(MẪN NGỌC QUANG) 38 câu hình học không gian

 8 Đáp án B Phương pháp: Hình chóp S.MNPQ có diện tích đáy MNPQ bằng một phần tư diện tích đáy ABCD và chiều cao bằng một nửa chiều cao hình chóp S.ABCD nên có thể tích bằng một phần tá

Câu 1 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 16 Gọi

M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S.MNPQ

A.V S MNPQ  1

B.V S MNPQ  2

C.V S MNPQ  4

D.V S MNPQ  8

Đáp án B

Phương pháp: Hình chóp S.MNPQ có diện tích đáy MNPQ bằng một phần tư diện tích đáy ABCD và chiều cao bằng một nửa chiều cao hình chóp S.ABCD nên có thể tích bằng một phần tám thể tích S.ABCD

Vậy thể tích S.MNPQ bằng 2

Câu 2: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cắt một

khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối (H)

như hình vẽ bên Biết rằng thiết diện là một hình

elip có độ dài trục lớn bằng 10, khoảng cách từ một

điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm

thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt

là 8 và 14 (xem hình vẽ) Tính thể tích của hình

(H)

A.V H 176

B.V H 275

C.V H  192 

D.V H  740 

Đáp án A

Phương pháp: Thể tích khối (H) bằng thể tích hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy hình trụ ban đầu, chiều cao bằng trung bình cộng của 8 và 14

Cách giải Khối (H) có thể tích bằng thể tích hình trụ chiều cao 11 và bán kính đáy

2 2

1

10 6 4

nên  

2 4 11 176

H

Câu 3 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, AB a BAD ,� 600 SOABCD và mặt phẳng (SCD) tạo với mặt đáy một góc

600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A

3

3 12



S ABCD

a V

B

3

3 24

S ABCD

a

C.

3

3 8

S ABCD

a

D

3

3 48



S ABCD

a V

:Đáp án C

Gọi M là trung điểm CD, OH CD tại H

Có BCD đều cạnh a nên BM CD

Góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc SHO600

3 3 3

 BCD  ABCD BCD

0

; tan 60

3

.

.

S ABCD ABCD

a

Câu 4 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho một mặt cầu bán kính bằng 1 Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?

A.minV 4 3 B.minV 8 3 C.minV 9 3 D.minV 16 3

Đáp án B

Phương pháp: Trong các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu, hình tứ diện đều

có thể tích nhỏ nhất

Cách giải: Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh a

Bán kính mặt cầu nội tiếp

6

12

a  � 

Thể tích tứ diện đều đó là

3 2

8 3 12

a 

V

Câu 5 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho hình chóp

S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân,

  ,

vuông góc với SB cắt SA SB , lần lượt tại E, F Tính

thể tích khối chóp S.CEF

A

3

EF

2 36



S C

a V

B.

3 EF  36

S C

a V

C

3 EF

18



S C

a

V

D

3

EF

2 12



S C

a V

Đáp án B

Ta chứng minh được CEF vuông tại E và SF CEF.

Ta có: BC AB2AC2 a 2;SB SC2BC2 a 3

CBS vuông tại C có CF SB nên

;

3 3

CSA vuông cân tại C nên

2

 SAa

EC ES

CEF vuông tại E nên 2 2

6 6

Suy ra

3

S CEF CEF

a

Câu 6 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Gọi (H)

là phần giao nhau của hai khối một phần tư hình trụ

có bán kính bằng a (xem hình vẽ bên) Tính thể

tích của (H)

A  

3

2



H

a

V

B.  

3 2 3



H

a V

C  

3 3

4



H

a

V

D  

3 2



H

a

Đáp án B

Thể tích của khối (H) được chia thành thể tích của rất

nhiều lát mỏng hình vuông song song với hình vuông

đáy của (H)

Lát mỏng hình vuông có độ cao x thì có cạnh là a2x2

do đó có diện tích là a2x2

Lấy tổng tất cả thể tích của những “lát mỏng” này ta được thể tích hình (H):

0

2 0

H

a

Câu 7 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có

AB a AD a và AA' 3  a Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’

A

3

2

a

B

14 2

a

C

6 2

a

D

3 4

a

Đáp án B

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ACB’D’ chính là

mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’: OC bằng

1 '

2AC

Ta có: AC' AC2AA'2  AC2CB2AA'2

 2  2

 a a  a a

Suy ra

14 2

a

OC

Câu 8: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho hình chóp S.ABC có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600, đáy ABC là tam giác vuông cân

tại B với BA BC a  Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC Tính thể tích khối đa diện AMNBC?

A

3 3 4

a

B

3 3 6

a

C

3 3 24

a

D

3 3 8

a

Đáp án D

Do có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy nên SA vuông góc với đáy

Góc SBA� chính là góc của SB tạo với mặt đáy và bằng 600

Xét tam giác SBA: SA AB .tan 600 3a

Thể tích hình chóp S.ABC:

3

Xét tỉ lệ:

1 1 1

2 2 4

SAMN SABC

Suy ra

.

AMNBC SABC

Câu 9 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt là (O); (O’) Biết thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tròn (O’) là a3, tính thể tích khối trụ đã cho ?

Đáp án D

công thức tính thể tích khối nón:

33 1

1 3

Công thức tính thể tích khối trụ: V hs3a3

Câu 10: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C với CA CB a SA a  ;  3; SB a 5 và SC a 2 Tính bán kính R của

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC?

A

11

6

a

B

11 2

a

C

11 3

a

D

11 4

a

Đáp án B

- Ta sẽ dùng phương pháp đánh giá đáp án

- Dựng hình như hình vẽ, J là tâm khối cầu

ngoại tiếp hình chóp

-5 1,12.

2

Loại A và D vì quá nhỉ

- Còn B và C Giả sử

11 2



Xét tam giác SLJ vuông tại L JL 2a

- Xét tam giác SIJ vuông tại I:

6 2



- Xét tam giác JIL vuông tại I thì có LJ có cạnh huyền

2 2



- Mà theo lí thuyết

.

Suy ra trường hợp này thỏa mãn

Câu 11 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Xét các hình chóp S.ABC thỏa mãn

SA a SB a SC a với a là hằng số cho trước Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC?

Đáp án C

SBC

Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC)

Nhận thấy

2 3 1

.3 3

�

Câu 12: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi

cạnh a SA SB SC a   , Cạnh SD thay đổi Thể tích lớn nhất của khối chóp S ABCD

là:

A

3

8

a

3 4

a

3 3 8

a

3 2

a

Đáp án D

Khi SD thay đổi thi AC thay đổi Đặt AC x 

Gọi OAC�BD

Vì SA SB SC  nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC �H�BO

Ta có

� �

� �

ABC

2 2

.

4.

4

ABC

HB R

3





S ABCD S ABC ABC

2 2

3

Câu 13: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho khối nón đỉnh O , trục OI Măt phẳng trung trực của OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích của hai phần là:

A

1

1

1

1

7.

Đáp án D

Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục OI

2

1

3



Giả sử mặt phẳng trung trực của OI cắt trục OI tại H , cắt đường sinh OM tại N Khi

đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán kính

2

r

, có chiều cao là 2

1

.

� �� �

� �� �

Phần dưới là khối nón cụt có

thể tích

.

   R OI R OI  R OI

Vậy tỉ số thể tích là:

2

1

2 2

1 24

24

R OI V

R OI V





Câu 14: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Xét các hình chóp S.ABC có

SA SB SC AB BC a Giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp S.ABC bằng:

A

3

12

a

B

3 4

a

C

3 8

a

D

3

3 3 4

a

Đáp án C

Cho a và đặt 1 �  0 0

, ta có diện tích tam giác ABC là

1 sin 2



và theo định lí hàm cosin AC 2 1 cos  x

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC, bán kính đường tròn này là

2 1 cos

R OB

Vì S cách đều A, B, C nên SO ABC và

2

2

2sin

SO SB OB

x

Thể tích của khối chóp S.ABC cho bởi

2

2 2

1 1 2sin cos 1 1

x

2

� x � Vậy thể tích lớn nhất bằng

3 8

a

Cách khác:

Ta có

.

.

6

S ABC

SA SB SC

3

1 cos 60 cos 60 cos 2cos60.cos60.cos

6

a  CSA CSA a  CSA CSA �a a

Do đó thể tích lớn nhất của hình chóp là

3 8

a

Câu 15: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho khối chóp S ABCD có thể tích bằng a3.

Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là hình bình hành Tính theo a khoảng cách giữa SA và CD

2 3

a

a

Đáp án A

Vì đáy ABCD là hình bình hành

3

1

�V SABD V SBCD V S ABCD a

Ta có: Vì tam giác SAB đều cạnh a

�

2 3 4



SAB

a

S

Vì CD ABP �CDPSAB nên

 ,    ,     ,  

3

2

3.

2 3 3 4

 SABD  

SBD

a V

a

Câu 16 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho hình trụ có trục OO�, thiết diện qua trục là

một hình vuông cạnh 2a Mặt phẳng  P

song song với trục và cách trục một khoảng 2

a

Tính diện tích thiết diện của trụ cắt bởi  P

A a2 3 B a 2 C 2a2 3 D a2.

Đáp án C

Mặt phẳng  P

song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một kích thước là 2a Kích

thước còn lại là

2

2

� �

  � �

� �

a

, trong đó



r a bán kính đáy và d  2a

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng  P

Diện tích thiết diện là 2a2 3.

là a, b, c Tính bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó theo a,

b, c Chọn đáp án đúng là:

A

 

2 2 2

4

B

 

2 2 2 2

C

 

2 2 2 3

D

 

2 2 2 8

Gọi O là tâm của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' ta có

    ' OB' OC' OD' R    

Vậy O là tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của 3 hình hộp ABCD.A'B'C'D'

+ Tam giác vuông ABC: AC a 2 b2

+ Tam giác vuông A'AC: A C' 2 a2  c2 b2

�A C' a2 b2 c2

 

R

Chọn B

có diện tích bằng 12, 15 và 20 Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đó

Chọn C

với S S S1, ,2 3 là diện tích các mặt (đôi một chung cạnh) của hình hộp đó.

Áp dụng tính chất, ta có V = 60

giác vuông cân, AB = AC = a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

A

3

2

2



B

3 1 2



C

3 4 3



D V a3

Chọn B

Có

3

V  SA S  SA AB AC a

Câu 20: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)

Cho hình chữ nhật ABCD có

AB 4,AD 8   (như hình vẽ) Gọi M, N,

E, F lần lượt là trung điểm BC, AD, BN

và NC Tính thể tích V của vật thể tròn

xoay khi quay hình tứ giác BEFC

quanh trục AB

Chọn B

Khi quay hình thang BCFH quanh trục AB ta được

h AH 2 V R r Rr

Khối nón cụt tạo bởi hai khối tròn xoay:

Vậy thể tích

2

296 2 2



nón và đường tròn đáy của mặt đáy còn lại thuộc mặt xung quanh của hình chóp Biết chiều cao của (H) bằng 1 Tính thể tích của (H)

A V H 9 B V H  6  C V H  18  D V H  3 

Chọn A

Thiết diện qua trục của hình nón và hình trụ có dạng như hình bên, với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón, O là tâm đáy, D là 1 giao điểm của đường tròn đáy hình trụ với BC

Có góc BAC90 ,0 OB OC OA  4

Chiều cao hình trụ bằng 1 nên áp dụng

định lý Ta lét ta có OC4CD�CD1

⇒ Bán kính đáy hình trụ là r OD 3

Thể tích hình trụ là V r h2 9

một tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SB tạo với mặt đáy

A

3

2

 a

V

B

3 4

 a

V

C

3 6

 a

V

D

3 12

 a

V

Chọn D

Góc giữa SB và (ABC) là góc SBA450

Hình chóp S ABC có diện tích đáy là

diện tích tam giác đều cạnh a và bằng

2

3

4

a

S

0 tan 45

3

.

.

�V S ABC SA S ABC a

vuông tâm O, AB = a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt

A

3

3 3

4

V

B

3 3 8

 a

V

C

3 3 4

 a

V

D

3 3 12

 a

V

Chọn C

Gọi H là trung điểm OA�SH ABCD

Vẽ HECD tại E � HE/ /AD

Vì (SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến

(ABCD) là góc SEH 600

0 3 3 tan 60

4

3

.

.

S ABCD ABCD

a

gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ AB đến

O bằng a và gócSAO = 30 , SAB = 60 , Tính diện tích xung quanh nón.� O � o

A S xq 2a2 3

B S xq 3a2 3

C S xqa2 3

D S xq 4a2 3

Đáp án C

Gọi I là trung diểm của AB thì OI AB SI, AB OI a, 

Ta có:

cos

2

OA SA SAO SA

,

cos

2

AI SA SAI  SA

Từ đó

1 3

AI

AO 

Mặt khác

� cos

AI

IAO

3

a IAO

OA

�

Vậy

2 6

a a

OA 

6 2

Từ đó diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:

2

6

2

xq

a

S OA SA a a

quanh cạnh AB một vòng, ta được một hình trụ Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ này

A 4a3;4a2 B 2a3;4a2 C 2a3;2a2 D 4a3;2a2

Đáp án B

Nếu ta xem độ dài của các cạnh AB và AD như là các ẩn thì chúng sẽ là các nghiệm của phương trình bậc hai x2  3ax 2a2  0.

Giải phương trình bậc hai này, đối chiếu với điều kiện của đề bài, ta có:

 2

+ Thể tích hình trụ: V AD AB2  2 a3

+ Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq 2AD AB  4a2

tam giác vuông tại C, AB 5 ,a AC a Cạnh SA3a và vuông góc với mặt

3 5

Đáp án A

Ta có

Do đó

chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a,

BC AB AC 2a

2 3 S.ABC ABC

khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD

A

3

3

3

a

B 4 3a3

3

4 3 3

a

Đáp án D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Ta có

Gọi M là trung điểm của AB, kẻ

Khi đó

AB’C’C bằng

Đáp án B

Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

AB’C’C cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

lăng trụ dứng đã cho

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đường thẳng qua O vuông góc với (ABC)

cắt mặt phẳng trung trực của AA’ tại I Khi

đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Mặt khác

lấy điểm M và N sao cho thỏa tỉ lệ

1 ; 2 2

AM  NB

, mặt phẳng đi qua MN

và song song với SC chia tứ diện thành hai phần, biết tỉ số thể tích của hai phần ấy là K, vậy K là giá trị nào?

AB || CD�CD || SAB

d SA;CD d CD; SAB 2.d O; SAB a 3

�

OK SM K SM �

OK SAB d O; SAB OK

2

SMO

SO a 3

S.ABCD

3 ABCD

� AB2 AC2 BC2 1 cos A

2sin A sin120

R IA  OI OA  4a2a2 a 5

A

2

3

K 

B

4 9

K 

C

5 9

K

D

4 5

K 

Đáp án D

Qua M kẻ MF song song với SC và qua N kẻ NE song song với SC với E và F thuộc CA và CB Khi đó thiết diện cần tìm là hình thang MNEF.Đặt

1

S ABC MNEFCS MNEFAB

SCEF SFME SMNE

Ta có:

.

1

3

4

9

SCEF

SFME

SFEA

S FEA FEA FEA CEA

ABC CEA ABC

1 4 4

3 9 27

2

9

1

3

SFME

SMNE

SABE

SMNE BEA BEA AEC

ABC AEC ABC

V

V V



�

.

1

1

2

2 27

4

5

S ABE

V

V



�

�



Câu 30 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 Biết diện tích tam giác SAB là

2 3

2

a

, khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là

A

10

5

a

B

10 3

a

C

2 2

a

D

2 3 a

Chọn C.

Gọi O là tâm đáy  BO AC 

Mà BO SA nên BO SAC

Ta có ABO vuông cân ở O

 

2 1

2

2 2 2

SAB ABC

S

SA

AB a

d B; SAC BO

�

Câu 31 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA = 3, SB =

4, SC = 5 và SA, SB, SC đôi một vuông góc Khối cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có thể tích là:

A 25 2 B

125 2 3



C

10 2 3



D

3

5 2 3



Chọn B.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC, AB

Vì SAB vuông góc tại S nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp  SAB Trong mặt phẳng (MSN) dựng hình chữ nhật MSNO thì ON là trục đường tròn ngoại tiếp SAB và OM là đường trung trực của đoạn SC trong mặt phẳng (OSC)

Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

2 2

BN  AB  SA  SB  ; ON MS   SC 

Bán kính và thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là

2 2 5 2

2

R OB   ON  BN  ; 4 3 125 2

V  R 

Câu 32 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi M,

N lần lượt là trung điểm của AB và CD Khi quay hình vuông ABCD quanh MN thành một hình trụ Gọi (S) là mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình trụ, ta có bán kính của mặt cầu (S) là:

A

6

3

a

B

6 2

a

C

6 4

a

D a 6

Chọn C.

Mặt trụ tạo bởi hình vuông ABCD khi quay quanh MN có đường sinh 1=a và bán kính đáy

2

a

r 

nên có diện tích toàn phần   3 2

tp

S  r r h  . �a� 

Mặt cầu (S) có diện tích bằng S tp của mặt trụ thì có bán kính R với

2

4

Câu 33 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) : Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a Gọi M là trung điểm của AA1 Thể tích khối chóp M.BCA1 là:

A

3 3

12

a

V 

B

3 3 24

a

V 

C

3 3 6

a

V 

D

3 3 8

a

V 

Chọn B.

ABC

 là tam giác đều cạnh a nên có diện tích

2 3 4 ABC

a

S 

Ta có

1

2 2

AA a

AM  

Hai tứ diện MABC và MA1BC có chung đỉnh C, diện

tích hai đáy MAB và MA1B bằng nhau nên có thể tích

bằng nhau, suy ra

1

3

M.BCA M.ABC ABC

a

Câu 34 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = 2a, BC = a Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng a 2 Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A

3 3

3

a

B

3 3 4

a

C

3 3 2

a

D a3 3

Chọn A.

Ta có SO ABCD tại O với O là tâm hình chữ nhật ABCD

3

3 2

S.ABCD

a

a

SO SA AO

a

V SO.AB.BC

Câu 35 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Một khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là một hình vuông Biết diện tích toàn phần của hình hộp đó là 32, thể tích lớn nhất

mà khối hộp ABCD.A1B1C1D1 là bao nhiêu?

A

56 3

70 3

64 3

80 3 9

Chọn C.

Gọi x là cạnh hình vuông đáy của hình hộp, y là chiều cao hình hộp

Diện tích toàn phần của hình hộp đó là