số đo bằng 60o Đường

tròn có tâm K tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N Trên tia Ox lấy điểm

P thỏa mãn OP = 3OM Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F a) Chứng minh hai tam giác MPE và KPQ đồng dạng với nhau

b) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp

c) Gọi D là trung điểm của đoạn PQ Chứng minh tam giác DEF đều

Chứng minh Bạn đọc tự giải dựa vào bài toán 2.3 ở trước

Bài toán 2.4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác góc A cắt BC tại D và

cắt (O) tại M Lấy các điểm P, Q trên đường thẳng AB, AC sao cho MB=MP, MC=MQ Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

I A

B

C

a) Theo tính chất quen thuộc 2.3 thì MB=MC=MI Do đó, MP=MQ=MI, nên MP+MQ=2MI

b) Nối DP, DQ, ta có 1  

2

BPM PBM  ACM  sd ABBM  1  

2sd AB CM ADB0

180

BPMBDM  tức là tứ giác BDMP nội tiếp Tương tự, CMDQ

nội tiếp Dễ thấy, MBP MCQ nên BMPCMQ, suy ra BDPBMPCMQCDQ

, vậy P, D, Q thẳng hàng theo tính chất góc đối đỉnh

c) Vì MB=MQ, MC=MP và AM là phân giác góc A nên P, B đối xứng với C, Q qua AJ

Bạn đọc có thể chứng minh bài toán tương tự như sau:

Bài 2.4.1 Cho tam giác ABC, AB<AC, gọi I là tâm nội tiếp tam giác và (O) là đường tròn

ngoại tiếp tam giác Đường thẳng AI cắt (O) tại M Đường tròn (BIC) cắt AB, AC tại điểm thứ hai là P, Q

a) Chứng minh rằng BP=CQ

b) Gọi J là giao của AI với đường tròn (BIC) Gọi T là giao của IQ với JP Chứng minh rằng AT vuông góc với AJ

Bài toán 2.5 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) với AB<AC và có tâm

đường tròn nội tiếp là I Đường thẳng qua I vuông góc với AI cắt đường thẳng BC tại M Gọi N là giao điểm của AM với (O)

b) Gọi K là giao của AI với (O) và P là giao của MK với (O) Chứng minh rằng PI luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O)

Chứng minh

a) Ta có 0

90 2

C AIB  suy ra

2

C MIB ICB Do đó, MIB MCI MI MB

b) Tương tự ý a), ta có MP.MK=MI 2, do đó IPMK , tức là góc IPK vuông, do vậy gọi

S là giao của IP với (O) thì KS là đường kính, hơn nữa điểm K là trung điểm cung nhỏ

BC là cố định nên suy ra S cố định (S là trung điểm cung lớn BC)

Bài toán 2.6 Cho tam giác ABC vuông ở A và nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn nội

tiếp tâm I của tam giác tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F Gọi N, P là giao của BI, CI với (O)

a) Chứng minh rằng N, E, F, P nằm trên một đường thẳng

b) Chứng minh rằng DONP nội tiếp

c) Lấy điểm X, Y ở trên các đoạn DB, DC sao cho DX=DY=DI Chứng minh rằng

I S

K

O A

a) Dễ thấy O là trung điểm của BC và IEAF là hình vuông Theo tính chất 2.3 thì NA=NI, PA=PI nên NP là trung trực của IA, nên EF trùng với NP

PKN  sd PN , vậy K nằm trên đường tròn (O)

3 Đối xứng trục và tính đối xứng (tương tự) của hình vẽ

Sự tồn tại đối xứng trục Trên mặt phẳng, cho một đường thẳng d Mỗi điểm M luôn

tồn tại điểm M’ sao cho MM’ cắt d tại I thỏa mãn điều kiện '

N

P

O F

Định lí 3.1 Cho hai điểm M, M’ Nếu hai điểm A, B thỏa mãn AM=AM’, BM=BM’ thì

AB là trung trực của đoạn MM’

Tính chất 3.1 Mọi điểm I nằm trên d ta có IM’=IM’

Tính chất 3.2 Nếu M’, N’ đối xứng với M, N qua d thì tứ giác tạo bởi bốn điểm M, N,

M’, N’ là hình thang cân

Chứng minh Xét trường hợp hình vẽ như trên Gọi I, J là giao điểm của MM, NN’ với

d Ta có IN=IN’ và NIJ N IJ' suy ra MIN M IN' ' Do đó MIN M I N' ' ' (c.g.c),

suy ra MN=M’N’ Hơn nữa, MM’||NN’ nên tứ giác tạo bởi bốn điểm M, N, M’, N’ là

hình thang cân Trường hợp hình vẽ còn lại tương tự

Tính chất 3.3 Nếu A’B’C’ là tam giác đối xứng với tam giác ABC qua d thì trọng tâm

(trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp…) của tam giác ABC đối xứng với trọng tâm (trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp…) của tam giác A’B’C’ qua d

Tính chất 3.4 Qua đối xứng trục, các góc, đoạn thẳng, tỉ số… được boản tồn, nghĩa là

biến góc thành góc bằng nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, giữ nguyên tỉ số của hai đoạn thẳng…

Sau đây trình bày với bạn đọc 3 bài toán kinh điển 3.1; 3.2; 3.3 đã từng được gặp như sau:

Bài toán 3.1 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cố định nằm cùng phía với d Khi đó,

vị trí M trên d thỏa mãn MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B với d, trong đó A’ là điểm đối xứng với A qua d

N

Gọi A’ là ảnh của A qua trục đối xứng d Gọi M 0 là giao của A’B với d Khi đó, dễ thấy

là giao của A’A’’ với Ox, Oy, trong đó A’, A’’ là ảnh của A qua hai trục đối xứng Ox, Oy

Chứng minh Theo tính chất của phép đối xứng trục thì AB=A’B, AC=A’C Do vậy,

được ABC như sau P ABC  ABACBCA B' BC CA ' A A' '' (đường gấp khúc không

nhỏ hơn đường thẳng) Hơn nữa, vì A cố định nên A’A’’ không đổi, do đó chu vi ABC nhỏ nhất bằng A’A’’, dấu bằng xảy ra khi BB C0, C0

Bài toán 3.3 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, lấy các điểm D, E, F bất kì trên các

cạnh BC, CA, AB Tìm vị trí tam giác DEF có chu vi nhỏ nhất

C

K H

N

M

D A

Chứng minh Gọi M, N là ảnh đối xứng của D qua AB, AC Thế thì, FD=MF và BE=EN

Do đó P DEF DEEFFDMFEFFNMN Mặt khác, tam giác AMN cân tại A và

2

   , kẻ đường cao AH của tam giác AMN ta có MN 2HM 

2AM.sin MAH

2AD.sin BAC 2.AK.sin BAC

    , trong đó AK là hình chiếu của A lên BC Do đó, P DEF 

2AK.sin BAC , dấu bằng xảy ra khi D là chân đường cao và E, F là giao của MN với AC,

AB Khi dấu bằng xảy ra, ta có AD=AM=AN nên A là tâm đường tròn ngoại tiếp DMN,

90 2

    , tương tự ta có BEAC Vậy tam giác DEF có diện tích nhỏ

nhất là tam giác tạo bởi ba chân đường cao củaABC

Nhận xét Bài toán vẫn đúng nếu tam giác ABC có góc tù, khi đó D, E, F nằm trên phân

kéo dài các cạnh

Bài toán 3.4 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Một điểm D bất kì nằm

trên BC Gọi M, N là ảnh đối xứng của D qua AB, AC và P, Q lần lượt là giao của AB, AC với đường thẳng MN

a) Chứng minh AD là phân giác góc PQD

b) Tìm vị trí của D trên BC để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất

Chứng minh a) Theo tính chất phép đối xứng thìADP AMP ADQ; ANQ, hơn nữa

AM=AN=AD nên tam giác AMN cân ở A, suy raAMP ANQ, do đó suy ra

.cos sin cos

AN A A A AN , do đó diện tích nhỏ nhất khi AN=AD nhỏ nhất, điều này xảy ra khi AD là đường cao tam giác ABC

Nhận xét Kiểu mô hình đối xứng qua 2 cạnh là kiểu hay được tìm hiểu, tương tự điều

đó trong bài toán thi HSG sau đây cùng nhiều bài ở phía sau ta sẽ được gặp

Bài toán 3.4.1 (HSG- Lớp 9- Lạng Sơn 2013-2014) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp

đường tròn tâm O bán kính R=2 Biết 0

N

M

D B

P

b) Ta có AM=AN=AP  AMN cân tại A Lại có 0

MAN BAPPAC  Nhận thấy

MN là cạnh đáy của tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi Do đó MN lớn nhất khi cạnh

bên AM lớn nhất Mà AM AP 2R Nên MaxAM  2R khi P đối xứng với A qua O Khi

đó B, C lần lượt là trung điểm MP, PNBC là đường trung bình của PMN

Bài toán 3.5 Cho hình vuông ABCD cạnh a với điểm M cố định trên cạnh AB Các điểm

N, P, Q di động và nằm trên các đoạn thẳng BC, CD, DA Tìm tứ giác MNPQ có chu vi

nhỏ nhất

Chứng minh Gọi X, Y là ảnh đối xứng của M qua các trục AD, BC và T là ảnh đối xứng

của X qua CD Gọi Z là giao của CD kéo dài với XT Áp dụng bài toán 3.1, ta có

;

MQ QP PX

(1).

MNNPPYMQ QP MNNPPXPY

Ta chỉ ra TY cắt CD ở trên đoạn CD Thật vậy, ta gọi P 0 là giao của TY với CD kéo dài,

ZP 0 là đường trung bình của ZXY nên 0 1 1.2

Bài toán 3.6 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), AB<AC Tiếp tuyến tại B,

C cắt nhau tại D Gọi E là điểm đối xứng với D qua đường thẳng AB và F là điểm đối xứng với D qua đường thẳng AC

T

Y X

C

B D

A M P