SKKN gợi ĐỘNG cơ CHO VIỆC HÌNH THÀNH ĐỊNH lý và ĐỊNH HƯỚNG GIẢI một số bài tập ở CHƯƠNG 2, 3 HÌNH học lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GỢI ĐỘNG CƠ CHO VIỆC HÌNH THÀNH ĐỊNH LÝ VÀ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP Ở CHƯƠNG II, III .HÌNH HỌC LỚP 11 N

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GỢI ĐỘNG CƠ CHO VIỆC

HÌNH THÀNH ĐỊNH LÝ VÀ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI

MỘT SỐ BÀI TẬP Ở CHƯƠNG II, III HÌNH HỌC

LỚP 11

Người thực hiện: Cao Tú Cường

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2014

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và độc lập suy nghĩ của học sinh, đòi hỏi học sinh chủ động trong quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức dưới sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên Vì vậy, việc giáo dục Toán học ở trường THPT đặt ra yêu cầu đối với người học phải có nền tảng tri thức cơ bản vững vàng, nâng cao khả năng ứng dụng, vận dụng vào học tập

và đời sống Dù khai thác theo định hướng nào, đều có quan điểm chung trên tinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy theo Lý thuyết kiến tạo, tức là: học sinh phải huy động kiến thức, tập trung suy nghĩ, độc lập sáng tạo để giải quyết vấn đề dưới sự hướng dẫn, gợi động cơ của giáo viên

Ở những lớp dưới, thầy giáo thường dùng những cách như: cho điểm,

khen chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình… để gợi động cơ Càng lên lớp cao, cùng với sự trưởng thành của học sinh, với trình độ nhận thức và giác ngộ chính trị ngày càng được nâng cao, những cách gợi động cơ xuất phát từ nội dung hướng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, trách nhiệm đối với xã hội ngày càng trở nên quan trọng

Việc phát triển tư duy Hình học luôn gắn với khả năng phát triển trí tưởng tượng không gian, phát triển tư duy Hình học luôn gắn với việc phát triển của phương pháp suy luận; việc phát triển tư duy Hình học sẽ kéo theo sự phát triển tư duy Đại số Như vậy, dạy học Hình học không gian cần phải được chú trọng

Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của SKKN là:

“Gợi động cơ cho việc hình thành định lý và định hướng giải một số bài tập ở chương II, III Hình học lớp 11”

2 NỘI DUNG

2

2 1 Cơ sở lí luận

Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi bắt đầu dạy một tri thức nào đó mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì thế có thể phân biệt gợi động

cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc

Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt

động và của đối tượng hoạt động Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu

sư phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ

là sự an bài, đặt vấn đề một cách hình thức

Các hoạt động gợi động cơ hình thành định lý và giải bài tập Toán Từ

các khái niệm, định lý cơ bản đã học giúp học sinh xây dựng các quy trình giải bài toán Hình học không gian điển hình

2 2 Thực trạng của vấn đề

Trong việc học tập môn hình học không gian đa số học sinh thường cho

là khó hiểu và khó tiếp cận, vì hình học không gian lớp 11 được triển khai bằng phương pháp tiên đề

Trên cơ sở bám sát vào chương trình và sách giáo khoa Hình học 11 hiện hành nếu người thầy giáo biết quan tâm, khai thác và vận dụng phương pháp phù hợp trong dạy học hình thành định lý và giải bài tập Toán thì sẽ tổ chức tốt hoạt động nhận thức cho học sinh và từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trường THPT

2 3 Giải pháp thực hiện

a) Gợi động cơ cho việc hình thành định lý:

Đối với việc dạy học định lý Toán học, người ta phân biệt hai con đường: con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn Hai con đường này

được minh họa bằng sơ đồ sau:

Con đường có khâu suy đoán Con đường suy diễn

3

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí Suy diễn định lý

Chứng minh định lí Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề dặt ra

Củng cố định lí

Qua sơ đồ trên cho thấy, dù đi theo con đường nào chúng ta cũng phải

chú ý tới bước gợi động cơ cho việc hình thành định lý Việc gợi động cơ cho việc hình thành định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học [1, tr.383]

Dưới đây chúng ta xét cụ thể một số ví dụ thông qua dạy học các định lý

về hai đường thẳng chéo nhau quan hệ vuông góc:

Ví dụ 1: Gợi động cơ cho việc hình thành định lý đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

"Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một

đường thẳng

∆

cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy Đường

thẳng

∆

đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b" [2, tr.80].

Để dạy học định lý này, đầu tiên chúng ta có thể gợi động cơ cho học sinh như sau:

- Hai đường thẳng song song luôn luôn

có đường vuông góc chung

• Xét mô hình hình lập phương

ABCD.A'BCD'

4

A'

B'

C'

D'

B

A

D

C

Hình 1.1

b

∆

a

Nếu ta xem a là đường thẳng đi qua B', C',

b là đường thẳng đi qua A', A Khi đó đường

thẳng ∆ đi qua A', B' cắt và vuông góc với cả hai

đường thẳng a, b tại A' và B' (hình 1.1)

• Xét ba đường thẳng x, y, z đôi một

vuông góc và cắt nhau tại O Tìm các đường

thẳng đó lần lượt lấy các điểm A, B, C khác O

Khi đó các đường thẳng AB và z chéo nhau

Hãy dựng một đường thẳng cắt và vuông góc

với hai đường thẳng chéo nhau nói trên? Đó

chính là đường thẳng d qua O và d vuông góc

AB(hình 1.2)

• Xét mô hình trực quan mô tả hai đường chéo bất kỳ: đường thẳng thứ

ba cắt và vuông góc làm bằng các thanh thép (hoặc nhôm) được hàn kết với nhau

Từ các trường hợp riêng hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau và xét mô hình trực quan để học sinh phát biểu mệnh đề tổng quát về

sự tồn tại và duy nhất đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau

Ví dụ 2: Xét định lý mở đầu về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

"Nếu đường thẳng

vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm

trong mặt phẳng (P) thì

∆

vuông góc với mọi đường thẳng c nằm trong mặt phẳng

(P)" [2, tr.59]

Tạo tình huống: Chúng ta có thể dùng các mô hình (có thể làm bằng tấm bìa nhỏ và các dây thép nhỏ) và gợi ý cho học sinh như sau:

Vật liệu: Hai thanh thép (hoặc nhôm) mảnh, thẳng được hàn kết với nhau

ở giữa và tạo lỗ thủng để có thể cắm vừa vào thanh thép thứ ba vuông góc với hai thanh nói trên; chúng mô tả các đường thẳng a, b cắt nhau và đường thẳng thứ ba vuông góc với hai đường thẳng kia

5

C

O

d

y

x

z

A

Hình 1.2

B

Hệ thống các thanh thép được đặt

trên tấm ván gỗ mỏng tượng trưng cho

phần mặt phẳng (P) Hai đường thẳng a,

b được mô tả bởi hai thanh thép a, b

nằm sát trên tấm ván và đường thẳng

thứ ba xuyên qua hai thanh thép a, b và

đồng thời xuyên qua tấm gỗ được giữ

chặt Khi đó xét đường thẳng c bất kỳ đặt

nằm trên tấm ván và cho học sinh nhận

xét độ lớn các góc:

+ Góc giữa c và ∆', cũng là góc (c, ∆) khi c // a

+ Góc giữa c và ∆' khi c // b

+ Góc giữa c và ∆' khi c không song song với a và b

Trong trường hợp cuối, học sinh có thể kết luận góc (c, ∆') bằng bao

nhiêu, giáo viên hướng dẫn đặt đầu thanh thép sát và vị trí giao của hai thanh

a, b nằm trên mặt phẳng (P) sao cho c' // c Học sinh trực giác phán đoán độ lớn góc (c', ∆') bằng 90

o

Từ việc xem xét trên, giáo viên cho học sinh phán đoán mệnh đề về góc giữa đường thẳng c bất kỳ thuộc (P) và đường thẳng ∆', có nghĩa là góc giữa c

và ∆: "Nếu đường thẳng

∆

vuông góc với hai đường cắt nhau a, b thuộc mặt

phẳng (P) thì

∆

vuông góc với mọi đường thẳng c thuộc (P)"

Ví dụ 3: Gợi động cơ phát hiện định lý: "Nếu mặt phẳng (

α

) chứa hai

đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng (

β

) cho trước thì mặt phẳng (

α

) và (

β

) song song với nhau" [2, tr.33]

Tạo tình huống: Hình lập phương ABCD.A

1

B

1

C

1

D

1

(hình 1.4a) làm bằng

bìa hoặc gỗ mỏng được cắt thành hai nửa ((hình 1.4b) và (hình 1.4c)) và chúng có thể gắn kết lại bằng những nam châm mỏng

Giáo viên cho học sinh quan sát (hình 1.4a) và nhận xét mặt phẳng

(ABCD) song song với mặt phẳng (A

1

B

1

C

1

D

1

) Cho học sinh nhận xét tiếp các

6

∆

a

c

c'

bO

P

Hình 1.3

cặp đường thẳng (AB, AD); (BA, BC); (CB, CD) đều có tính chất cắt nhau và song song với mặt phẳng (A

1

B

1

C

1

D

1

) Giáo viên đặt câu hỏi cho học sinh:

"Cần bao nhiêu cặp đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A

1

B

1

C

1

D

1

)?"

"Hãy quan sát hai hình được cắt ra: ở (hình 1.4b) chỉ có hai đường BA', BC'

cắt nhau song song với mặt phẳng (B

1

C'

1

A'

1

) và (hình 1.9c) chỉ có cặp

đường thẳng (DA", DC") mỗi đường song song với mặt phẳng (A"

1

C"

D

1

) Tuy

nhiên vẫn giữ nguyên các cặp mặt phẳng (A

1

BC

1

); (A'

1

B

1

C'

1

) song song với

nhau và (DA"C"), (D

1

A"

1

C"

1

) song song với nhau"

Từ các tình huống trên đề xuất học sinh phát biểu điều kiện để mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nhằm phát hiện định lý

b) Gợi động cơ định hướng giải bài tập:

Trong quá trình dạy học tìm phương pháp chung giải toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải Việc gợi động cơ định hướng giải các bài tập Toán thường được xảy ra thông qua việc sử dụng các quy trình giải các dạng toán điển hình hoặc sử dụng các bài tập gốc Thông qua các quy trình hoặc các bài tập gốc, giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán theo quy trình hoặc tương tự bài tập gốc

Sau đây là một bản gợi ý về căn bản dựa theo Polya được tác giả

Nguyễn Bá Kim đề cập trong "Phương pháp dạy học môn Toán", chúng ta có thể áp dụng các bước 1, 2 để gợi động cơ định hướng giải bài tập

7

a)

A

D

D

1

B

B

1

A

1

C

1

Hình 1.4

B

B

1

C'

1

C'

A'

D

A"

C"

1

C"

A"

1

A'

1

D

1

b) c)

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

* Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thoả mãn các điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

* Hãy vẽ hình Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp

* Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công chức hay không?

Bước 2: Tìm cách giải

* Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơn khác?

* Hãy xét kỹ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự?

* Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng một định lý nào đó không?

* Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử

dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp giải bài toán đó Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng được bài toán đó hay không?

* Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khác

nữa? Quay về những định nghĩa

* Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán

có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay

không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìm được xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không? 8

* Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện hay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

* Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi

bước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?

* Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp

ngay kết quả không?

* Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lời giải ngắn gọn và hợp lý nhất [1, tr.420-422]

Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng cần quan tâm cho học sinh biết kiến thức nào là cơ sở và kiến thức nào có thể để học sinh tự học hoặc tự suy luận được trên cơ sở kiến thức đã được lựa chọn truyền thụ cho học sinh Hoặc giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh xây dựng các bài toán gốc để củng cố các khái niệm, định lý Hệ thống bài tập gốc đóng vai trò hết sức quan trọng và ngoài chức năng củng cố kiến thức cho học sinh, hệ thống bài tập gốc còn góp phần định hướng tìm tòi lời giải cho các dạng toán, nhất là các dạng toán có quy trình giải Việc thực hiện quy trình trong dạy học toán không những hướng cho học sinh tới tư tưởng thuật toán mà còn tạo điều kiện cho

sử dụng mềm mại, uyển chuyển các phương pháp dạy học khác nhau, dựa vào những kiến thức cần truyền đạt để dạy học sinh tưởng tượng, phát triển trực giác Toán học, giúp học sinh phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo Chúng

ta hãy xét các ví dụ sau:

Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD thuộc mặt phẳng (P) Gọi S là điểm

không thuộc mặt phẳng (P) Các điểm M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB

và SD Xác định giao tuyến của các mặt phẳng

a) (SMN) và (P)

b) (SMN) và (SAC)

Giáo viên gợi động cơ định hướng tìm lời giải bài toán trên bằng các câu hỏi sau:

9

- Cho hai mặt phẳng (α) và (β) tìm giao tuyến hai mặt phẳng đó ta phải

làm như thế nào?

+ Ta phải tìm ra hai điểm chung A, B của 2 mặt phẳng đó Vì A, B ∈ (α) nên theo tiên đề hai của mặt phẳng thì mọi điểm trên đường thẳng AB đều thuộc mặt phẳng (α) Tương tự với A, B ∈ (β) Vậy giao tuyến của (α) và (β) là đường thẳng AB

- Hãy vận dụng quy trình trên để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN)

và (P)?

a) Hãy tìm hai điểm chung của (SMN) và (P)?

D ∈ SN ∈ (SMN) ⇒ D ∈ (SMN) (1)

D ∈ (P) (2)

Từ (1) (2) ta có D là điểm chung thứ nhất

Lại có M ∈ AB ∈ (P)

M ∈ (SMN)

Vậy M là điểm chung thứ 2

Giao tuyến cần tìm là đường thẳng DM

b) - Hãy tìm giao tuyến của (SMN) và (SAC)?

- Hãy xác định 2 điểm chung của hai mặt phẳng đó?

S là điểm chung thứ nhất Ta tìm điểm chung thứ hai

- Nhận xét gì về hai mặt phẳng (SMN) và (SMD)?

Hai mặt phẳng đó trùng nhau vì D ∈ SN

- Vậy việc tìm giao tuyến của (SMN) với (SAC) có thể quy về tìm giao

tuyến của (SMD) và (SAC) Tìm giao tuyến đó?

Gọi O là giao điểm của MD và AC Ta có:

O ∈ MD ∈ (SMD)

O ∈ AC ∈ (SAC)

⇒ D là điểm chung thứ hai cần tìm

10

⇒ O ∈ cả hai mặt phẳng (SMD) và (SAC)

S

N

D

A

M

B

C

Hình 2.1

Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SMN) và (SAC) là SO (hình 2.10)

Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' =

c Tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng BB' và AC' [3, tr.86]

Giáo viên có thể hướng đích gợi

động cơ cho học sinh giải các bài tập

trên bằng câu hỏi sau: "Để tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a

và b ta phải làm như thế nào?"

Học sinh có thể dựa vào bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau: "Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Một mặt phẳng (P) chứa

b và song song với a Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng a,

b bằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)" để lập quy trình giải bài toán này như sau:

Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a

Bước 2: Trên a chọn một điểm M sao cho hình chiếu của A xuống mặt phẳng (P) là H dễ dàng xác định được

Bước 3: Gắn MH vào trong một "hình" nào đó để thuận lợi cho việc tính

độ dài đoạn MH

Học sinh vận dụng quy trình trên vào giải ví dụ thông qua việc trả lời các câu hỏi sau:

• Xác định mặt phẳng (P) chứa BB' và song song với AC' hoặc ngược lại chứa AC' song song với BB'?

Vì BB' // AA'

BB' // CC' ⇒

AC' ⊂ (ACC')

11

mặt phẳng (ACC') chứa AC' và

(ACC') song song với BB'

A'

D'

C'

B'

A

B

C

D